Πίνακας Χάνκελ

Στη γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας Χάνκελ (ή καταλυτικός πίνακας), που πήρε το όνομά του από τον Χέρμαν Χάνκελ, είναι ένας τετραγωνικός πίνακας στον οποίο κάθε ανιούσα λοξή διαγώνιος από αριστερά προς τα δεξιά είναι σταθερή. Παραδείγματος χάριν,

$\qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.$

Γενικότερα, ένας πίνακας Χάνκελ είναι κάθε $n\times n$ πίνακας $A$ της μορφής

$A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&\vdots \\a_{2}&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.$

Όσον αφορά τις συνιστώσες, αν το $i,j$ στοιχείο του $A$ συμβολίζεται με $A_{ij}$, και υποθέτοντας $i\ j$, τότε έχουμε $A_{i,j}=A_{i+k,j-k}$ για όλα τα $k=0,...,j-i.$

Ιδιότητες

• Κάθε πίνακας Χάνκελ είναι συμμετρικός.
• Έστω $J_{n}$ ο $n\times n$ πίνακας ανταλλαγής. Αν $H$ είναι ένας $m\times n$ πίνακας Χανκελ, τότε $H=TJ_{n}$ όπου $T$ είναι ένας $m\times n$ πίνακας Τόεπλιτς.
  • Αν ο $T$ είναι πραγματικός συμμετρικός, τότε ο $H=TJ_{n}$ θα έχει τις ίδιες ιδιοτιμές με τον $T$ μέχρι το πρόσημο.
• Ο πίνακας Χίλμπερτ είναι ένα παράδειγμα πίνακα Χάνκελ.
• Η ορίζουσα ενός πίνακα Χάνκελ ονομάζεται καταλεκτική.

Τελεστής Χάνκελ

Δεδομένης μιας τυπικής σειράς Λοράν

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{N}a_{n}z^{n},$ ο αντίστοιχος τελεστής Χάνκελ ορίζεται ως

$H_{f}:\mathbf {C} [z]\to \mathbf {z} ^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]].$

Αυτό παίρνει ένα πολυώνυμο $g\in \mathbf {C} [z]$ και το στέλνει στο γινόμενο $fg$, αλλά απορρίπτει όλες τις δυνάμεις του $z$ με μη αρνητικό εκθέτη, έτσι ώστε να δώσει ένα στοιχείο στο $z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]$, την τυπική σειρά δυνάμεων με αυστηρά αρνητικούς εκθέτες. Ο χάρτης $H_{f}$ είναι με φυσικό τρόπο $\mathbf {C} [z]$-γραμμικός, και ο πίνακας του ως προς τα στοιχεία $1,z,z^{2},\dots \in \mathbf {C} [z]$ και $z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]$ είναι ο πίνακας Χάνκελ

${\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\ldots \\a_{2}&a_{3}&\ldots \\a_{3}&a_{4}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.$

Με αυτόν τον τρόπο προκύπτει οποιοσδήποτε πίνακας Χάνκελ. Ένα θεώρημα που οφείλεται στον Κρόνεκερ λέει ότι ο βαθμός αυτού του πίνακα είναι πεπερασμένος ακριβώς αν $f$ είναι μια ρητή συνάρτηση, δηλαδή ένα κλάσμα δύο πολυωνύμων

$f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}.$

Προσεγγίσεις

Συχνά ενδιαφερόμαστε για προσεγγίσεις των τελεστών Χάνκελ, ενδεχομένως με τελεστές χαμηλής τάξης. Προκειμένου να προσεγγίσουμε την έξοδο του τελεστή, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη φασματική νόρμα (operator 2-norm) για να μετρήσουμε το σφάλμα της προσέγγισής μας. Αυτό υποδηλώνει την αποσύνθεση ιδιάζουσας τιμής ως μια πιθανή τεχνική για την προσέγγιση της δράσης του τελεστή.

Ας σημειωθεί ότι ο πίνακας $A$ δεν χρειάζεται να είναι πεπερασμένος. Αν είναι άπειρος, οι παραδοσιακές μέθοδοι υπολογισμού μεμονωμένων ιδιάζουσων διανυσμάτων δεν θα λειτουργήσουν άμεσα. Απαιτούμε επίσης ότι η προσέγγιση είναι ένας πίνακας Χάνκελ, κάτι που μπορεί να αποδειχθεί με τη θεωρία AAK.

Μετασχηματισμός πίνακα Χάνκελ

Ο Μετασχηματισμός πίνακα Χάνκελ, ή απλά μετασχηματισμός Χάνκελ, μιας ακολουθία $b_{k}$ είναι η ακολουθία των προσδιοριστών των πινάκων Χάνκελ που σχηματίζονται από τον $b_{k}$. Δεδομένου ενός ακέραιου αριθμού $n>0$, ορίζουμε τον αντίστοιχο $(n\times n)$-διάστατο πίνακα Χάνκελ $B_{n}$ ως έχοντα τα στοιχεία του πίνακα $[B_{n}]_{i,j}=b_{i+j}.$ Τότε η ακολουθία $h_{n}$ που δίνεται από τη σχέση

$h_{n}$ που δίνεται από $h_{n}=\det B_{n}$

είναι ο μετασχηματισμός Χάνκελ της ακολουθίας $b_{k}.$ Ο μετασχηματισμός Χάνκελ είναι αναλλοίωτος υπό τον διωνυμικό μετασχηματισμό μιας ακολουθίας.

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}$

ως διωνυμικό μετασχηματισμό της ακολουθίας $b_{n}$, τότε έχουμε $\det B_{n}=\det C_{n}.$

Εφαρμογές των πινάκων Χάνκελ

Οι πίνακες Χάνκελ σχηματίζονται όταν, δεδομένης μιας ακολουθίας δεδομένων εξόδου, επιθυμείται η υλοποίηση ενός υποκείμενου μοντέλου χώρου καταστάσεων ή κρυμμένου μοντέλου Μαρκόφ Η ιδιάζουσα της μοναδιαίας τιμής του πίνακα Χάνκελ παρέχει ένα μέσο για τον υπολογισμό των πινάκων Α, Β και C που καθορίζουν την υλοποίηση του χώρου καταστάσεων. Ο πίνακας Χάνκελ που σχηματίζεται από το σήμα έχει βρεθεί χρήσιμος για την αποσύνθεση μη στάσιμων σημάτων και την αναπαράσταση χρόνου-συχνότητας.

Μέθοδος των ροπών για πολυωνυμικές κατανομές

Η μέθοδος των ροπών που εφαρμόζεται σε πολυωνυμικές κατανομές οδηγεί σε έναν πίνακα Χάνκελ που πρέπει να αντιστραφεί προκειμένου να ληφθούν οι παράμετροι βάρους της προσέγγισης της πολυωνυμικής κατανομής.

Θετικοί πίνακες Χάνκελ και τα προβλήματα ροπής του Χάμπουργκερ

Περαιτέρω πληροφορίες: Πρόβλημα ροπής Χάμπουργκερ

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τριγωνικός πίνακας
• Πραγματικός αριθμός
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Διωνυμικός συντελεστής
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
• Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Integral Matrices
• An Introduction to Computational Physics
• Elements of Hilbert Spaces and Operator Theory
• Matrix Computations
• A Hilbert Space Problem Book
• Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Sylvester, J. (1884). «Sur l'equations en matrices $px=xq$». :C. R. Acad. Sci. Paris 99 (2): 67–71, 115–116. 
• Harris, Frank E. (2014), Mathematics for Physical Science and Engineering, Elsevier, ISBN 9780128010495 
• Cauchy, Augustin-Louis (1841). Exercices d'analyse et de physique mathématique. Vol. 2 (στα Γαλλικά). Bachelier. 
• Applications of Computational Algebraic Geometry
• A Hilbert Space Problem Book
• Fuhrmann, Paul A. (2012). A polynomial approach to linear algebra. Universitext (2 έκδοση). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4614-0338-8. ISBN 978-1-4614-0337-1. Zbl 1239.15001. 

• Victor Y. Pan (2001). Structured matrices and polynomials: unified superfast algorithms. Birkhäuser. ISBN 0817642404. 
• J.R. Partington (1988). An introduction to Hankel operators. LMS Student Texts. 13. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36791-3. 

Παραπομπές

• Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press.
• Hilbert, David· Cohn-Vossen, Stephan (1999). Geometry and Imagination. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1998-4.  - an accessible set of lectures originally for the citizens of Göttingen.
• David Hilbert (2004). Michael Hallett and Ulrich Majer, επιμ. David Hilbert's Lectures on the foundations of Mathematics and Physics, 1891–1933. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 3-540-64373-7.