Κανόνας του δεξιού χεριού

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Εύρεση της φοράς του εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων με τον κανόνα του δεξιού χεριού

Στα μαθηματικά και στη φυσική ο κανόνας του δεξιού χεριού είναι ένας πολύ χρησιμοποιούμενος μνημονικός κανόνας για τον προσδιορισμό του προσανατολισμού αξόνων και γενικότερα διανυσμάτων στον τριδιάστατο χώρο.

Τις περισσότερες φορές η χρησιμότητα του κανόνα αυτού πηγάζει από το γεγονός ότι οι τρεις άξονες του τριδιάστατου χώρου μπορούν να έχουν έναν από δύο διαφορετικούς προσανατολισμούς. Εκτός από τους άξονες συστημάτων συντεταγμένων, ο κανόνας του δεξιού χεριού, αλλά και ο αντίστοιχος του αριστερού χεριού, βρίσκουν εφαρμογή σε περιπτώσεις περιστροφών, ελίκων, ηλεκτρομαγνητικών πεδίων και δυνάμεων, κατοπτρικών ειδώλων, αλλά και εναντιομερών στη χημεία.

Συστήματα συντεταγμένων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αριστερόστροφες συντεταγμένες στα αριστερά,
δεξιόστροφες συντεταγμένες στα αριστερά

Τα συστήματα συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται συνήθως είναι δεξιόστροφα.

Στα δεξιόστροφα καρτσιανά συστήματα ο κανόνας του δεξιού χεριού διατυπώνεται ως εξής: αν ο αντίχειρας του δεξιού χεριού δείχνει προς την κατεύθυνση του θετικού άξονα των z, τότε τα καμπυλωμένα υπόλοιπα δάχτυλα δείχνουν μια φορά περιστροφής από τον άξονα των x (ή «πρώτο άξονα») προς τον άξονα των y (ή «δεύτερο άξονα»).

Στα αριστερόστροφα συστήματα, αν ο αντίχειρας του αριστερού χεριού δείχνει προς την κατεύθυνση του θετικού άξονα των z, τότε τα καμπυλωμένα υπόλοιπα δάχτυλα δείχνουν μια φορά περιστροφής από τον άξονα των x (ή «πρώτο άξονα») προς τον άξονα των y (ή «δεύτερο άξονα»).

Η εναλλαγή των ονομάτων οποιωνδήποτε δύο αξόνων μεταξύ τους αντιστρέφει τη χειρομορφία, το ίδιο και η αναστροφή οποιουδήποτε ενός άξονα (ή και των τριών αξόνων). Αν οι άξονες δεν έχουν θετική και αρνητική κατεύθυνση, τότε δεν υπάρχει και διάκριση μεταξύ δεξιόστροφου και αριστερόστροφου συστήματος συντεταγμένων.[1]

Περιστροφές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Περιστρεφόμενο σώμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η συμβατική φορά του άξονα περιστροφής ενός στερεού σώματος

Στα μαθηματικά ένα περιστρεφόμενο στερεό αντιπροσωπεύεται συνήθως από ένα διάνυσμα κατά μήκος του άξονα περιστροφής. Το μέτρο του διανύσματος αυτού αντιστοιχεί στη γωνιακή ταχύτητα της περιστροφής και η φορά του διανύσματος αντιστοιχεί στη φορά της περιστροφής σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού: όταν ο δεξιός αντίχειρας δείχνει προς τη φορά του διανύσματος (που ορίζεται και ως η φορά του άξονα περιστροφής), τότε τα καμπυλωμένα υπόλοιπα δάχτυλα δείχνουν τη φορά της περιστροφής. Αυτός ο ορισμός επιτρέπει μερικούς εύκολους υπολογισμούς με χρήση του διανυσματικού εξωτερικού γινομένου. Κανένα μέρος του σώματος δεν κινείται προς την κατεύθυνση του άξονα. Κατά σύμπτωση, αν το περιστρεφόμενο σώμα είναι η Γη και ο αντίχειρας δείχνει προς τον βορρά, τότε η Γη περιστρέφεται κατά την ορθή φορά σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού (από τα δυτικά προς τα ανατολικά). Αυτό προκαλεί τη φαινομενική ανάστροφη κίνηση περιφοράς των άστρων από τα ανατολικά προς τα δυτικά. Με μια άλλη διατύπωση, η Γη περιστρέφεται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού όταν την παρατηρούμε από ένα σημείο πάνω από τον Βόρειο Πόλο της.

Έλικες και βίδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δεξιόστροφος (στα αριστερά) και αριστερόστροφος (στα δεξιά) κοχλίας

Έλικα ονομάζεται μια τριδιάστατη καμπύλη, που σχηματίζεται από ένα σημείο περιστρεφόμενο γύρω από ένα κέντρο, το οποίο με τη σειρά του κινείται κατά μήκος του άξονα των z. Οι έλικες μπορεί να είναι είτε δεξιόστροφες, είτε αριστερόστροφες, και με τον κανόνα μας τα καμπυλωμένα υπόλοιπα δάχτυλα δίνουν τη φορά της περιστροφής όταν ο αντίχειρας δείχνει προς την κατεύθυνση της κινήσεως κατά μήκος του άξονα των z.

Μια ειδική περίπτωση έλικας αποτελεί το σπείρωμα ενός κοχλία (βίδας). Ο κανόνας εδώ διατυπώνεται ως εξής: εάν ένας κοχλίας είναι δεξιόστροφος (οι περισσότερες βίδες είναι δεξιόστροφες), τεντώστε τον αντίχειρα του δεξιού χεριού προς την κατεύθυνση που θέλετε να κινηθεί ο κοχλίας και στρέψτε τον κατά τη φορά των καμπυλωμένων υπόλοιπων δακτύλων.

Στον ηλεκτρομαγνητισμό[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δύναμη Lorentz: Αν ένα θετικό ηλεκτρικό φορτίο κινείται μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο, τότε ασκείται πάνω του στη γενική περίπτωση μια δύναμη, γνωστή ως δύναμη Lorentz, με κατεύθυνση (διεύθυνση και φορά) που δίνεται από τον κανόνα των τριών δακτύλων του δεξιού χεριού: Αν ο τεντωμένος αντίχειρας δείχνει την κατεύθυνση προς την οποία κινείται το φορτίο και ο τεντωμένος δείκτης την κατεύθυνση των δυναμικών μαγνητικών γραμμών του πεδίου, τότε το μεσαίο δάκτυλο καμπυλωμένο κάθετα προς την παλάμη δείχνει την κατεύθυνση της δυνάμεως. Επειδή τώρα η δύναμη είναι κάθετη προς την ταχύτητα του φορτισμένου σωματιδίου και το σωματίδιο κινείται, η διεύθυνση της ταχύτητάς του αλλάζει συνεχώς και επομένως και η διεύθυνση της δυνάμεως. Η δύναμη είναι μέγιστη όταν η ταχύτητα του φορτισμένου σωματιδίου είναι κάθετη προς τις δυναμικές γραμμές του πεδίου στη περιοχή του. Σε άλλες γωνίες η δύναμη είναι μικρότερη και μηδενίζεται όταν το σωματίδιο κινείται παράλληλα ή αντιπαράλληλα με το πεδίο.

Κανόνας του δεξιού χεριού του Ampère[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πρόβλεψη της φοράς των δυναμικών γραμμών του μαγνητικού πεδίου (B) όταν το συμβατικό ηλεκτρικό ρεύμα (ένταση I) ρέει προς την κατεύθυνση που δείχνει ο αντίχειρας.
Η εύρεση της κατευθύνσεως των δυναμικών γραμμών (B) του μαγνητικού πεδίου στην περίπτωση ενός μακρόστενου πηνίου (σωληνοειδούς)

Ο «κανόνας της γροθιάς του δεξιού χεριού» του Ampère[2] (αποκαλούμενος και «κανόνας του δεξιόστροφου κοχλία») χρησιμοποιείται είτε όταν ένα ευκλείδειο διάνυσμα (όπως το διάνυσμα Euler) πρέπει να ορισθεί έτσι ώστε να αντιπροσωπεύει την περιστροφή ενός στερεού, ενός μαγνητικού πεδίου ή ενός ρευστού, είτε αντιστρόφως, όταν δηλαδή είναι απαραίτητο να ορίσουμε ένα διάνυσμα προκειμένου να κατανοήσουμε το είδος της περιστροφής.

Ο Αντρέ-Μαρί Αμπέρ, του οποίου το όνομα φέρει ο κανόνας αυτός, εμπνεύσθηκε από τα πειράματα του Χανς Κρίστιαν Έρστεντ με μαγνητικές βελόνες. Ο Έρστεντ είχε παρατηρήσει ότι οι βελόνες περιστρέφονταν σε ένα συγκεκριμένο μοτίβο όταν γειτνίαζαν με έναν ηλεκτροφόρο αγωγό, και συμπέρανε ότι ο ηλεκτρισμός μπορούσε να δημιουργήσει μαγνητικά πεδία. Συγκεκριμένα, ο κανόνας εφαρμόζεται στον ηλεκτρομαγνητισμό στην περίπτωση του Νόμου του Αμπέρ, που αποκαλύπτει τη σχέση μεταξύ του ρεύματος και των γραμμών του μαγνητικού πεδίου που δημιουργείται από το ηλεκτρικό ρεύμα:

Εφαρμογή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Το ηλεκτρικό ρεύμα που διαρρέει ένα ευθύγραμμο σύρμα μεγάλου μήκους προκαλεί ένα κυλινδρικό μαγνητικό πεδίο γύρω από το σύρμα σε συμφωνία με τον κανόνα του δεξιού χεριού. Το συμβατικό ρεύμα αντιστοιχεί σε ροή θετικών φορτίων και έχει αντίθετη φορά από την πραγματική ροή αρνητικών φορτίων (ηλεκτρονίων) στο σύρμα. Αν τεντώσουμε τον αντίχειρα του δεξιού χεριού προς τη συμβατική αυτή φορά του ρεύματος, τότε η φορά των δυναμικών γραμμών του μαγνητικού πεδίου δίνεται από τη φορά των καμπυλωμένων υπόλοιπων δακτύλων.
  • Σωληνοειδές/ηλεκτρομαγνήτης: Το μαγνητικό πεδίο γύρω από ευθύγραμμο σύρμα είναι σχετικώς ασθενές. Αλλά εάν το σύρμα είναι περιελιγμένο σε μια έλικα, τότε όλες οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου που προκαλείται από τις επιμέρους σπείρες στο εσωτερικό της έλικας αλληλοενισχύονται. Αν το συμβατικό ρεύμα προχωρεί σπειροειδώς προς τη γενική φορά του θετικού άξονα των z, τότε και οι γραμμές του πεδίου δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση. Επειδή δεν υπάρχουν μαγνητικά μονόπολα, οι γραμμές εξέρχονται από το άκρο +z, κάμπτονται γύρω από την εξωτερική πλευρά της έλικας (που αποκαλείται σωληνοειδές), και επανεισέρχονται στο άκρο −z. Το σωληνοειδές συμπεριφέρεται ως ραβδόμορφος μαγνήτης με το άκρο +z να αντιστοιχεί στον βόρειο μαγνητικό πόλο. Αν τα καμπυλωμένα υπόλοιπα δάχτυλα του δεξιού χεριού δείχνουν τη φορά της κυκλικής κινήσεως του ρεύματος, τότε ο τεντωμένος αντίχειρας δείχνει προς τον βόρειο μαγνητικό πόλο.

Εξωτερικά γινόμενα διανυσμάτων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Απεικόνιση του κανόνα του δεξιού χεριού στο ελβετικό χαρτονόμισμα των 200 φράγκων (9η σειρά, από το 2018)

Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων έχει πολλές εφαρμογές στη φυσική και στη μηχανολογία. Π.χ. στη δυναμική η ροπή είναι το εξωτερικό γινόμενο της δυνάμεως επί την απόσταση του σημείου εφαρμογής της από τον άξονα, ενώ η στροφορμή ορίζεται ως το εξωτερικό γινόμενο της ορμής επί την απόσταση από τον άξονα περιστροφής. Στον ηλεκτρομαγνητισμό η δύναμη που ασκείται πάνω σε ένα ηλεκτρικά φορτισμένο σωματίδιο που κινείται μέσα σε μαγνητικό πεδίο με μαγνητική επαγωγή B δίνεται από τη σχέση (τα έντονα τυπογραφικά στοιχεία υποδηλώνουν διάνυσμα):

Η κατεύθυνση του εξωτερικού γινομένου μπορεί να βρεθεί με εφαρμογή του κανόνα του δεξιού χεριού ως εξής:

  1. Ο δείκτης δείχνει προς την κατεύθυνση της ταχύτητας v.
  2. Το μεσαίο δάχτυλο δείχνει προς την κατεύθυνση της μαγνητικής επαγωγής B του μαγνητικού πεδίου.
  3. Ο αντίχειρας δείχνει προς την κατεύθυνση του εξωτερικού γινομένου F (δύναμη).

Π.χ. για ένα θετικά φορτισμένο σωματίδιο που κινείται προς τα βόρεια σε μια περιοχή όπου το μαγνητικό πεδίο έχει B με φορά προς τα δυτικά, η δύναμη που ασκείται πάνω στο σωματίδιο έχει φορά προς τα επάνω.[1]

Εφαρμογές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παρακάτω δίνεται ένας κατάλογος φυσικών μεγεθών των οποίων οι κατευθύνσεις βρίσκονται με τον κανόνα του δεξιού χεριού (ορισμένα από αυτά σχετίζονται μόνο έμμεσα με εξωτερικά γινόμενα):

  • Σε ένα περιστρεφόμενο σώμα, αν τα υπόλοιπα δάχτυλα του δεξιού χεριού ακολουθούν την τροχιά ενός σημείου πάνω στο σώμα, τότε ο αντίχειρας δείχνει την κατεύθυνση του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας.
  • Η ροπή, η δύναμη που την προκαλεί και η θέση του σημείου εφαρμογής της δυνάμεως.
  • Η μαγνητική επαγωγή ενός μαγνητικού πεδίου και η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος (ή η μεταβολή στην ένταση ηλεκτρικού πεδίου) η οποία προκαλεί το μαγνητικό πεδίο.
  • Η μαγνητική επαγωγή μέσα σε ένα πηνίο και η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει το σύρμα του πηνίου.
  • Η δύναμη που ασκεί ένα μαγνητικό πεδίο πάνω σε ένα ηλεκτρικά φορτισμένο σωματίδιο, η μαγνητική επαγωγή του πεδίου και η ταχύτητα του σωματιδίου.
  • Ο στροβιλισμός σε κάθε σημείο του πεδίου ροής ενός ρευστού.
  • Το επαγόμενο ρεύμα από την κίνηση αγωγού μέσα σε μαγνητικό πεδίο.
  • Τα μοναδιαία διανύσματα x, y και z σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων μπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε να συμφωνούν με τον κανόνα του δεξιού χεριού. Τέτοια συστήματα συντεταγμένων χρησιμοποιούνται συχνά στην κινηματική.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 Watson, George (1998). «PHYS345 Introduction to the Right Hand Rule». udel.edu. University of Delaware. 
  2. IIT Foundation Series: Physics – Class 8, Pearson, 2009, σελ. 312

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]