Πίνακας από μονάδες

Στην γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας από μονάδες είναι ο πίνακας που όλα του τα στοιχεία είναι μονάδες $1$. Για παράδειγμα, οι παρακάτω πίνακες είναι πίνακες από μονάδες διαφορετικών διαστάσεων,

$J_{2}=\underbrace {\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}} _{2\times 2},\quad J_{2,3}=\underbrace {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}} _{2\times 3},\quad J_{3}=\underbrace {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}} _{3\times 3},\quad J_{4}=\underbrace {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{bmatrix}} _{4\times 4}.$

Για την ειδική περίπτωση που ο πίνακας έχει την μορφή διανύσματος γραμμής ή στήλης, λέγεται διάνυσμα από μονάδες. Για παράδειγμα,

$J_{1,3}={\begin{bmatrix}1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{3,1}={\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}},\quad J_{1,4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{4,1}={\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}.$

Ιδιότητες

Για τον τετραγωνικό πίνακα από μονάδες $J_{n}$ ισχύει ότι:

• Είναι συμμετρικός.
• Το ίχνος του $J_{n}$ ικανοποιεί $\operatorname {tr} (J_{n})=n$.
• Η ορίζουσα του $J_{n}$ ικανοποιεί

$\operatorname {det} (J_{n})={\begin{cases}1&{\text{αν }}n=1\\0&{\text{διαφορετικά}}.\end{cases}}$

• Η τάξη του $J_{n}$ είναι $\operatorname {rank} (J_{n})=1$.
• Ο $J_{n}$ έχει ιδιοδιάνυσμα $J_{n,1}$ με ιδιοτιμή $1$. Από το θεώρημα rank-nullity προκύπτει ότι η ιδιοτιμή $0$ έχει πολλαπλότητα $n-1$.
• Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι $p_{J_{n}}(x)=x^{n-1}\cdot (x-1)$.
• Ο πίνακας ${\tfrac {1}{n}}J_{n}$ είναι ταυτοδύναμος, καθώς για κάθε διάνυσμα $\mathbf {x}$ ισχύει ότι ${\textstyle \mathbf {x} ^{T}J_{n}\mathbf {x} =\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}\geq 0}$.
• Για κάθε φυσικό αριθμό $k\geq 1$, οι δυνάμεις του πίνακα δίνονται από $J_{n}^{k}=n^{k-1}J_{n}$.
• Από την σχέση $J_{n}^{2}=nJ_{n}$ προκύπτει ότι το ελάχιστο πολυώνυμο είναι $p_{J_{n}}(x)=x^{2}-nx$.

Δείτε επίσης

• Μηδενικός πίνακας
• Ταυτοτικός πίνακας