Πίνακες Γκελ-Μαν

Οι Πίνακες Γκελ-Μαν, οι οποίοι αναπτύχθηκαν από τον Μάρεϊ Γκελ-Μαν, είναι ένα σύνολο από οκτώ γραμμικά ανεξάρτητους 3×3 ερμιτιανούς πίνακες χωρίς ίχνη που χρησιμοποιούνται στη μελέτη της ισχυρής αλληλεπίδρασης στη σωματιδιακή φυσική. Καλύπτουν την άλγεβρα Λι της ομάδας SU(3) στην καθοριστική αναπαράσταση.

Πίνακες

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.$

Ιδιότητες

Αυτοί οι πίνακες είναι χωρίς ίχνη, ερμιτιανοί και υπακούουν στη σχέση ορθοκανονικότητας του επιπλέον ίχνους, έτσι ώστε να μπορούν να παράγουν μοναδιαία στοιχεία της ομάδας πινάκων του SU(3) μέσω του εκθετικοποίησης. Αυτές οι ιδιότητες επιλέχθηκαν από τον Γκελ-Μαν επειδή στη συνέχεια γενικεύουν με φυσικό τρόπο τους πίνακες Πάουλι για το SU(2) στο SU(3), οι οποίοι αποτέλεσαν τη βάση για το μοντέλο κουάρκ του Γκελ-Μαν. Η γενίκευση του Γκελ-Μαν επεκτείνεται περαιτέρω στο γενικό SU(n). Για τη σύνδεσή τους με την τυπική βάση των αλγεβρών Λι, δείτε τη βάση Γουέιλ-Καρτάν.

Ορθοκανονικότητα ίχνους

Στα μαθηματικά, η ορθοκανονικότητα συνήθως συνεπάγεται μια νόρμα που έχει τιμή μονάδας (1). Οι πίνακες Γκελ-Μαν, ωστόσο, κανονικοποιούνται σε μια τιμή 2. Έτσι, ο ίχνος του κατά ζεύγη γινομένου οδηγεί στη συνθήκη ορθοκανονικοποίησης

$\operatorname {tr} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij},$

όπου $\delta _{ij}$ είναι το δέλτα Κρόνεκερ.

Έτσι οι ενσωματωμένοι πίνακες Πάουλι που αντιστοιχούν στις τρεις ενσωματωμένες υποάλγεβρες της SU(2) είναι συμβατικά κανονικοποιημένοι. Σε αυτή την τρισδιάστατη αναπαράσταση πινάκων, η υποάλγεβρα Καρτάν είναι το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών (με πραγματικούς συντελεστές) των δύο πινάκων $\lambda _{3}$ και $\lambda _{8}$, οι οποίοι αντιμετατίθενται μεταξύ τους.

Υπάρχουν τρεις σημαντικές υποάλγεβρες SU(2):

• $\{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\}$
• $\{\lambda _{4},\lambda _{5},x\},$ και
• $\{\lambda _{6},\lambda _{7},y\},$

όπου τα x και y είναι γραμμικοί συνδυασμοί των $\lambda _{3}$ και $\lambda _{8}$. Τα SU(2) Καζιμίρ αυτών των υποαλγεβρών ανταλλάσσονται αμοιβαία.

Ωστόσο, οποιοσδήποτε μοναδιαίος μετασχηματισμός ομοιότητας αυτών των υποαλγεβρών θα δώσει υποάλγεβρες SU(2). Υπάρχει αμέτρητος αριθμός τέτοιων μετασχηματισμών.

Σχέσεις αντιμετάθεσης

Οι 8 γεννήτριες της SU(3) ικανοποιούν τις σχέσεις μετάθεσης και αντιμετάθεσης

${\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c}f^{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I+2\sum _{c}d^{abc}\lambda _{c},\end{aligned}}$

με τις σταθερές δομής

${\begin{aligned}f^{abc}&=-{\frac {1}{4}}i\operatorname {tr} (\lambda _{a}[\lambda _{b},\lambda _{c}]),\\d^{abc}&={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\lambda _{a}\{\lambda _{b},\lambda _{c}\}).\end{aligned}}$

Οι σταθερές δομής $f^{abc}$ είναι πλήρως αντισυμμετρικές στους τρεις δείκτες, γενικεύοντας την αντισυμμετρία του συμβόλου Λεβί-Σιβιτά $\epsilon _{jkl}$ του SU'(2). Για την παρούσα τάξη των πινάκων Γκελ-Μαν παίρνουν τις τιμές

$f^{123}=1\ ,\quad f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\frac {1}{2}}\ ,\quad f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ .$

Γενικά, αποτιμώνται σε μηδέν, εκτός αν περιέχουν περιττό αριθμό δεικτών από το σύνολο {2,5,7}, που αντιστοιχεί στα αντισυμμετρικά (φανταστικά) λs.

Χρησιμοποιώντας αυτές τις σχέσεις αντιμετάθεσης, το γινόμενο των πινάκων Γκελ-Μαν μπορεί να γραφεί ως εξής

$\lambda _{a}\lambda _{b}={\frac {1}{2}}([\lambda _{a},\lambda _{b}]+\{\lambda _{a},\lambda _{b}\})={\frac {2}{3}}\delta _{ab}I+\sum _{c}\left(d^{abc}+if^{abc}\right)\lambda _{c},$

όπου I είναι ο Ταυτοτικός πίνακας.

Σχέσεις πληρότητας του Φιερζ

Δεδομένου ότι οι οκτώ πίνακες και η ταυτότητα είναι ένα πλήρες ιχνο-ορθογώνιο σύνολο που καλύπτει όλους τους πίνακες 3×3, είναι εύκολο να βρεθούν δύο σχέσεις πληρότητας Φιερζ , (Li & Cheng, 4.134), ανάλογες με αυτές που ικανοποιούνται από τους πίνακες Πάουλι. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιώντας την τελεία για το άθροισμα επί των οκτώ πινάκων και χρησιμοποιώντας ελληνικούς δείκτες για τους δείκτες γραμμής/στήλης τους, ισχύουν οι ακόλουθες ταυτότητες,

$\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }={\frac {1}{3}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }+{\frac {1}{2}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }$

και

$\lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }={\frac {16}{9}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {1}{3}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }~.$

Μπορεί κανείς να προτιμήσει την αναδιατυπωμένη εκδοχή, που προκύπτει από γραμμικό συνδυασμό των παραπάνω,

$\lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }=2\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {2}{3}}\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }~.$

Θεωρία αναπαραστάσεων

Μια συγκεκριμένη επιλογή πινάκων ονομάζεται αναπαράσταση ομάδας, επειδή κάθε στοιχείο της SU(3) μπορεί να γραφεί στη μορφή $\mathrm {exp} (i\theta ^{j}g_{j})$ χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό Αϊνστάιν, όπου οι οκτώ $\theta ^{j}$ είναι πραγματικοί αριθμοί και υπονοείται ένα άθροισμα επί του δείκτη j. Με δεδομένη μια αναπαράσταση, μια ισοδύναμη μπορεί να προκύψει με έναν αυθαίρετο μοναδιαίο μετασχηματισμό ομοιότητας, αφού αυτός αφήνει τον αντιμεταθέτη αμετάβλητο.

Οι πίνακες μπορούν να πραγματοποιηθούν ως αναπαράσταση των απειροελάχιστων γεννητριών της ειδικής μοναδιαίας ομάδας που ονομάζεται The_group_SU(3)|SU(3). Η άλγεβρα Λι αυτής της ομάδας (μια πραγματική άλγεβρα Λι στην ουσία) έχει διάσταση οκτώ και επομένως έχει κάποιο σύνολο με οκτώ γραμμικά ανεξάρτητες γεννήτορες, οι οποίες μπορούν να γραφούν ως $g_{i}$, με το i να παίρνει τιμές από το 1 έως το 8.

Οι τελεστές Καζιμίρ και οι αναλλοίωτες

Το τετραγωνικό άθροισμα των πινάκων Γκελ-Μαν δίνει τον τετραγωνικό τελεστή Καζιμίρ, μια αναλλοίωτη της ομάδας,

$C=\sum _{i=1}^{8}\lambda _{i}\lambda _{i}={\frac {16}{3}}I$

όπου $I\,$είναι ταυτοτικός πίνακας 3×3. Υπάρχει επίσης ένας άλλος, ανεξάρτητος, κυβικός τελεστής Καζιμίρ.

Εφαρμογή στην κβαντική χρωμοδυναμική

Δείτε το άρθρο: Κβαντική χρωμοδυναμική

Οι πίνακες αυτοί χρησιμεύουν για τη μελέτη των εσωτερικών (χρωματικών) περιστροφών των σωμάτων γλουονίου που σχετίζονται με τα έγχρωμα κουάρκ της κβαντικής χρωμοδυναμικής (βλ. χρώματα του γλουονίου). Η περιστροφή χρώματος του μετρητή είναι ένα στοιχείο της ομάδας SU(3) που εξαρτάται από το χωροχρόνο

$\;U=\exp \left({\frac {\ i\ }{2}}\ \theta ^{k}({\mathbf {r} },t)\ \lambda _{k}\right)\;,$ όπου υπονοείται το άθροισμα επί των οκτώ δεικτών k.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Goethals J.M., Seidel J.J. (1967). «Orthogonal matrices with zero diagonal». Canadian Journal of Mathematics 19: 1001–1010. doi:10.4153/cjm-1967-091-8. https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1967_19_5/page/1001. 
• Bressoud, David M., Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, D.C., 1999.(ISBN 978-0521666466)
• Bressoud, David M. and Propp, James, How the alternating sign matrix conjecture was solved, Notices of the American Mathematical Society, 46 (1999), 637–646.
• Mills, William H., Robbins, David P., and Rumsey, Howard Jr., Proof of the Macdonald conjecture, Inventiones Mathematicae, 66 (1982), 73–87.
• Gell-Mann, Murray (1962-02-01). «Symmetries of Baryons and Mesons». Physical Review (American Physical Society (APS)) 125 (3): 1067–1084. doi:10.1103/physrev.125.1067. ISSN 0031-899X. Bibcode: 1962PhRv..125.1067G. 
• Cheng, T.-P.· Li, L.-F. (1983). Gauge Theory of Elementary Particle Physics. Oxford University Press. ISBN 0-19-851961-3. 
• Georgi, H. (1999). Lie Algebras in Particle Physics (2nd έκδοση). Westview Press. ISBN 978-0-7382-0233-4. 
• Arfken, G. B.· Weber, H. J.· Harris, F. E. (2000). Mathematical Methods for Physicists (7th έκδοση). ω. ISBN 978-0-12-384654-9. 
• Kokkedee, J. J. J. (1969). The Quark Model. W. A. Benjamin. LCCN 69014391. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Δέλτα του Κρόνεκερ
• Ταυτοτικός πίνακας
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πεπερασμένο σώμα
• Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Κβαντική χρωμοδυναμική
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Mathematical Methods For Physicists
• Basic Matrix Algebra with Algorithms and Applications
• An Introduction to Optimization: With Applications to Machine Learning
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Designs and Their Codes
• Quantum Geometry, Matrix Theory, and Gravity
• Symmetries, Lie Algebras and Representations: A Graduate Course for Physicists

Παραπομπές

• Paley, R.E.A.C. (1933). «On orthogonal matrices». Journal of Mathematics and Physics 12: 311–320. doi:10.1002/sapm1933121311. Zbl 0007.10004. 
• L. D. Baumert; S. W. Golomb; M. Hall Jr (1962). «Discovery of an Hadamard matrix of order 92». Bull. Amer. Math. Soc. 68 (3): 237–238. doi:10.1090/S0002-9904-1962-10761-7. 
• F.J. MacWilliams· N.J.A. Sloane (1977). The Theory of Error-Correcting Codes. North-Holland. σελίδες 47, 56. ISBN 0-444-85193-3.