Τριγωνικός πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, άνω τριγωνικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μόνο μηδενικά στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο. Πιο συγκεκριμένα, είναι κάθε πίνακας $U$ διαστάσεων $n\times n$ όπου τα στοιχεία $U_{ij}=0$ για κάθε $1\leq j<i\leq n$. Για $n=2,3,4$ η γενική τους μορφή είναι:

$\underbrace {\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}\\0&U_{22}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}&U_{13}\\0&U_{22}&U_{23}\\0&0&U_{33}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}&U_{13}&U_{14}\\0&U_{22}&U_{23}&U_{24}\\0&0&U_{33}&U_{34}\\0&0&0&U_{44}\end{bmatrix}} _{4\times 4}.$

Αντίστοιχα, κάτω τριγωνικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μόνο μηδενικά στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιο. Πιο συγκεκριμένα, είναι κάθε πίνακας $L$ διαστάσεων $n\times n$ όπου τα στοιχεία $L_{ij}=0$ για κάθε $1\leq i<j\leq n$. Για $n=2,3,4$ η γενική τους μορφή είναι:

$\underbrace {\begin{bmatrix}L_{11}&0\\L_{21}&L_{22}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}L_{11}&0&0\\L_{21}&L_{22}&0\\L_{31}&L_{32}&L_{33}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}L_{11}&0&0&0\\L_{21}&L_{22}&0&0\\L_{31}&L_{32}&L_{33}&0\\L_{41}&L_{42}&L_{43}&L_{44}\end{bmatrix}} _{4\times 4}.$

Ένας πίνακας λέγεται τριγωνικός αν είναι άνω ή κάτω τριγωνικός.

Παραδείγματα

• Οι παρακάτω πίνακες είναι άνω τριγωνικοί:

$A={\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&5&6&7\\0&0&8&9\\0&0&0&10\end{bmatrix}}.$

• Οι παρακάτω πίνακες είναι κάτω τριγωνικοί:

$A={\begin{bmatrix}1&0\\2&3\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}1&0&0\\2&3&0\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\2&3&0&0\\4&5&6&0\\7&8&9&10\end{bmatrix}}.$

• Κάθε διαγώνιος πίνακας είναι κάτω και άνω τριγωνικός. Επομένως, ο ταυτοτικός πίνακας και ο μηδενικός πίνακας είναι τριγωνικοί.

$A={\begin{bmatrix}3&0&0\\0&7&0\\0&0&-1\end{bmatrix}},\quad I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad 0_{3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.$

• Οι κορυφές ενός Κατευθυνόμενου άκυκλου γράφου μπορούν να μετατεθούν ώστε ο πίνακας γειτνίασης του γράφου είναι τριγωνικός.

Ιδιότητες

Οι τριγωνικοί πίνακες έχουν τις εξής ιδιότητες:

• Ο ανάστροφος πίνακας ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα είναι άνω (κάτω) τριγωνικός.
• Το άθροισμα δύο κάτω (άνω) τριγωνικών πινάκων είναι κάτω (άνω) τριγωνικός πίνακας.
• Το γινόμενο δύο κάτω (άνω) τριγωνικών πινάκων είναι κάτω (άνω) τριγωνικός πίνακας.
• Ο αντίθετος ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα είναι κάτω (άνω) τριγωνικός.
• Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου.
• Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα δίνεται από τον τύπο

$p_{L}(x)=\mathrm {det} (xI-L)=(x-L_{11})\cdot \ldots \cdot (x-L_{nn})$.

Επομένως, οι ιδιοτιμές του πίνακα $L$ είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του.

• Ένας συμμετρικός τριγωνικός πίνακας είναι διαγώνιος.

Εφαρμογές

Επίλυση γραμμικών εξισώσεων

Έστω ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που μπορεί να γραφτεί με την μορφή $L\mathbf {x} =\mathbf {b}$ με αγνώστους $\mathbf {x}$. Τότε μπορούμε να βρούμε την λύση του ξεκινώντας βρίσκοντας το $x_{1}$, μετά το $x_{2}$ κ.ο.κ., χρησιμοποιώντας τους εξής τύπους:

$x_{1}={\frac {b_{1}}{L_{11}}}$,

$x_{2}={\frac {1}{L_{22}}}\cdot \left(b_{2}-L_{21}x_{1}\right)$,

$\quad \vdots$

$x_{n}={\frac {1}{L_{nn}}}\cdot \left(b_{n}-L_{n1}x_{1}-\ldots -L_{n(n-1)}x_{n-1}\right)$.

Παρατηρήστε ότι στο $i$-οστό βήμα βρίσκουμε την τιμή του $x_{i}$ χρησιμοποιώντας τις τιμές των $x_{1},\ldots ,x_{i-1}$ (που έχουμε υπολογίσει στα προηγούμενα βήματα). Ο αλγόριθμος αυτός χρειάζεται συνολικά ${\mathcal {O}}(n^{2})$ πράξεις.

Αυστηρά τριγωνικός

Ένας άνω τριγωνικός πίνακας λέγεται αυστηρά άνω τριγωνικός, αν τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι μηδέν. Αντίστοιχα, για έναν αυστηρά κάτω τριγωνικό πίνακα.

Δείτε επίσης

• Αποσύνθεση LU