Συνάρτηση ήτα του Ντέντεκιντ

Στα μαθηματικά, η Συνάρτηση ήτα του Ντέντεκιντ, που πήρε το όνομά της από τον Ρίχαρντ Ντέντεκιντ, είναι μια δομοστοιχειωτή μορφή βάρους 1/2 και αποτελεί μια συνάρτηση που ορίζεται στο άνω ημιεπίπεδο των μιγαδικών αριθμών, όπου το φανταστικό μέρος είναι θετικό. Εμφανίζεται επίσης στη μποζονική θεωρία χορδών.

Ορισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για κάθε μιγαδικό αριθμό $τ$ με $Im(τ) > 0$ , έστω $q = e 2 πiτ$ ; τότε η συνάρτηση ήτα ορίζεται από,

\eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-e^{2n\pi i\tau }\right)=q^{\frac {1}{24}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right).

Ανυψώνοντας την εξίσωση ήτα στην 24th δύναμη και πολλαπλασιάζοντας με $(2 π) 12$ προκύπτει

\Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )

όπου $Δ$ είναι η σπονδυλωτή διακριτική ικανότητα. Η παρουσία του 24 μπορεί να γίνει κατανοητή σε σχέση με άλλες εμφανίσεις, όπως στο 24-διάστατο πλέγμα Leech.

Η συνάρτηση ήτα είναι ολόμορφη στο άνω ημιεπίπεδο αλλά δεν μπορεί να συνεχιστεί αναλυτικά πέρα από αυτό.

Συντελεστής του Όιλερ phi στον μοναδιαίο δίσκο, χρωματισμένος έτσι ώστε μαύρο = 0, κόκκινο = 4

Η συνάρτηση ήτα ικανοποιεί τις συναρτησιακές εξισώσεις^[1].

{\begin{aligned}\eta (\tau +1)&=e^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau ),\\\eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\tau ).\,\end{aligned}}

Στη δεύτερη εξίσωση το κλαδί της τετραγωνικής ρίζας επιλέγεται έτσι ώστε $\sqrt - iτ = 1$ when $τ = i$ .

Γενικότερα, έστω ότι $a, b, c, d$ είναι ακέραιοι αριθμοί με $ad - bc = 1$ , έτσι ώστε

\tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}

είναι ένας μετασχηματισμός που ανήκει στη σπονδυλωτή ομάδα. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι είτε $c > 0$ , είτε $c = 0$ και $d = 1$ . Τότε

\eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(c\tau +d\right)^{\frac {1}{2}}\eta (\tau ),

όπου

\epsilon (a,b,c,d)={\begin{cases}e^{\frac {bi\pi }{12}}&c=0,\,d=1,\\e^{i\pi \left({\frac {a+d}{12c}}-s(d,c)-{\frac {1}{4}}\right)}&c>0.\end{cases}}

Επομένως $s (h, k)$ είναι το άθροισμα του Ντέντεκιντ

s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right).

Λόγω αυτών των λειτουργικών εξισώσεων η συνάρτηση ήτα είναι μια σπονδυλωτή μορφή βάρους 1/2 και επιπέδου 1 για έναν συγκεκριμένο χαρακτήρα τάξης 24 του μεταπλεκτικού διπλού καλύμματος της σπονδυλωτής ομάδας και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό άλλων σπονδυλωτών μορφών. Συγκεκριμένα η σπονδυλωτή διακριτική ικανότητα του Βάιερστρας μπορεί να οριστεί ως ακολούθως

\Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}\,

και είναι μια σπονδυλωτή μορφή βάρους 12. Ορισμένοι συγγραφείς παραλείπουν τον παράγοντα $(2 π) 12$ , έτσι ώστε το ανάπτυγμα της σειράς να έχει ακέραιους συντελεστές.

Το τριπλό γινόμενο Γιακόμπι συνεπάγεται ότι το ήτα είναι (μέχρι έναν παράγοντα) μια συνάρτηση θήτα Γιακόμπι (Jacobi) για ειδικές αξίες των επιχειρημάτων:^[2]

\eta (\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)\exp \left({\frac {\pi in^{2}\tau }{12}}\right),

όπου $χ (n)$ είναι "ο" χαρακτήρας Ντίρικλετ modulo 12 με $χ (\pm1) = 1$ και $χ (\pm5) = -1$ . Αναλυτικά,

\eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\vartheta \left({\frac {\tau +1}{2}};3\tau \right).

Η συνάρτηση Όιλερ

{\begin{aligned}\phi (q)&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)\\&=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau ),\end{aligned}}

διαθέτει μια δυναμοσειρά μέσω της ταυτότητας του Όιλερ:

\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.

Επειδή η συνάρτηση ήτα είναι εύκολο να υπολογιστεί αριθμητικά από οποιαδήποτε δυναμοσειρά, είναι συχνά χρήσιμο στους υπολογισμούς να εκφράζονται άλλες συναρτήσεις ως προς αυτήν, όταν είναι δυνατόν, και τα γινόμενα και τα πηλίκα των συναρτήσεων ήτα, που ονομάζονται πηλίκα ήτα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να εκφράσουν μια μεγάλη ποικιλία σπονδυλωτών μορφών.

Η εικόνα σε αυτή τη σελίδα δείχνει το modulus της συνάρτησης Όιλερ: ο πρόσθετος παράγοντας $q 1 / 24$ μεταξύ αυτής και της ήτα δεν κάνει σχεδόν καμία οπτική διαφορά. Έτσι, η εικόνα αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως εικόνα του eta ως συνάρτηση του $q$ .

Συνδυαστικές ταυτότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η θεωρία των αλγεβρικών χαρακτήρων των affine άλγεβρων Lie οδηγεί σε μια μεγάλη κατηγορία άγνωστων έως σήμερα ταυτοτήτων για τη συνάρτηση ήτα. Οι ταυτότητες αυτές προκύπτουν από τον τύπο χαρακτήρων Weyl-Kac και πιο συγκεκριμένα από τις λεγόμενες "ταυτότητες του παρονομαστή". Οι ίδιοι οι χαρακτήρες μας επιτρέπουν να κατασκευάσουμε γενικεύσεις της συνάρτησης θήτα του Γιακόμπι (Jacobi) που μετασχηματίζονται κάτω από τη σπονδυλωτή ομάδα- αυτό είναι που οδηγεί στις ταυτότητες. Ένα παράδειγμα μιας από αυτές τις νέες ταυτότητες^[3] έχει ως εξής

\eta (8\tau )\eta (16\tau )=\sum _{m,n\in \mathbb {Z}  \atop m\leq |3n|}(-1)^{m}q^{(2m+1)^{2}-32n^{2}}

όπου $q = e 2 πiτ$ είναι το $q$ -ανάλογο ή η "παραμόρφωση" του υψηλότερου βάρους μιας ενότητας.

Ειδικές τιμές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Από την παραπάνω σχέση με τη συνάρτηση Όιλερ και τις ειδικές τιμές της, μπορούμε εύκολα να συμπεράνουμε ότι

{\begin{aligned}\eta (i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left({\tfrac {1}{2}}i\right)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {7}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (2i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (3i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2{\sqrt[{3}]{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}\right)^{\frac {1}{12}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (4i)&={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {29}{16}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)&=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {{\sqrt[{8}]{3}}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}}{2\pi }}\end{aligned}}

Πηλίκα Ήτα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα πηλίκα Ήτα ορίζονται από πηλίκα της μορφής

\prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}

όπου $d$ είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός και $r d$ είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός. Οι γραμμικοί συνδυασμοί των πηλίκων ήτα σε φανταστικά τετραγωνικά ορίσματα μπορεί να είναι αλγεβρικοί, ενώ οι συνδυασμοί των πηλίκων ήτα μπορεί να είναι ακόμη και ολοκληρωτικοί. Παραδείγματος χάριν.

{\begin{aligned}j(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+2^{8}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{16}\right)^{3}\\[6pt]j_{2A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}\\[6pt]j_{3A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\frac {\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}\\[6pt]j_{4A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\end{aligned}}

με την 24th δύναμη της σπονδυλωτής συνάρτησης Βέμπερ $𝔣(τ)$ }. Τότε,

{\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640320^{3},&e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640320^{3}+743.99999999999925\dots \\[6pt]j_{2A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{2}}\right)&=396^{4},&e^{\pi {\sqrt {58}}}&\approx 396^{4}-104.00000017\dots \\[6pt]j_{3A}\left({\frac {1+{\sqrt {-{\frac {89}{3}}}}}{2}}\right)&=-300^{3},&e^{\pi {\sqrt {\frac {89}{3}}}}&\approx 300^{3}+41.999971\dots \\[6pt]j_{4A}\left({\frac {\sqrt {-7}}{2}}\right)&=2^{12},&e^{\pi {\sqrt {7}}}&\approx 2^{12}-24.06\dots \end{aligned}}

και ούτω καθεξής, τιμές που εμφανίζονται στη σειρά Ραμανουτζάν-Σάτο.

Τα πηλίκα Ήτα μπορούν επίσης να αποτελέσουν ένα χρήσιμο εργαλείο για την περιγραφή των βάσεων των σπονδυλωτών μορφών, οι οποίες είναι γνωστό ότι είναι δύσκολο να υπολογιστούν και να εκφραστούν άμεσα. Το 1993 οι Βασίλ Γκόρντον και Κιμ Χιουζ απέδειξαν ότι αν ένα πηλίκο ήτα $η g$ της παραπάνω μορφής, δηλαδή $\prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}$ ικανοποιεί

\sum _{0<d\mid N}dr_{d}\equiv 0{\pmod {24}}\quad {\text{and}}\quad \sum _{0<d\mid N}{\frac {N}{d}}r_{d}\equiv 0{\pmod {24}},

τότε $η g$ είναι μια σπονδυλωτή μορφή βάρους $k$ για την υποομάδα συνάφειας $Γ 0 (N)$ (μέχρι την ολομορφία) όπου^[4]

k={\frac {1}{2}}\sum _{0<d\mid N}r_{d}.

Αυτό το αποτέλεσμα επεκτάθηκε το 2019 έτσι ώστε να ισχύει το αντίστροφο για τις περιπτώσεις που $N$ είναι συναριθμητικό του 6, και παραμένει ανοιχτό ότι το αρχικό θεώρημα είναι απότομο για όλους τους ακέραιους $N$ .^[5] Αυτό επεκτείνεται επίσης για να δηλώσει ότι οποιοδήποτε σπονδυλωτό ήτα πηλίκο για οποιαδήποτε υποομάδα σύμπτωσης επιπέδου $n$ πρέπει επίσης να είναι μια σπονδυλωτή μορφή για την ομάδα $Γ(N)$ . Ενώ αυτά τα θεωρήματα χαρακτηρίζουν τα modular ήτα πηλίκα, η συνθήκη της ολομορφικότητας πρέπει να ελεγχθεί ξεχωριστά χρησιμοποιώντας ένα θεώρημα που προέκυψε από την εργασία του Ζεράρ Λιγκοζάτ^[6] και του Ιβ Μαρτίν:^[7]

Αν το $η g$ είναι ένα πηλίκο ήτα που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες για τον ακέραιο $N$ και τα $c$ και $d$ είναι συναριθμητικοί ακέραιοι, τότε η σειρά εξαφάνισης στην κορυφή $c / d$ σε σχέση με το $Γ 0 (N)$ είναι

{\frac {N}{24}}\sum _{0<\delta |N}{\frac {\gcd \left(d,\delta \right)^{2}r_{\delta }}{\gcd \left(d,{\frac {N}{\delta }}\right)d\delta }}.

Αυτά τα θεωρήματα παρέχουν ένα αποτελεσματικό τρόπο δημιουργίας ολόμορφων σπονδυλωτών πηλίκων ήτα, ωστόσο αυτό μπορεί να μην επαρκεί για την κατασκευή μιας βάσης για έναν διανυσματικό χώρο σπονδυλωτών μορφών και μορφών cusp. Ένα χρήσιμο θεώρημα για τον περιορισμό του αριθμού των σπονδυλωτών πηλίκων ήτα που πρέπει να εξεταστούν δηλώνει ότι ένα ολομορφικό σπονδυλωτό πηλίκο ήτα βάρους $k$ στο $Γ 0 (N)$ πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες.

\sum _{0<d\mid N}|r_{d}|\leq \prod _{p\mid N}\left({\frac {p+1}{p-1}}\right)^{\min {\bigl (}2,{\text{ord}}_{p}(N){\bigr )}},

όπου $ord p (N)$ υποδηλώνει τον μεγαλύτερο ακέραιο $m$ τέτοιο ώστε pm να διαιρεί το $p m$ να διαιρεί το $N$ .^[8]. Αυτά τα αποτελέσματα οδηγούν σε διάφορους χαρακτηρισμούς των χώρων των σπονδυλωτών μορφών που μπορούν να καλυφθούν από σπονδυλωτά πηλίκα ήτα.^[8] Χρησιμοποιώντας τη δομή βαθμωτού δακτυλίου στο δακτύλιο των σπονδυλωτών μορφών, μπορούμε να υπολογίσουμε βάσεις διανυσματικών χώρων σπονδυλωτών μορφών που αποτελούνται από $\mathbb {C}$ -γραμμικούς συνδυασμούς των πηλίκων ήτα. Παραδείγματος χάριν, αν υποθέσουμε ότι το = pq}} είναι ένας ημίπριμος τότε η ακόλουθη διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό μιας βάσης ε-ποσοστού του $M k (Γ 0 (N))$ .^[5]

Καθορίζουμε έναν ημιπρίμονα $N = pq$ που είναι συνομήλικας του 6 (δηλαδή $p, q > 3$ ). Γνωρίζουμε ότι οποιοδήποτε σπονδυλωτό πηλίκο ήτα μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τα παραπάνω θεωρήματα, οπότε είναι λογικό να τα υπολογίσουμε αλγοριθμικά.
Υπολογίζουμε τη διάσταση $D$ του $M k (Γ 0 (N))$ . Αυτό μας λέει πόσα γραμμικά ανεξάρτητα σπονδυλωτά πηλίκια ήτα θα πρέπει να υπολογίσουμε για να σχηματίσουμε μια βάση.
Να μειωθεί ο αριθμός των ποσοστηρίων ήτα που πρέπει να εξεταστούν. Για τους ημιπρίμους μπορούμε να μειώσουμε τον αριθμό των διαμερισμάτων χρησιμοποιώντας το όριο στο
$\sum _{0<d\mid N}|r_{d}|$

και παρατηρώντας ότι το άθροισμα των τάξεων φυγής στις κορυφές του $Γ 0 (N)$ πρέπει να είναι ίσο με

$S:={\frac {(p+1)(q+1)}{6}}$ .^[5]
Να βρεθούν όλες οι κατατμήσεις του $S$ σε 4 τετράδες (υπάρχουν 4 κορυφές του $Γ 0 (N)$ ), και μεταξύ αυτών να εξεταστούν μόνο οι κατατμήσεις που ικανοποιούν τις συνθήκες των Γκόρντον και Χιουζ (μπορούμε να μετατρέψουμε τις τάξεις εξαφάνισης σε εκθέτες). Κάθε ένα από αυτά τα χωρίσματα αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό πηλίκο ήτα.
Να προσδιοριστεί ο ελάχιστος αριθμός όρων στην $q$ -επέκταση κάθε πηλίκου ήτα που απαιτείται για τη μονοσήμαντη ταυτοποίηση των στοιχείων (αυτό χρησιμοποιεί ένα αποτέλεσμα γνωστό ως όριο του Sturm). Στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε γραμμική άλγεβρα για να προσδιορίσετε ένα μέγιστο ανεξάρτητο σύνολο μεταξύ αυτών των ήτα πηλίκων.
Υποθέτοντας ότι δεν έχουμε ήδη βρει $D$ γραμμικά ανεξάρτητα πηλίκα ήτα, βρείτε έναν κατάλληλο διανυσματικό χώρο $M k΄ (Γ 0 (N))$ τέτοιο ώστε $k΄$ και $M k΄ (Γ 0 (N))$ να καλύπτεται από (ασθενώς ολομορφικά) πηλίκα ήτα,^[8] και ο $M k΄ - k (Γ 0 (N))$ να περιέχει ένα πηλίκο ήτα $η g$ .
Παίρνουμε μια σπονδυλωτή μορφή $f$ με βάρος $k$ που δεν είναι στο εύρος των υπολογισμένων μας πηλίκων ήτα και υπολογίζουμε την $f η g$ ως γραμμικό συνδυασμό των πηλίκων ήτα στο $M k΄ (Γ 0 (N))$ και στη συνέχεια διαιρούμε με την $η g$ . Το αποτέλεσμα θα είναι μια έκφραση της $f$ ως γραμμικός συνδυασμός των πηλίκων ήτα όπως επιθυμούμε. Επαναλάβετε αυτό μέχρι να σχηματιστεί μια βάση.

Μια συλλογή από πάνω από 6300 ταυτότητες προϊόντων για τη συνάρτηση Ντέντεκιντ Ήτα σε κανονική, τυποποιημένη μορφή είναι διαθέσιμη στο Wayback machine^[9] του δικτυακού τόπου του Μιχαήλ Σόμου.

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Apostol, Tom M. (1990). Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 41 (2nd έκδοση). Springer-Verlag. ch. 3. ISBN 3-540-97127-0.
Koblitz, Neal (1993). Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Graduate Texts in Mathematics. 97 (2nd έκδοση). Springer-Verlag. ISBN 3-540-97966-2.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Siegel, C. L. (1954). «A Simple Proof of η(−1/τ) = η(τ)√τ/i». Mathematika 1: 4. doi:10.1112/S0025579300000462.
↑ Bump, Daniel (1998), Automorphic Forms and Representations, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55098-X
↑ Fuchs, Jurgen (1992), Affine Lie Algebras and Quantum Groups, Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
↑ Gordon, Basil· Hughes, Kim (1993). «Multiplicative properties of η-products. II.». A Tribute to Emil Grosswald: Number Theory and Related Analysis. Contemporary Mathematics. 143. Providence, RI: American Mathematical Society. σελ. 415–430.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 Allen, Michael; Anderson, Nicholas; Hamakiotes, Asimina; Oltsik, Ben; Swisher, Holly (2020). «Eta-quotients of prime or semiprime level and elliptic curves». Involve 13 (5): 879–900. doi:10.2140/involve.2020.13.879.
↑ Ligozat, G. (1974). Courbes modulaires de genre 1. Publications Mathématiques d'Orsay. 75. U.E.R. Mathématique, Université Paris XI, Orsay. σελ. 7411.
↑ Martin, Yves (1996). «Multiplicative η-quotients». Transactions of the American Mathematical Society 348 (12): 4825–4856. doi:10.1090/S0002-9947-96-01743-6.
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 Rouse, Jeremy; Webb, John J. (2015). «On spaces of modular forms spanned by eta-quotients». Advances in Mathematics 272: 200–224. doi:10.1016/j.aim.2014.12.002.
↑ «Dedekind Eta Function Product Identities by Michael Somos». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 9 Ιουλίου 2019.

[1] Siegel, C. L. (1954). «A Simple Proof of η(−1/τ) = η(τ)√τ/i». Mathematika 1: 4. doi:10.1112/S0025579300000462.

[2] Bump, Daniel (1998), Automorphic Forms and Representations, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55098-X

[3] Fuchs, Jurgen (1992), Affine Lie Algebras and Quantum Groups, Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X

[4] Gordon, Basil· Hughes, Kim (1993). «Multiplicative properties of η-products. II.». A Tribute to Emil Grosswald: Number Theory and Related Analysis. Contemporary Mathematics. 143. Providence, RI: American Mathematical Society. σελ. 415–430.

[AAHOS-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 Allen, Michael; Anderson, Nicholas; Hamakiotes, Asimina; Oltsik, Ben; Swisher, Holly (2020). «Eta-quotients of prime or semiprime level and elliptic curves». Involve 13 (5): 879–900. doi:10.2140/involve.2020.13.879.

[6] Ligozat, G. (1974). Courbes modulaires de genre 1. Publications Mathématiques d'Orsay. 75. U.E.R. Mathématique, Université Paris XI, Orsay. σελ. 7411.

[7] Martin, Yves (1996). «Multiplicative η-quotients». Transactions of the American Mathematical Society 348 (12): 4825–4856. doi:10.1090/S0002-9947-96-01743-6.

[RW-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 Rouse, Jeremy; Webb, John J. (2015). «On spaces of modular forms spanned by eta-quotients». Advances in Mathematics 272: 200–224. doi:10.1016/j.aim.2014.12.002.

[9] «Dedekind Eta Function Product Identities by Michael Somos». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 9 Ιουλίου 2019.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]