Μετάβαση στο περιεχόμενο

Πίνακας Γουάλς

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Ο Πίνακας Χανταμάρ 16ης τάξης πολλαπλασιάζεται με ένα διάνυσμα
Φυσικά διατεταγμένος πίνακας Χανταμάρ που μετασχηματίζεται σε διατεταγμένο πίνακα Γουάλς. Ο αριθμός των αλλαγών προσήμου ανά γραμμή στον φυσικά διατεταγμένο πίνακα είναι (0, 15, 7, 8, 3, 12, 4, 11, 1, 14, 6, 9, 2, 13, 5, 10), στον ταξινομημένο κατά σειρά πίνακα ο αριθμός των αλλαγών προσήμου είναι διαδοχικός.
Αποσύνθεση LDU ενός πίνακα Χανταμάρ. Τα αντίστοιχα των τριγωνικών πινάκων σχηματίζουν τρίγωνα Σιερπίνσκι. Οι καταχωρήσεις του διαγώνιου πίνακα είναι τιμές από την ακολουθία του Γκουλντ, με τα πρόσημα μείον να κατανέμονται όπως αυτά στην ακολουθία Θουέ-Μορς.
Δυαδικός πίνακας Χανταμάρ ως γινόμενο πίνακα. Ο δυαδικός πίνακας (λευκό 0, κόκκινο 1) είναι το αποτέλεσμα με τις πράξεις στο F2. Οι γκρίζοι αριθμοί δείχνουν το αποτέλεσμα με πράξεις σε .

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας Γουάλς[1] είναι ένας συγκεκριμένος τετραγωνικός πίνακας διαστάσεων 2n, όπου n είναι κάποιος συγκεκριμένος φυσικός αριθμός. Οι καταχωρήσεις του πίνακα είναι είτε +1 είτε -1 και οι γραμμές καθώς και οι στήλες του είναι ορθογώνιες. Ο πίνακας Γουάλς προτάθηκε από τον Τζόζεφ Λ. Γουάλς το 1923[2]. Κάθε γραμμή ενός πίνακα Γουάλς αντιστοιχεί σε μια συνάρτηση Γουάλς.[3]

Οι πίνακες Γουάλς είναι μια ειδική περίπτωση των πινάκων Χανταμάρ όπου οι γραμμές αναδιατάσσονται έτσι ώστε ο αριθμός των αλλαγών προσήμου σε μια γραμμή να είναι σε αύξουσα σειρά. Εν ολίγοις, ένας πίνακας Χαντάμαρ[4] ορίζεται από τον παρακάτω αναδρομικό τύπο και είναι φυσικά διατεταγμένος, ενώ ένας πίνακας Γουάλς είναι διατεταγμένος με σειρά[2]. Συγκεχυμένα, διαφορετικές πηγές αναφέρονται σε κάθε πίνακα ως πίνακα Γουάλς.

Ο πίνακας Γουάλς (και οι συναρτήσεις Γουάλς) χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό του μετασχηματισμού Γουάλς και έχουν εφαρμογές στην αποδοτική υλοποίηση ορισμένων λειτουργιών επεξεργασίας σήματος.

Οι πίνακες Χανταμάρ με διάσταση για δίνονται από τον αναδρομικό τύπο (η χαμηλότερη τάξη του πίνακα Χανταμάρ είναι 2):[5]

και γενικότερα

για 2 ≤ k ∈ N, where ⊗ δηλώνει το γινόμενο Κρόνεκερ.

Μπορούμε να πάρουμε έναν πίνακα Γουάλς από έναν πίνακα Χανταμάρ. Για το σκοπό αυτό, δημιουργούμε πρώτα τον πίνακα Χανταμάρ για μια δεδομένη διάσταση. Στη συνέχεια, μετράμε τον αριθμό των αλλαγών προσήμου κάθε γραμμής. Τέλος, αναδιατάσσουμε τις γραμμές του πίνακα σύμφωνα με τον αριθμό των αλλαγών προσήμου σε αύξουσα σειρά.

Παραδείγματος χάριν, ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν πίνακα Χανταμάρ διάστασης

,

όπου οι διαδοχικές σειρές έχουν 0, 3, 1 και 2 αλλαγές προσήμου (μετράμε τον αριθμό των φορών που αλλάζουμε από θετικό 1 σε αρνητικό 1 και αντίστροφα). Αν αναδιατάξουμε τις γραμμές σε σειρά διαδοχής, έχουμε:


όπου οι διαδοχικές γραμμές έχουν 0, 1, 2 και 3 αλλαγές προσήμου.

Εναλλακτικές μορφές του πίνακα Γουάλς

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Συχνότητα ταξινόμησης

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η διάταξη αλληλουχίας των γραμμών του πίνακα Γουάλς μπορεί να προκύψει από τη διάταξη του πίνακα Χανταμάρ[4], εφαρμόζοντας πρώτα την μετάθεση αντιστροφής bit και στη συνέχεια την μετάθεση κώδικα Γκρέι:[6][7]

όπου οι διαδοχικές σειρές έχουν 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7 αλλαγές προσήμου.

Δυαδική ταξινόμηση

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

όπου οι διαδοχικές γραμμές έχουν 0, 1, 3, 2, 7, 6, 4 και 5 αλλαγές προσήμου.

όπου οι διαδοχικές γραμμές έχουν 0, 7, 3, 4, 1, 6, 2 και 5 αλλαγές προσήμου (πίνακας Χανταμάρ).

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. «Walsh matrix». www.scientificlib.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 8 Αυγούστου 2024. 
  2. 2,0 2,1 Kanjilal, P. P. (1995). Adaptive Prediction and Predictive Control. Stevenage: IET. σελ. 210. ISBN 0-86341-193-2. 
  3. «A Compact Guide to the Hadamard and Walsh Matrices (CDT-64)». 
  4. 4,0 4,1 Horadam, K. J. (6 Ιανουαρίου 2012). Hadamard Matrices and Their Applications. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-4290-2. 
  5. Deb, Anish· Roychoudhury, Srimanti (9 Οκτωβρίου 2018). Control System Analysis and Identification with MATLAB®: Block Pulse and Related Orthogonal Functions. CRC Press. ISBN 978-1-351-39957-9. 
  6. Yuen, C.-K. (1972). «Remarks on the Ordering of Walsh Functions». IEEE Transactions on Computers 21 (12): 1452. doi:10.1109/T-C.1972.223524. 
  7. Stankovic, Radomir· Butzer, Paul Leo (29 Δεκεμβρίου 2015). Dyadic Walsh Analysis from 1924 Onwards Walsh-Gibbs-Butzer Dyadic Differentiation in Science Volume 2 Extensions and Generalizations: A Monograph Based on Articles of the Founding Authors, Reproduced in Full. Springer. ISBN 978-94-6239-163-5. 
  • Baumert, L. D.; Hall, Marshall (1965). «Hadamard matrices of the Williamson type». Math. Comp. 19 (91): 442–447. doi:10.1090/S0025-5718-1965-0179093-2. MR 0179093. 
  • Georgiou, S.· Koukouvinos, C.· Seberry, J. (2003). «Hadamard matrices, orthogonal designs and construction algorithms». Designs 2002: Further computational and constructive design theory. Boston: Kluwer. σελίδες 133–205. ISBN 978-1-4020-7599-5.