Διακύμανση

Διακύμανση

Ταξινόμηση
Dewey	519
MSC2010	97Kxx

Η διακύμανση ή διασπορά μίας τυχαίας μεταβλητής $\, X$ συμβολίζεται συνήθως με $\,Var[X]$ και δηλώνει πόσο συγκεντρωμένες γύρω από τη μέση τιμή είναι οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής.

Ορισμός

Έστω μία τυχαία μεταβλητή $\, X$ με μέση τιμή $\,\mu =E[X]$ και συνάρτηση κατανομής $\,F$. Η διακύμανση ορίζεται ως:

$Var[X]=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2dF(x)=E[(X-\mu)^2],$

όταν το ολοκλήρωμα συγκλίνει.

Η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης ονομάζεται τυπική απόκλιση και συμβολίζεται με $\,\sigma$.

Απαριθμητές τυχαίες μεταβλητές

Έστω $\,X$ μία απαριθμήτη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τις τιμές $x_i, i \in N, N \sub \N$ με αντίστοιχες πιθανότητες $\,p_i=P(X=x_i)$. Η διακύμανσή της είναι:

$Var(X)=\sum_{i \in N}(x_i-\mu)^2p_i.$

Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές

Έστω $\,X$ μία συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας $\,f(x)$ η διακύμανσή της είναι:

$Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x)dx\,$.

Ιδιότητες

• $\,Var[X]= E[X^2]-(E[X])^2$

• $\,Var[aX+b]=a^2Var[X]$

• $\,Var[aX+bY]=a^2Var[X]+b^2Var[Y]+2ab\,Cov[X,Y]$

όπου $\,X,Y$ τυχαίες μεταβλητές,$\,a,b\in\R$ και $\,Cov$ η συνδιασπορά.

Εκτίμηση διακύμανσης

Έστω ένα τυχαίο δείγμα $\,x=(x_1,\dots,x_n)$.

Όταν η μέση τιμή $\,\mu$ του πληθυσμού είναι γνωστή, τοτε η εκτιμήτρια $\,s^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2$ είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της διακύμανσης.

Όταν η μέση τιμή είναι άγνωστη, τοτε η αμερόληπτη εκτιμήτρια της διακύμανσης είναι $\,s^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$ με $\,\bar{x}=\frac1n\sum_{i=1}^nx_i$ .