Αλγεβρικός ακέραιος

Ένας μιγαδικός αριθμός θ καλείται αλγεβρικός ακέραιος αν υπάρχει κανονικό πολυώνυμο $p(t)$ με ακεραίους συντελεστές έτσι ώστε $p(\theta )=0$ δηλαδή $\theta ^{n}+a_{n-1}\theta ^{n-1}+..+a_{0}=0$ όπου $a_{i}\in \mathbb {Z}$. Το σύνολο των αλγεβρικών ακεραίων συμβολίζεται με $\mathbb {B}$ και αποτελεί υποδακτύλιο του σώματος των αλγεβρικών αριθμών. Ισχύει δε, ότι η τομή των αλγεβρικών ακεραίων με τον δακτύλιο των ρητών είναι ακριβώς ο δακτύλιος των ακεραίων. Οι αλγεβρικοί ακέραιοι διαδραματίζουν ουσιαστικό ρόλο στην απόδειξη του Θεωρήματος του Burnside, που αναφέρει ότι κάθε πεπερασμένη ομάδα που έχει τάξη γινόμενο δυνάμεων πρώτων είναι επιλύσιμη.

Παραδείγματα

• Ο ${\sqrt {3}}$ είναι αλγεβρικός ακέραιος καθώς είναι ρίζα του πολυωνύμου $p(t)=t^{2}-3\in \mathbb {Z} [t]$

• Ο χρυσός αριθμός $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ είναι αλγεβρικός ακέραιος καθώς είναι ρίζα του πολυωνύμου $p(t)=t^{2}-t-1\in \mathbb {Z} [t]$