Νόμος των εμβαδών

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Ο νόμος των εμβαδών ή δεύτερος νόμος Κέπλερ είναι νόμος που περιλαμβάνεται στους νόμους του πλανητικού συστήματος και που διατύπωσε ο Γερμανός αστρονόμος Γιοχάνες Κέπλερ (1571-1630) μελετώντας τα δεδομένα των παρατηρήσεων της κίνησης των πλανητών που προηγουμένως είχε συγκεντρώσει ο Δανός αστρονόμος Τύχο Μπράχε (1546-1601).
Ο νόμος αυτός είναι ο δεύτερος από τους τρεις που ανακάλυψε και διατύπωσε ο Κέπλερ και που διέπουν την κίνηση των πλανητών γύρω από τον Ήλιο. Σύμφωνα με τον νόμο αυτόν:

  • Η επιβατική ακτίνα Ηλίου - Πλανήτη γράφει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους ή εμβαδά ανάλογα των χρόνων.

Αυτό συμβαίνει επειδή η επιβατική ακτίνα αφενός δεν έχει σταθερό μήκος, αλλά λαμβάνει τη μικρότερη τιμή στο περιήλιο και την μεγίστη στο αφήλιο και αφετέρου στο ότι η ταχύτητα ενός πλανήτη είναι η μεγαλύτερη όταν ο πλανήτης βρίσκεται στο περιήλιο και η μικρότερη όταν βρίσκεται στο αφήλιο. Έτσι τα μεν γραφόμενα τόξα είναι άνισα μεταξύ τους αλλά τα εμβαδά τους είναι ίσα, ανάλογα των χρόνων που αυτά γράφονται.

Μαθηματική περιγραφή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Από μαθηματικής άποψης, ο δεύτερος νόμος του Κέπλερ είναι κατανοητός στα πλαίσια της κατηγορίας των κεντρικών δυνάμεων. Συγκεκριμένα, η στροφορμή (J) ενός σώματος που κινείται υπό την επίδραση μίας κεντρικής δύναμης είναι πάντοτε σταθερή:

αφού ο ορισμός μίας κεντρικής δύναμης F είναι ότι το εξωτερικό γινόμενό της με την επιβατική ακτίνα r ισούται με μηδέν (r×F=0).

Από την άλλη, ο ρυθμός με τον οποίο η επιβατική ακτίνα σαρώνει εμβαδόν σε πολικές συντεταγμένες ισούται με:

όπου η τελεία αναφέρεται σε παραγώγιση ως προς το χρόνο. Η παραπάνω ποσότητα είναι σταθερή, καθώς η στροφορμή σε πολικές συντεταγμένες ισούται με

όπου το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο της τροχιάς.