Συνάρτηση κατανομής

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Έστω ενας χώρος πιθανότητας (\Omega,\mathcal{F},P) και μια πραγματική τυχαία μεταβλητή X:\Omega \to \R πάνω σε αυτόν. Η συνάρτηση F_X : \R \to [0,1] με

F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x)=P\left(\lbrace\omega\in\Omega\mid X(\omega )\leq x\rbrace\right)

ονομάζεται συνάρτηση κατανομής (σ.κ., ή αθροιστική συνάρτηση κατανομής, α.σ.κ.) της τυχαίας μεταβλητής.

Παραδείγματα συνάρτησεων κατανομής.

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που παίρνει τιμες x1, x2, ... με πιθανότητα p(xi) = P(Χ=xi) η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής ισούται με

F(x) = \operatorname{P}(X\leq x) = \sum_{x_i \leq x} \operatorname{P}(X = x_i) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i).

Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής ισούται με

 F(x) = \operatorname{P}(X\leq x) =\int_{-\infty}^x f(t)\,\operatorname dt

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια συνάρτηση κατανομής είναι αύξουσα και δεξιώς συνεχής. Επίσης ισχύει

\lim_{x\to -\infty}F(x)=0, \quad \lim_{x\to +\infty}F(x)=1.

Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να παίρνει τιμές σε ένα διάστημα είναι

P(a<X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a) = F(b) - F(a)