Σώμα (άλγεβρα)

Σώμα (από το γαλλικό Corps) είναι ένα σύνολο $\mathbb {F}$ (από το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο δυαδικές πράξεις + και * ορισμένες στο $\mathbb {F}$, οι οποίες απεικονίζουν 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F στα a+b και a*b, επίσης στοιχεία του F. Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

1. $(a+b)+c=a+(b+c)$
2. $\exists 0\in \mathbb {F}$ (υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει στο F), τέτοιο ώστε

• $a+0=a,\forall a\in \mathbb {F}$ για κάθε $a$ που ανήκει στο $\mathbb {F}$, και
• $\forall a\in \mathbb {F} ,\exists b\in \mathbb {F} \ s.t.\ a+b=0$ (για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0).

1. $a+b=b+a$ Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο F
2. $(a*b)*c=a*(b*c)$
3. Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1.
4. $a*b=b*a$
5. $a*(b+c)=a*b+a*c$

Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το $\mathbb {Q}$ και το $\mathbb {R}$ και το σώμα των μιγαδικών αριθμών $\mathbb {C}$. Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση. Το στοιχείο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ώστε για κάθε a να υπάρχει -a, τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού συμβολίζεται με $a^{-1}$, τέτοιο ώστε, για κάθε a που ανήκει στο F, να υπάρχει $a^{-1}$ τέτοιο ώστε a*$a^{-1}$ =1.

Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b*${\sqrt {2}}$ και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν.

Ένας δακτύλιος $(R,\circ ,+)$ καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής :

• Ο δακτύλιος είναι μεταθετικός.
• Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο$1_{R}\in R$ ώστε $r\circ 1_{R}=1_{R}\circ r=r$ για κάθε $r\in R$
• Για κάθε $r\in R$ υπάρχει στοιχείο του $R$ το οποίο συμβολίζουμε με $r^{-1}$ τέτοιο ώστε $r\circ r^{-1}=r^{-1}\circ r=1_{R}$

Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb {R}$, καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο.

Υπόσωμα

Έστω F σώμα. Ένα υποσύνολο του F, έστω Κ, ονομάζεται υπόσωμα του F αν ισχύουν τα εξης: α) το Κ είναι υποδακτύλιος του F β) για κάθε κ που ανήκει στο Κ\(0) υπάρχει κ^(-1) που ανήκει στο Κ