Περιστροφή

Περιστροφική κίνηση σφαίρας

Περιστροφή ή περιστροφική κίνηση ονομάζεται η κίνηση κατά την οποία ένα σώμα μεταβάλλει τον προσανατολισμό του στο χώρο.

Σε αυτήν την κίνηση υπάρχει μία ευθεία γύρω από την οποία περιστρέφονται όλα τα σημεία του σώματος. Αυτή η ευθεία ονομάζεται άξονας περιστροφής. Τα σημεία του σώματος εκτελούν κυκλική κίνηση με κέντρο που βρίσκεται πάνω στον άξονα και επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα. Όλα τα σημεία εκτελούν κυκλική κίνηση με την ίδια γωνιακή μετατόπιση Δθ και την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω (η οποία αναπαριστάται συνήθως με ένα διάνυσμα), της οποίας το μέτρο είναι ταυτόχρονα και η γωνιακή συχνότητα του φαινομένου. Ο ρυθμός μεταβολής τη γωνιακής ταχύτητας ονομάζεται γωνιακή επιτάχυνση, α.

Διακρίνουμε τις εξής απλές περιπτώσεις:

• ω=0: Το σώμα δεν περιστρέφεται
• α=0: Το σώμα εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση, δηλαδή κάθε του σημείο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση
• dα/dt=0: Το σώμα εκτελεί περιστροφή γύρω από σταθερό άξονα, δηλαδή κάθε σημείο εκτελεί κυκλική κίνηση
• dα/dt≠0: Το σώμα εκτελεί περιστροφή γύρω από μη σταθερό άξονα.

Χαρακτηριστικά μεγέθη περιστροφικής κίνησης

Γωνιακή ταχύτητα

Η γωνιακή ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος που ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής του τόξου που «σαρώνει» κάθε σημείο ενός σώματος που περιστρέφεται και μετράται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο (rad/s). Συμβολίζεται διεθνώς με το γράμμα ω και μαθηματικά εκφράζεται από την σχέση:

${\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\ \mathbf {\hat {n}} \ ,$

όπου $\mathbf {\hat {n}}$ το μοναδιαίο διάνυσμα παράλληλο προς τον άξονα περιστροφής και φορά όπως αυτή καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.

Γωνιακή επιτάχυνση

Η γωνιακή επιτάχυνση είναι διανυσματικό μέγεθος που ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας κάθε σημείου ενός σώματος που εκτελεί περιστροφική κίνηση και μετράται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο (rad/s²). Συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα α και μαθηματικά εκφράζεται από την σχέση:

${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\theta }}{\mathrm {d} t^{2}}}\ \mathbf {\hat {n}}$

Ροπή

Στη Φυσική με τον όρο ροπή χαρακτηρίζεται το μέτρο της επίδρασης που ασκεί μία δύναμη κατά την διάρκεια της περιστροφής ενός σώματος γύρω από έναν άξονα. Είναι ανάλογη της απόστασης από το κέντρο του άξονα και της κάθετης συνιστώσας της δύναμης στην ακτίνα περιστροφής. Η ροπή δίνεται από την σχέση

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,,$

όπου r η απόσταση του σημείου εφαρμογής της δύναμης από τον άξονα περιστροφής και F η δύναμη.

Για σύστημα συντεταγμένων στο οποίο η αρχή των αξόνων να βρίσκεται πάνω στον άξονα περιστροφής, η ροπή δίνεται από την απλή σχέση

${\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}\ ,$

όπου τ η συνολική ροπή λόγω εξωτερικών δυνάμεων πάνω στο στερεό σώμα, I η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής του και α η γωνιακή επιτάχυνση.

Στροφορμή

Η στροφορμή L είναι μέγεθος της περιστροφικής κίνησης που εκφράζει την ορμή ενός σώματος λόγω περιστροφής. Η στροφορμή κάθε σημείου ενός σώματος που περιστρέφεται ισούται με το εξωτερικό γινόμενο της επιβατικής του ακτίνας επί την στιγμιαία γραμμική του ορμή και δίνεται από τη σχέση:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$

Η συνολική στροφορμή ενός περιστρεφόμενου σώματος ως προς σύστημα αναφοράς του οποίου η αρχή βρίσκεται πάνω στον άξονα περιστροφής δίνεται από την παρακάτω σχέση που συνδέει τη στροφορμή με τη ροπή αδράνειας και τη γωνιακή ταχύτητα:

$\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}$

Ροπή αδράνειας

Η ροπή αδράνειας εκφράζει την κατανομή των υλικών σημείων ενός σώματος ως προς έναν άξονα περιστροφής και έχει τη φυσική σημασία της ικανότητας των στερεών να αντιστέκονται σε μεταβολές της περιστροφικής τους κατάστασης. Συμβολίζεται με Ι και έχει μονάδες kgr·m² στο S.I.. Υπολογίζεται ως άθροισμα γινομένων στοιχειωδών μαζών επί το τετράγωνο της αποστασής τους από έναν άξονα. Η σχέση που δίνει την ροπή αδράνειας ως προς σύστημα αναφοράς του οποίου η αρχή βρίσκεται πάνω στον άξονα περιστροφής είναι η εξής:

$I=\sum _{i=1}^{N}{m_{i}r_{\perp ,i}^{2}}$

ενώ στην περίπτωση που έχουμε συνεχή κατανομή μάζας:

$I=\int r_{\perp }^{2}\mathrm {d} m\,,$

όπου και στις δύο περιπτώσεις το σύμβολο $r_{\perp }$ αναφέρεται στην απόσταση κάθε στοιχειώδους μάζας από τον άξονα περιστροφής.

Επαλληλία δύο περιστροφικών κινήσεων

Η επαλληλία δύο περιστροφικών κινήσεων είναι πιο περίπλοκη από την επαλληλία δύο μεταφορικών κινήσεων, γιατί τα χαρακτηριστικά μεγέθη μιας από τις δύο συνιστώσες αλλάζουν προσανατολισμό με τρόπο που ορίζει η άλλη συνιστώσα. Έτσι, περιγράφουμε τις δύο συνιστώσες σε δύο διαφορετικά συστήματα αναφοράς. Η συνιστώσα που περιγράφεται στο σύστημα αναφοράς που δεν μεταβάλλεται ονομάζεται χωρόδετο, ενώ το άλλο σωματόδετο. Για να βρούμε το αποτέλεσμα της σύνθεσης των δύο περιστροφών πρώτα υπολογίζεται η επίδραση του χωρόδετου, τόσο στο σώμα όσο και στο σωματόδετο σύστημα αναφοράς. Ύστερα, υπολογίζεται και η επίδραση της άλλης συνιστώσας. Για απειροστό χρονικό διάστημα, και οι δύο συνιστώσες είναι ακίνητες, οπότε μπορεί να εφαρμοστεί επαλληλία όπως εφαρμόζεται στη μεταφορική κίνηση. Όμως, ο συνιστάμενος άξονας περιστροφής είναι και μεταβαλλόμενος. Αν οι δύο περιστροφές είναι αντίθετες (αντίθετης κατεύθυνσης ίσων κατά μέτρο γωνιακών ταχυτήτων), τότε η συνιστάμενη κίνηση είναι μια μετατόπιση, ή ακινησία αν οι δύο άξονες συμπίπτουν.

Βιβλιογραφία

• R. Serway (1990), Φυσική Τόμος Ι - Μηχανική. Saunders College Publishing, Λονδίνο.