Δυναμοσύνολο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στα μαθηματικά, το δυναμοσύνολο ενός συνόλου είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του. Συνήθως συμβολίζεται με , όπου το έρχεται από τον αγγλικό όρο powerset. Επίσης συχνά συμβολίζεται ως .[1]:21[2]:9

Με συμβολισμούς θεωρίας συνόλων, το δυναμοσύνολο ισούται με

,

η ύπαρξη του οποίου προκύπτει από τα αξιώματα της αντίστοιχης θεωρίας (όπως αυτά της θεωρίας Ζερμέλο Φράνκελ).

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Το σύνολο έχει τα εξής υποσύνολα:
    • Μεγέθους 0:
    • Μεγέθους 1:
    • Μεγέθους 2:
Επομένως, .
  • Το σύνολο έχει τα εξής υποσύνολα:
    • Μεγέθους 0:
    • Μεγέθους 1:
    • Μεγέθους 2:
    • Μεγέθους 3:
Επομένως, .

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Αν το είναι υποσύνολο του (), τότε .
  • .
  • Αν και , τότε .[1]:23
  • Αν και , τότε .[1]:23

Πλήθος στοιχείων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το δυναμοσύνολο ενός πεπερασμένου συνόλου με στοιχεία, έχει συνολικά στοιχεία.[1]:22[3] Για παράδειγμα, για ένα σύνολο με έχουμε και για ένα σύνολο με έχουμε .

Η απόδειξη προκύπτει από το γεγονός ότι για κάθε στοιχείο έχουμε δύο επιλογές: είτε (i) να βάλουμε στο σύνολο είτε (ii) να μην στο βάλουμε. Επομένως,

.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Τσίχλας, Κωνσταντίνος. «Διακριτά μαθηματικά: Σύνολα» (PDF). Πανεπιστήμιο Πατρών. Ανακτήθηκε στις 5 Φεβρουαρίου 2023. 
  2. Αντωνίου, Ευστάθιος. «Μαθηματικά ΙΙΙ: Διακριτά Μαθηματικά» (PDF). Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Ηλεκτρονικών Συστημάτων. Ανακτήθηκε στις 5 Φεβρουαρίου 2023. 
  3. Αθανασιάδης, Χρήστος Α. (2018). «Διακριτά Μαθηματικά: Σημειώσεις» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 5 Φεβρουαρίου 2023.