Δυναμοσύνολο

Στα μαθηματικά, το δυναμοσύνολο ενός συνόλου $X$ είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του. Συνήθως συμβολίζεται με ${\mathcal {P}}(X)$, όπου το ${\mathcal {P}}$ έρχεται από τον αγγλικό όρο powerset. Επίσης συχνά συμβολίζεται ως $2^{X}$.

Με συμβολισμούς θεωρίας συνόλων, το δυναμοσύνολο ισούται με

${\mathcal {P}}(X)=\{A:A\subseteq X\}$,

η ύπαρξη του οποίου προκύπτει από τα αξιώματα της αντίστοιχης θεωρίας (όπως αυτά της θεωρίας Ζερμέλο Φράνκελ).

Παραδείγματα

• Το σύνολο $X=\{x,y\}$ έχει τα εξής υποσύνολα:
  • Μεγέθους 0: $\{\}$
  • Μεγέθους 1: $\{x\},\{y\}$
  • Μεγέθους 2: $\{x,y\}$

Επομένως, $P(X)=\{\{\},\{x\},\{y\},\{x,y\}\}$.

• Το σύνολο $X=\{x,y,z\}$ έχει τα εξής υποσύνολα:
  • Μεγέθους 0: $\{\}$
  • Μεγέθους 1: $\{x\},\{y\},\{z\}$
  • Μεγέθους 2: $\{x,y\},\{y,z\},\{x,z\}$
  • Μεγέθους 3: $\{x,y,z\}$

Επομένως, $P(X)=\{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{y,z\},\{x,z\},\{x,y,z\}\}$.

Ιδιότητες

• Αν το $X$ είναι υποσύνολο του $Y$ ($X\subseteq Y$), τότε ${\mathcal {P}}(X)\subset {\mathcal {P}}(Y)$.
• ${\mathcal {P}}(X)\cap {\mathcal {P}}(Y)={\mathcal {P}}(X\cap Y)$.
• Αν $x_{1}\in {\mathcal {P}}(X)$ και $x_{2}\in {\mathcal {P}}(X)$, τότε $x_{1}\cap x_{2}\in {\mathcal {P}}(X)$.
• Αν $x_{1}\in {\mathcal {P}}(X)$ και $x_{2}\in {\mathcal {P}}(X)$, τότε $x_{1}\cup x_{2}\in {\mathcal {P}}(X)$.

Πλήθος στοιχείων

Το δυναμοσύνολο ${\mathcal {P}}(X)$ ενός πεπερασμένου συνόλου $X$ με $n$ στοιχεία, έχει συνολικά $2^{n}$ στοιχεία.

Για παράδειγμα, για ένα σύνολο $X$ με $|X|=2$ έχουμε $|{\mathcal {P}}(X)|=2^{2}=4$ και για ένα σύνολο $Y$ με $|Y|=3$ έχουμε $|{\mathcal {P}}(Y)|=2^{3}=8$.

Απόδειξη  

Η απόδειξη προκύπτει από το γεγονός ότι για κάθε στοιχείο έχουμε δύο επιλογές: είτε (i) να βάλουμε στο σύνολο είτε (ii) να μην στο βάλουμε. Επομένως, από την βασική αρχή απαρίθμησης

$|{\mathcal {P}}(X)|=\underbrace {2\cdot \ldots \cdot 2} _{n{\text{ όροι}}}=2^{n}$.

Δείτε επίσης

• Θεωρία συνόλων
• Τομή συνόλων
• Ένωση συνόλων