Χρήστης:VasilisVV/πρόχειρο/

Το βασικό θεώρημα του Hilbert[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεώρημα. Αν R είναι ένας αριστερός δακτύλιος Noether τότε ο πολυωνυμικός δακτύλιος R[X] είναι, επίσης, ένας αριστερός δακτύλιος Noether.

Το βασικό θεώρημα του Hilbert έχει μερικά άμεσα πορίσματα:

Με επαγωγή μπορούμε να δούμε ότι $R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ , επίσης, θα είναι Noether δακτύλιος.
Από οποιαδήποτε αφφινική πολλαπλότητα πάνω από το $R^{n}$ (δηλαδή γεωμετρικό σύνολο απο μία συλλογή από πολυώνυμα) μπορεί να γραφτεί ως ιδανικός χώρος ${\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ και περαιτέρω ως ο γεωμετρικός τόπος των παραγουσών της , προκύπτει ότι κάθε αφφινική πολλαπλότητα είναι ο γεωμετρικός τόπος πολλών πεπερασμένων πολυωνύμων, δηλαδή η τομή πολλών πεπερασμένωνυπερεπιφανειών.
Αν $A$ είναι πεπερασμένα-παραγόμενη $R$ -άλγεβρα, τότε γνωρίζουμε ότι $A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}$ , όπου ${\mathfrak {a}}$ είναι ένα ιδανικό. Το βασικό θεώρημα συνεπάγεται ότι ${\mathfrak {a}}$ πρέπει να είναι πεπερασμένα παραγόμενο, έτσι ώστε ${\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})$ , δηλαδή $A$ είναι φανερά πεπερασμένη.

Πρωτοβάθμια παραγοντοποίηση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα ιδανικό Q του δακτυλίου είναι πρώτο αν Q είναι γνήσιο και όποτε xy ∈ Q, είτε x ∈ Q ή yⁿ ∈ Q για κάποιο θετικό ακέραιο n. Στο Ζ, τα πρώτα ιδανικά είναι ακριβώς τα ιδανικά της μορφής (p,^e), όπου p είναι πρώτος και e είναι ένας θετικός ακέραιος. Έτσι, μία πρωτοβάθμια παραγοντοποίηση (n) αντιστοιχεί σε αντιπρόσωπο (n) ως την τομή πολλών πεπερασμένων πρώτων ιδανικών.

Το θεώρημα Lasker-Noether , που δίνεται εδώ, μπορεί να θεωρηθεί ως μία συγκεκριμένη γενίκευση του θεμελιώδους θεωρήματος της αριθμητικής:

Lasker-Noether Θεώρημα. Έστω R είναι ένας αντιμεταθετικός Noether δακτύλιος και έστω Ι ένα ιδεώδες του R. Στη συνέχεια, θα μπορεί να γραφτεί ως το σημείο τομής πολλών πεπερασμένων πρώτων ιδανικών με διακριτές ρίζες, δηλαδή:
$I=\bigcap _{i=1}^{t}Q_{i}$

με Qπρώτο για όλα τα i και Rad(Q_i) ≠ Ρ(Q,_j) για i ≠ j. Επιπλέον, εάν:

$I=\bigcap _{i=1}^{k}P_{i}$
είναι η παραγοντοποίηση του i με το Rad(P_i) ≠ Ρ(P_j) για i ≠ j, και οι δύο παραγοντοποιήσεις του θα είναι ανάγωγες (που σημαίνει ότι δεν υπάρχει γνήσιο υποσύνολο ούτε {Q₁, ..., Q_t} ούτε {Σ₁, ..., P_k} που να αποδίδει μια τομή ίση με I), t = k και (ενδεχομένως, μετά από νέα αρίθμηση του Q_') Rad(Q_i) = Rad(P_i) για όλα i.

Για την πρωτοβάθμια παραγοντοποίηση του i, το σύνολο όλων των ριζών, δηλαδή το σύνολο {Rad(Q₁), ..., Rad(Q,_t)} παραμένει το ίδιο με αυτό του Lasker–Noether θεωρήματος. Στην πραγματικότητα, αποδεικνύεται ότι (για έναν Noether δακτύλιο) το σύνολο είναι ακριβώς η προσάρτηση της ενότητας R/I, δηλαδή το σύνολο όλων των εκμηδενιστών του R/I (θεωρείται ως μια μονάδα πάνω από το R) που είναι πρώτος.

Τοπολογία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η τοπολογία είναι ένας επίσημος τρόπος για να εισάγουμε τους "παρονομαστές" σε έναν συγκεκριμένο δακτύλιο ή μια ενότητα. Δηλαδή, εισάγει έναν νέο δακτύλιο/ενότητα από ένα υπάρχον έτσι ώστε να αποτελείται από κλάσματα

{\frac {m}{s}}

.

όπου οι παρονομαστές s ορίζονται σε ένα δεδομένο υποσύνολο S του R. Το αρχετυπικό παράδειγμα είναι η κατασκευή του δακτυλίου Q των ρητών αριθμών από το δακτύλιο Z των ακεραίων.

Ολοκλήρωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια ολοκλήρωση είναι οποιοδήποτε από τα διάφορα που σχετίζονται με το συναρτήσεις σε δακτύλιους και τις ενότητες που έχουν ως αποτέλεσμα την ολοκλήρωση των τοπολογικών δακτυλίων και modules. Η ολοκλήρωση είναι παρόμοια με την τοπολογία, και μαζί είναι ένα από τα πιο βασικά εργαλεία για την ανάλυση των αντιμεταθετικών δακτύλιων. Οι ολοκληρωμένοι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι έχουν απλούστερη δομή από τους γενικούς και από αυτούς που υπάρχουν στο λήμμα του Hensel.

Zariski τοπολογία σε πρώτα ιδανικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η Zariski τοπολογία καθορίζει την τοπολογία του φάσματος ενός δακτυλίου(το σύνολο των πρώτων ιδανικών).^[1] Σε αυτόν τον τύπο, τα Zariski-κλειστά σύνολα λαμβάνονται για να είναι τα σύνολα

V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} \,(A)\mid I\subseteq P\}

όπου Α είναι ένας σταθερός αντιμεταθετικός δακτύλιος και I είναι ένα ιδανικό. Αυτά ορίζονται κατά αναλογία με την κλασική Zariski τοπολογία, όπου κλειστά σύνολα σε αφφινικό χώρο είναι εκείνα που ορίζονται από πολυωνυμικές εξισώσεις . Για να δείτε την σύνδεση με την κλασική εικόνα, σημειώστε ότι για κάθε σύνολο S των πολυωνύμων (πάνω από ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο), όπως προκύπτει από το Nullstellensatz του Hilbert ότι τα σημεία Β(S) (με την παλιά έννοια) είναι ακριβώς oι πλειάδες(a₁, ..., a_n) τέτοιες ώστε (x₁ - a₁, ..., x_n - a_n) να περιέχουν το S, επιπλέον, αυτά είναι μέγισταl ιδεώδη και από το "ασθενές" Nullstellensatz, ένα ιδανικό για οποιονδήποτε αφφινικό συντονισμένο δακτύλιο είναι μέγιστο αν και μόνο αν είναι αυτής της μορφής. Συνεπώς, V(S) είναι "το ίδιο" όπως τα μέγιστα ιδεώδη που περιέχουν το S. Η καινοτομία του Grothendieck στον καθορισμό του Spec ήταν ότι αντικατέστησε τα μέγιστα ιδανικά με όλα τα πρώτα ιδανικά σε αυτόν τον τύπο είναι φυσικό απλά να γενικεύσουμε αυτή την παρατήρηση για τον ορισμό του κλειστού συνόλου του φάσματος ενός δακτυλίου.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεμελιώδες παράδειγμα στην αντιμεταθετική άλγεβρα είναι ο δακτύλιος των ακεραίων $\mathbb {Z}$ . Η ύπαρξη των πρώτων και το μοναδικό θεώρημα της παραγοντοποίησης έθεσε τα θεμέλια για έννοιες όπως οι Noether δακτύλιοι και η πρωτοβάθμια παραγοντοποίηση.

Άλλα σημαντικά παραδείγματα είναι:

Πολυωνυμικοί δακτύλιοι $R[x_{1},...,x_{n}]$
Το p-αδικοί ακέραιοι
Οι δακτύλιοι των αλγεβρικών ακεραίων.

Συνδέσεις με την αλγεβρική γεωμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η αντιμεταθετική άλγεβρα (με τη μορφή πολυωνυμικών δακτυλίων και των συντελεστών τους, που χρησιμοποιούνται στον ορισμό των αλγεβρικών πολλαπλοτήτων) ήταν πάντα ένα μέρος της αλγεβρικής γεωμετρίας. Ωστόσο, στα τέλη της δεκαετίας του 1950, οι αλγεβρικές πολλαπλότητες ήταν ενταγμένες στην έννοια του συστήματος του Alexander Grothendieck. Τα τοπικά αντικείμενα είναι αφφινικά συστήματα ή φάσματα τα οποία είναι τοπικοί δακτύλιοι χώροι που αποτελούν μια κατηγορία, η οποία είναι μη ισοδύναμη (δυαδική) για την κατηγορία των αντιμεταθετικών μοναδιαίων δακτυλίων, για την επέκταση της δυαδικότητας μεταξύ της κατηγορίας των αφφινικών αλγεβρικών πολλαπλοτήτων πάνω από ένα πεδίο k, και την κατηγορία των πεπερασμένων παραγόμενων μειωμένων k-αλγεβρών. Η σύνδεση βρίσκεται στην Zariski τοπολογία, όπου κάποιος μπορεί να την ενσωματώσει στην κατηγορία των τοπικών δακτυλιακών χώρων, αλλά επίσης η χρήση της Yoneda ενσωμάτωσης, κατά την πιο αφηρημένη κατηγορία αλυσίδων των συνόλων πάνω από την κατηγορία των αφφινικών συστημάτων. Η Zariski τοπολογία ως θεωρητική έννοια, στη συνέχεια αντικαταστήθηκε από την Zariski τοπολογία, με την έννοια της τοπολογίας Grothendieck. Ο Grothendieck εισήγαγε τις Grothendieck τοπολογίες έχοντας κατά νου πιο εξωτικά, αλλά γεωμετρικά λεπτότερα και πιο ευαίσθητα παραδείγματα από την ακατέργαστη Zariski τοπολογία, δηλαδή την étale τοπολογία, και τις δύο επίπεδες Grothendieck τοπολογίες: fppf και fpqc, σήμερα κάποια άλλα παραδείγματα διέπρεψαν συμπεριλαμβανομένων της Nisnevich τοπολογίας. Οι αλυσίδες μπορεί να είναι επιπλέον γενικευμένες σε στοίβες κατά την έννοια του Grothendieck, συνήθως με κάποιες επιπλέον αντιπροσωπευτικές συνθήκες που οδηγούν σε Artin στοίβες και, ακόμα πιο συγκεκριμένα, σε Deligne-Mumford στοίβες, και οι δύο συχνά ονομάζονται αλγεβρικές στοίβες.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Dummit, D. S.· Foote, R. (2004). Abstract Algebra (3 έκδοση). Wiley. σελίδες 71–72. ISBN 9780471433347.

Michael Atiyah & Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Massachusetts : Addison-Wesley Publishing, 1969.
Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra. Chapters 1--7. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp. ISBN 3-540-64239-0
Bourbaki, Nicolas, Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. (Elements of mathematics. Commutative algebra. Chapters 8 and 9) Reprint of the 1983 original. Springer, Berlin, 2006. ii+200 pp. ISBN 978-3-540-33942-7
David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.
Rémi Goblot, "Algèbre commutative, cours et exercices corrigés", 2e édition, Dunod 2001, ISBN 2-10-005779-0
Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
Matsumura, Hideyuki, Commutative algebra. Second edition. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN 0-8053-7026-9
Matsumura, Hideyuki, Commutative Ring Theory. Second edition. Translated from the Japanese. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1989. ISBN 0-521-36764-6
Nagata, Masayoshi, Local rings. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13. Interscience Publishers a division of John Wiley and Sons, New York-London 1962 xiii+234 pp.
Miles Reid, Undergraduate Commutative Algebra (London Mathematical Society Student Texts), Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1996.
Jean-Pierre Serre, Local algebra. Translated from the French by CheeWhye Chin and revised by the author. (Original title: Algèbre locale, multiplicités) Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000. xiv+128 pp. ISBN 3-540-66641-9
Sharp, R. Y., Steps in commutative algebra. Second edition. London Mathematical Society Student Texts, 51. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. xii+355 pp. ISBN 0-521-64623-5
Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra. Vol. 1, 2. With the cooperation of I. S. Cohen. Corrected reprinting of the 1958, 1960 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 28, 29. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975.

[[Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα]]

[1] Dummit, D. S.· Foote, R. (2004). Abstract Algebra (3 έκδοση). Wiley. σελίδες 71–72. ISBN 9780471433347.

[1]