Κωνική τομή

Κωνικές τομές

Κωνική τομή ονομάζεται μία καμπύλη που προκύπτει από την τομή κώνου και επιπέδου, ή ακριβέστερα, από την τομή ενός επιπέδου με δύο ίσες ορθές άπειρες κωνικές επιφάνειες που έχουν κοινό άξονα και συνδέονται στην κορυφή τους (ο ένας κώνος εφαρμόζει "αναποδογυρισμένος" πάνω στην κορυφή του άλλου). Όλες οι καμπύλες το πολύ δεύτερης τάξης στο επίπεδο είναι κωνικές τομές.

Η θέση του επιπέδου ως προς τον κώνο καθορίζει τη μορφή της κωνικής τομής:

• Εάν το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου η τομή είναι ένας κύκλος.
• Εάν το επίπεδο δεν είναι κάθετο στον άξονα του κώνου και τέμνει όλες τις γενέτειρες αυτού, η κλειστή καμπύλη που δημιουργείται είναι έλλειψη.
• Εάν το επίπεδο είναι παράλληλο προς μια γενέτειρα του κώνου, η τομή είναι παραβολή.
• Εάν το επίπεδο δεν είναι κάθετο στον άξονα του κώνου και ούτε παράλληλο προς μια γενέτειρα αυτού, τότε η καμπύλη που προκύπτει είναι υπερβολή.
• Τέλος εάν το επίπεδο διέρχεται από την κορυφή του κώνου, η τομή λέγεται εκφυλισμένη κωνική τομή. Στην περίπτωση αυτή η τομή είναι ένα σημείο (εκφυλισμένη έλλειψη) ή μία ευθεία (εκφυλισμένη παραβολή) ή ένα ζεύγος ευθειών που διέρχονται από την κορυφή (εκφυλισμένη υπερβολή).

Ενιαίος ορισμός κωνικών τομών

Γενικότερα ως κωνική τομή μπορεί να οριστεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ενός επιπέδου των οποίων ο λόγος της απόστασης αυτών από σταθερό σημείο E (εστία) προς την απόσταση αυτών από μια σταθερή ευθεία δ (διευθετούσα) είναι σταθερός και ίσος προς $\,\epsilon$, ήτοι δηλαδή:

$\,{\dfrac {d(M,E)}{d(M,\delta )}}=\epsilon$

Ο σταθερός αυτός λόγος$\,\epsilon$ ονομάζεται εκκεντρότητα. Μπορεί να αποδειχθεί ότι:

• Εάν $\,0\leq \epsilon <1$ τότε η κωνική τομή είναι έλλειψη.
  • Στην ειδική περίπτωση κατά την οποία $\,\epsilon =0$ η κωνική τομή είναι κύκλος.
• Εάν $\,\epsilon =1$ τότε η κωνική τομή είναι παραβολή.
• Εάν $\,\epsilon >1$ τότε η κωνική τομή είναι υπερβολή.

Η απόσταση της εστίας Ε από την διευθετούσα δ ορίζεται ως εστιακή παράμετρος και συμβολίζεται με p.

Γενική εξίσωση κωνικής τομής

Κάθε γεωμετρικός τόπος που αντιπροσωπεύεται από μια εξίσωση $\,f(x,y)=0$ δευτέρου βαθμού είναι ένας από τους εξής: σημείο, μια ευθεία, δύο ευθείες, κύκλος, παραβολή, έλλειψη ή υπερβολή.

Η γενική εξίσωση $\,f(x,y)=0$ δευτέρου βαθμού μπορεί να γραφτεί ως:

$\,Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

Θα αρχίσουμε την μελέτη μας εξετάζοντας εάν μπορούμε να απαλείψουμε του όρους πρώτου βαθμού από την ανωτέρω εξίσωση. Προς τον σκοπό αυτό θα μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων στο σημείο $\,(x_{0},y_{0})$ θέτοντας:

$\,x=x'+x_{0}$ $\,y=y'+y_{0}$

και αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές των $\,x,y$ στην γενική εξίσωση λαμβάνουμε:

$\,Ax'^{2}+Bx'y'+Cy'^{2}+(2Ax_{0}+By_{0}+D)x'+(2Cy_{0}+Bx_{0}+E)y'+F'=0$

όπου

$\,F'=Ax_{0}^{2}+Bx_{0}y_{0}+Cy_{0}^{2}+Dx_{0}+Ey_{0}+F$

Για να απαλειφθούν οι όροι πρώτου βαθμού επιλέγουμε $\,x_{0},y_{0}$ τέτοια ώστε

$\,2Ax_{0}+By_{0}+D=0$ $\,2Cy_{0}+Bx_{0}+E=0$

Στην περίπτωση κατά την οποία $\,B^{2}-4AC\neq 0$ οι τιμές για τα $\,x_{0},y_{0}$ ορίζονται και είναι ως ακολούθως:

$\,x_{0}={\dfrac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}}$ $\,y_{0}={\dfrac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}}$

Κατόπιν αυτού η γενική εξίσωση μπορεί να γραφτεί (παραλείποντας τις ' από τις μεταβλητές $\,x,y$)

$\,Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+F'=0$

όπου το $\,F'$ προκύπτει μετά από αντικατάσταση των $\,x_{0},y_{0}$ στην εξίσωση για το $\,F$ ανωτέρω και είναι:

$\,F'=F+{\dfrac {CD^{2}+AE^{2}-BDE}{B^{2}-4AC}}$

Επιπλέον να σημειώσουμε ότι εάν η ανωτέρω εξίσωση $\,Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+F'=0$ ικανοποιείται από ένα οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών $\,(x_{1},y_{1})$ τότε ικανοποιείται και από το $\,(-x_{1},-y_{1})$ και άρα συνεπώς η νέα αρχή των αξόνων συντεταγμένων αποτελεί και το κέντρο του γεωμετρικού τόπου που αντιπροσωπεύει η γενική εξίσωση $\,f(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$.

Δηλαδή εάν $\,B^{2}-4AC\neq 0$ τότε ο γεωμετρικός τόπος $\,f(x,y)$ έχει κέντρο του οποίου οι συντεταγμένες είναι $\,(x_{0},y_{0})$ όπως αυτές προσδιορίστηκαν ανωτέρω.

Ακολούθως θα απλοποιήσουμε περαιτέρω την εξίσωση $\,Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+F'=0$ αλλάζοντας διεύθυνση στους άξονες συντεταγμένων. Προς τον σκοπό αυτό θέτουμε:

$\,x=x'\cos \phi -y'\sin \phi$ $\,y=x'\sin \phi +y'\cos \phi$

οπότε με αντικατάσταση προκύπτει

$\,x'^{2}(A\cos ^{2}\phi +C\sin ^{2}\phi +B\sin \phi \cos \phi )+y'^{2}(A\sin ^{2}\phi +C\cos ^{2}\phi -B\sin \phi \cos \phi )+x'y'\left[2(C-A)\sin \phi \cos \phi +B(\cos ^{2}\phi -\sin ^{2}\phi )\right]+F'=0$

Σκοπός μας είναι να αλλάξουμε την διεύθυνση των αξόνων κατά μια γωνία $\,\phi$ τέτοια ώστε να απαλειφθεί ο όρος $\,x'y'$. Κατά συνέπεια θα υπολογίσουμε την γωνία $\,\phi$ η οποία μηδενίζει τον συντελεστή του όρου $\,x'y'$, δηλαδή θέλουμε:

$\,2(C-A)\sin \phi \cos \phi +B(\cos ^{2}\phi -\sin ^{2}\phi )=(C-A)\sin 2\phi +B\cos 2\phi =(C-A)\tan 2\phi +B=0\iff$ $\,\tan 2\phi ={\dfrac {B}{A-C}}$

και εφόσον πάντοτε μπορεί να βρεθεί $\,\phi$ τέτοιο ώστε $\,\tan 2\phi ={\dfrac {B}{A-C}}$ ο όρος $\,x'y'$ μηδενίζεται και λαμβάνουμε:

$\,x'^{2}(A\cos ^{2}\phi +C\sin ^{2}\phi +B\sin \phi \cos \phi )+y'^{2}(A\sin ^{2}\phi +C\cos ^{2}\phi -B\sin \phi \cos \phi )+F'=0$

οπότε με απλοποίηση (παραλείποντας τις ' των μεταβλητών $\,x,y$) έχουμε:

$\,A'x^{2}+B'y^{2}+F'=0$

όπου

$\,A'={\dfrac {1}{2}}\left[A+C+(A-C)\cos 2\phi +B\sin 2\phi \right]$ $\,B'={\dfrac {1}{2}}\left[A+C-(A-C)\cos 2\phi -B\sin 2\phi \right]$

και αφού $\,\tan 2\phi ={\dfrac {B}{A-C}}$ προκύπτει ότι:

$\,\cos 2\phi ={\dfrac {A-C}{\sqrt {B^{2}+(A-C)^{2}}}},$ $\,\sin 2\phi ={\dfrac {B}{\sqrt {B^{2}+(A-C)^{2}}}}$

οπότε

$\,A'={\dfrac {1}{2}}\left[A+C+{\sqrt {B^{2}+(A-C)^{2}}}\right]$ $\,B'={\dfrac {1}{2}}\left[A+C-{\sqrt {B^{2}+(A-C)^{2}}}\right]$

(1) Εάν $\,F'=0$:

• Στην περίπτωση κατά την οποία $\,A',B'$ έχουν ίδιο πρόσημο, εάν δηλαδή $\,A'B'>0\iff B^{2}-4AC>0$ η εξίσωση αντιπροσωπεύει την αρχή των αξόνων.

• Στην περίπτωση κατά την οποία $\,A',B'$ έχουν διαφορετικό πρόσημο, εάν δηλαδή $\,A'B'<0\iff B^{2}-4AC>0$ η εξίσωση αντιπροσωπεύει δύο ευθείες γραμμές με εξισώσεις:

$\,y=\pm {\sqrt {-{\dfrac {A'}{B'}}}}x$

(2) Εάν $\,F'\neq 0$ μπορούμε να γράψουμε:

$\,-{\dfrac {A'}{F'}}x^{2}-{\dfrac {B'}{F'}}y^{2}=1$

• Στην περίπτωση κατά την οποία $\,A',B',F'$ έχουν ίδιο πρόσημο η εξίσωση είναι αδύνατη.

• Στην περίπτωση κατά την οποία $\,A',B'$ έχουν διαφορετικό πρόσημο, εάν δηλαδή $\,A'B'<0\iff B^{2}-4AC>0$ η εξίσωση αντιπροσωπεύει υπερβολή.

• Στην περίπτωση κατά την οποία $\,A',B'$ έχουν ίδιο πρόσημο αλλά $\,F'$ έχει διαφορετικό πρόσημο, εάν δηλαδή $\,A'B'>0\iff B^{2}-4AC<0$ η εξίσωση αντιπροσωπεύει έλλειψη.

• Στην ειδική περίπτωση κατά την οποία $\,A'=B'$ ήτοι δηλαδή $\,A=C$ και $\,B=0$ τότε η εξίσωση αντιπροσωπεύει κύκλο.

$\,$

Εάν $\,B^{2}-4AC=0$ δεν είναι εφικτό εκτελέσουμε τον μετασχηματισμό μεταφοράς των αξόνων του συστήματος συντεταγμένων και ως εκ τούτου δεν μπορούμε να απαλείψουμε τους όρους πρώτου βαθμού της γενικής εξίσωσης $\,f(x,y)=0$.

Τέλος εάν $B^{2}-4AC=0$ τότε δεν είναι εφικτό εκτελέσουμε τον μετασχηματισμό μεταφοράς των αξόνων του συστήματος συντεταγμένων και ως εκ τούτου δεν μπορούμε να απαλείψουμε τους όρους πρώτου βαθμού της γενικής εξίσωσης $f(x,y)=0$.

Μπορούμε όμως να προχωρήσουμε στον μετασχηματισμό αλλαγής διεύθυνσης (στροφής) των αξόνων του συστήματος συντεταγμένων θέτοντας:

$x=x'\cos \phi -y'\sin \phi$ $y=x'\sin \phi +y'\cos \phi$

Οπότε η γενική εξίσωση $f(x,y)$ γράφεται ως:

$x'^{2}(A\cos ^{2}\phi +C\sin ^{2}\phi +B\sin \phi \cos \phi )$ $+y'^{2}(A\sin ^{2}\phi +C\cos ^{2}\phi -B\sin \phi \cos \phi )$ $+x'y'\left[2(C-A)\sin \phi \cos \phi +B(\cos ^{2}\phi -\sin ^{2}\phi )\right]$ $+x'(D\cos \phi +E\sin \phi )+y'(E\cos \phi -D\sin \phi )+F=0$

Όπως και προηγουμένως εάν θέσουμε

$\tan 2\phi ={\dfrac {B}{A-C}}$

μηδενίζεται ο συντελεστής του όρου $x'y'$ και οι συντελεστές των $x'^{2}$ και $y'^{2}$ είναι:

${\dfrac {1}{2}}\left[A+C\pm {\sqrt {B^{2}+(A-C)^{2}}}\right]$

των οποίων το γινόμενο υπολογίζεται

${\dfrac {1}{4}}\left[A+C+{\sqrt {B^{2}+(A-C)^{2}}}\right]\left[A+C-{\sqrt {B^{2}+(A-C)^{2}}}\right]$ $={\dfrac {1}{4}}\left\{(A+C)^{2}-\left[B^{2}+(A-C)^{2}\right]\right\}$ $={\dfrac {1}{4}}\left[A^{2}+2AC+C^{2}-B^{2}-A^{2}+2AC-C^{2}\right]$ $=-{\dfrac {B^{2}-4AC}{4}}=0$

και το οποίο ισούται προς μηδέν δεδομένου ότι από την υπόθεση διερευνούμε αυτήν ακριβώς την περίπτωση.

Κατά συνέπεια ένας εκ των δύο όρων των $x'^{2}$ ή $y'^{2}$ πρέπει να ισούται προς μηδέν και εξαφανίζεται, έστω ο όρος $x'^{2}$. Έτσι τελικά η γενική εξίσωση $f(x,y)$ στην περίπτωση αυτή μετασχηματίζεται στην ακόλουθη μορφή (παραλείποντας τις ' από τη μεταβλητή $y$):

$C'y^{2}+D'x+E'y+F=0$

όπου

$C'=A\sin ^{2}\phi +C\cos ^{2}\phi -B\sin \phi \cos \phi$ $D'=D\cos \phi +E\sin \phi$ $E'=E\cos \phi -D\sin \phi$

(1) Εάν $D'\neq 0$ αυτή η εξίσωση γράφεται

$C'\left(y+{\dfrac {E'}{2C'}}\right)^{2}=-D'\left(x-{\dfrac {E'^{2}}{4C'D'}}+{\dfrac {F}{D'}}\right)$

και κατά συνέπεια σε αυτή την περίπτωση ο γεωμετρικός τόπος είναι παραβολή.

(2) Εάν $D'=0$, τότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται

$C'y^{2}+E'y+F=0$

• Εάν $E'^{2}-4C'F>0$ τότε η εξίσωση αυτή αντιπροσωπεύει δύο παράλληλες ευθείες με εξισώσεις:

$y={\dfrac {-E'\pm {\sqrt {E'^{2}-4C'F}}}{2C'}}$

.

• Εάν $E'^{2}-4C'F=0$ η εξίσωση αυτή αντιπροσωπεύει μια ευθεία με εξίσωση:

$y={\dfrac {-E'}{2C'}}$

• Και τέλος προφανώς εάν $E'^{2}-4C'F<0$ ο γεωμετρικός τόπος είναι αδύνατος.

Είδη κωνικών τομών

Οι κωνικές τομές είναι:

• το σημείο
• ο κύκλος
• η έλλειψη
• η παραβολή
• η υπερβολή

Αναλλοίωτα και ταξινόμηση κωνικών τομών

Έστω η γενική εξίσωση τετραγωνικής καμπύλης:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

Τότε ορίζονται τα παρακάτω αναλλοίωτα με βάση τα οποία μπορούμε να ταξινομήσουμε τις κωνικές τομές:

$J_{1}=A+C$

$J_{2}=B^{2}-AC$

$J_{3}=\Delta ={\begin{vmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\\\end{vmatrix}}$

$J_{4}={\begin{vmatrix}C&E/2\\E/2&F\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}A&D/2\\D/2&F\\\end{vmatrix}}$

			Κανονικές κωνικές $J_{3}\neq 0$	Εκφυλισμένες κωνικές $J_{3}=0$
Κεντρικές κωνικές $J_{2}\neq 0$	$J_{2}>0$	${\dfrac {J_{3}}{J_{1}}}<0$	Πραγματική έλλειψη	Δύο "φανταστικές ευθείες" τεμνόμενες σε ένα "καθ' υπόστασιν" σημείο
		${\dfrac {J_{3}}{J_{1}}}>0$	Κενό σύνολο (φανταστική έλλειψη)
		${\dfrac {J_{3}}{J_{1}}}=0$	-	Σημείο
	$J_{2}>0$		Υπερβολή	Δύο πραγματικές τεμνόμενες ευθείες
Μη Κεντρικές κωνικές $J_{2}\neq 0$	$J_{4}>0$		Παραβολή	Φανταστικές "παράλληλες" ευθείς
	$J_{4}<0$			Παράλληλες πραγματικές ευθείες
	$J_{4}=0$			Συμπίπτουσες ευθείες

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για τις κωνικές τομές
• Συλλογή από διαδραστικές εφαρμογές για τις κωνικές τομές
• Συλλογή από διαδραστικές εφαρμογές για τις κωνικές τομές

Ελληνικά βιβλία

• Χρυσάκης Θανάσης "Γραμμική Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωμετρία"

Ελληνικά άρθρα

• Τουρναβίτης, Στέργιος (Ιανουαρίου 2023). «Οι κωνικές τομές και οι εφαρμογές τους». Ευκλείδης Β΄ (127): 43-46. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_t127_2023.pdf. 
• Χριστόπουλος, Θανάσης (Ιουνίου 2020). «Εισαγωγή στις κωνικές τομές». Ευκλείδης Β΄ (115): 43-46. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_115_EYKLEIDHS_2020.pdf. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Naylor, B. (Δεκεμβρίου 1931). «1010. [L 1 . 1. a. The Definition of a Conic Section»]. The Mathematical Gazette 15 (216): 495–496. doi:10.2307/3605585. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1931-12_15_216/page/495. 
• Benny, L. B. (Ιανουαρίου 1924). «Some Deductions from the Form of the Equation of the Conic Section». The Mathematical Gazette 12 (168): 8–14. doi:10.2307/3603397. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1924-01_12_168/page/8. 
• Fox, C. (Μαΐου 1929). «The Orthocentre and Some Properties of Conic Sections». The Mathematical Gazette 14 (201): 451–454. doi:10.2307/3608101. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1929-05_14_201/page/451. 
• Rumsey, C. A. (Δεκεμβρίου 1903). «Note on the Treatment of Conic Sections and Conicoids By Pure Geometry». The Mathematical Gazette 2 (42): 356–360. doi:10.2307/3603039. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1903-12_2_42/page/356. 
• Maanen, Jan Van (Ιουλίου 1992). «Seventeenth century instruments for drawing conic sections». The Mathematical Gazette 76 (476): 222–230. doi:10.2307/3619131. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1992-07_76_476/page/222. 
• Mahony, John D. (Ιουλίου 2019). «Locating parameters of interest in a conic section». The Mathematical Gazette 103 (557): 196–203. doi:10.1017/mag.2019.50.