Άθροισμα δύο κύβων

Στα μαθηματικά, το άθροισμα δύο κύβων είναι το άθροισμα ενός αριθμού που είναι κύβος με έναν άλλον κύβο.

Παραγοντοποίηση

Οπτική απόδειξη για την παραγοντοποίηση του αθροίσματος (και της διαφοράς) κύβων.

Το άθροισμα δύο κύβων $x^{3}$ και $y^{3}$ μπορεί να γραφτεί ως

$x^{3}+y^{3}=(x+y)\cdot (x^{2}-xy+y^{2})$.

Απόδειξη: Ξεκινώντας από το δεξί μέλος έχουμε ότι

$(x+y)\cdot (x^{2}-xy+y^{2})=x^{3}-x^{2}y+xy^{2}+yx^{2}-xy^{2}+y^{3}=x^{3}+y^{3},$

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Διαφορά κύβων

Θέτοντας $y'=-y$ στον τύπο για το άθροισμα κύβων λαμβάνουμε ότι

$x^{3}+(-y)^{3}=(x+(-y))\cdot (x^{2}-x\cdot (-y)+(-y)^{2}),$

ή ισοδύναμα

$x^{3}-y^{3}=(x-y)\cdot (x^{2}+xy+y^{2}).$

Θεωρητικές εφαρμογές

Ακέραιοι εκφράσιμοι ως το άθροισμα κύβων

Στην θεωρία αριθμών από την εποχή του Διόφαντου έχει μελετηθεί ποιοι ακέραιοι αριθμοί $z\in \mathbb {Z}$ μπορούν να γραφούν ως το άθροισμα δύο κύβων.

Αριθμοί των Ταξί

Οι αριθμοί των Ταξί $\operatorname {Ta} (n)$ είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα $n$ κύβων. Για παράδειγμα, to $1729$, μπορεί να γραφτεί ως

$1729=1^{2}+12^{3}=9^{3}+10^{3}$,

και είναι ο μικρότερος τέτοιος αριθμός για $n=2$. Για $n=3$, ο μικρότερος τέτοιος αριθμός είναι ο $87.539.319$, που μπορεί να γραφτεί ως

$87.539.319=436^{3}+167^{3}=423^{3}+228^{3}=414^{3}+255^{3}$.

Τέλειες δυνάμεις

Στην θεωρία αριθμών έχει μελετηθεί ποια αθροίσματα κύβων είναι τέλειες δυνάμεις, δηλαδή για ποιους ακεραίους $x$, $y$ και $z$ ισχύει ότι

$x^{3}=y^{3}=z^{p}$,

για κάποιον φυσικό αριθμό $p$.