Αριθμητική πρόοδος

Στα μαθηματικά, αριθμητική πρόοδος είναι η ακολουθία $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots$, στην οποία για οποιοσδήποτε δύο διαδοχικούς όρους της $\alpha _{\nu }$, $\alpha _{\nu +1}$ ισχύει ότι $\alpha _{\nu +1}=\alpha _{\nu }+\omega$, για μία σταθερή τιμή $\omega$. Η ποσότητα $\omega$ ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου.

Ισοδύναμα, οι όροι μίας αριθμητικής προόδου μπορούν να οριστούν με τον γενικό και τον αναδρομικό τύπο:

• Γενικός τύπος: $\alpha _{\nu }=\alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega$, όπου ορίζεται ο $\nu$-οστός όρος συναρτήσει του πρώτου όρου και της διαφοράς.
• Αναδρομικός τύπος: $\alpha _{\nu +1}=\alpha _{\nu }+\omega$ για $\nu \geq 1$, όπου ορίζεται ο $\nu$-οστός όρος συναρτήσει του προηγούμενου όρου και της διαφοράς.

Για παράδειγμα, για $\alpha _{1}=4$ και $\omega =5$, οι όροι της αριθμητικής προόδου είναι

$\alpha _{1}=4,\alpha _{2}=9,\alpha _{3}=14,\alpha _{4}=19,\ldots$

και για $\alpha _{1}=3$ και $\omega =-7$

$\alpha _{1}=3,\alpha _{2}=-4,\alpha _{3}=-11,\alpha _{4}=-18,\ldots$

Η αριθμητική πρόοδος είναι ειδική περίπτωση γραμμικής αναδρομικής ακολουθίας πρώτης τάξης και ειδική περίπτωση μικτής προόδου.

Παραδείγματα

Παραδείγματα αριθμητικών προόδων με διαφορά $\omega >0$, $\omega =0$ και $\omega <0$.

• Αν $\omega =1$ και $\alpha _{1}=1$ τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών: $\alpha _{1}=1,\alpha _{2}=2,\alpha _{3}=3,\ldots$.
• Αν $\omega =2$ και $\alpha _{1}=2$ τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των άρτιων φυσικών αριθμών: $\alpha _{1}=2,\alpha _{2}=4,\alpha _{3}=6,\ldots$. Αντίστοιχα, για $\omega =-2$ και $\alpha _{1}=-2$, είναι το σύνολο των αρνητικών άρτιων αριθμών: $\alpha _{1}=-2,\alpha _{2}=-4,\alpha _{3}=-6,\ldots$.
• Αν $\omega =2$ και $\alpha _{1}=1$ τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των περιττών φυσικών αριθμών: $\alpha _{1}=1,\alpha _{2}=3,\alpha _{3}=5,\ldots$. Αντίστοιχα, για $\omega =-2$ και $\alpha _{1}=-1$, είναι το σύνολο των αρνητικών περιττών αριθμών: $\alpha _{1}=-1,\alpha _{2}=-3,\alpha _{3}=-5,\ldots$.

Σχέση με άλλες ακολουθίες

• Η αρμονική πρόοδος μπορεί να οριστεί ως κάθε ακολουθία αριθμών $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{\nu },\ldots$ με $\alpha _{\nu }\neq 0$ ώστε η ακολουθία: ${\tfrac {1}{a_{1}}},{\tfrac {1}{a_{2}}},\ldots ,{\tfrac {1}{a_{\nu }}}$, αποτελεί μία αριθμητική πρόοδο.
• Αν $(\alpha _{\nu })_{\nu =1}^{\infty }$ είναι μία γεωμετρική πρόοδος με $\alpha _{\nu }>0$ και λόγο $\lambda$, τότε η ακολουθία $\beta _{\nu }=\log \alpha _{\nu }$ είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά $\omega =\log \lambda$, καθώς $\beta _{\nu }=\log \alpha _{\nu }=\log(\alpha _{1}\lambda ^{\nu -1})=\log \alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \log \lambda$.
• (Τρίγωνοι αριθμοί) Οι τρίγωνοι αριθμοί είναι ίσοι με το άθροισμα της αριθμητικής προόδου με αρχικό όρο $\alpha _{1}=1$ και διαφορά $\omega =1$.

Ισοδυναμία ορισμών

Γενικός σε αναδρομικό τύπο

Απόδειξη  

Ξεκινώντας από τον γενικό τύπο έχουμε ότι

$\alpha _{\nu +1}=\alpha _{1}+\nu \cdot \omega =(\alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega )+\omega =\alpha _{\nu }+\omega$,

και επομένως οδηγούμαστε στον αναδρομικό.

Αναδρομικός σε γενικό τύπο

Απόδειξη  

Για να αποδείξουμε τον γενικό τύπο από τον αναδρομικό, θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για όλους τους φυσικούς αριθμούς $\nu$.

Βασική Περίπτωση: Για $\nu =1$, έχουμε ότι $\alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega =\alpha _{1}+(1-1)\cdot \omega =\alpha _{1}$.

Επαγωγική Περίπτωση: Αν ισχύει για $\nu =\kappa$, δηλαδή $\alpha _{\kappa }=\alpha _{1}+(\kappa -1)\cdot \omega$, θα δείξουμε ότι ισχύει και για $\nu =\kappa +1$. Από τον αναδρομικό τύπο,

$\alpha _{\kappa +1}=\alpha _{\kappa }+\omega =\alpha _{1}+(\kappa -1)\cdot \omega +\omega =\alpha _{1}+\kappa \cdot \omega$.

Επομένως ισχύει και για $\nu =\kappa +1$ και έτσι για όλους τους φυσικούς αριθμούς $\nu$.

Ιδιότητες

Τρία παραδείγματα αριθμητικών προόδων και τα σημεία πάνω στα οποία ανήκουν. Η κλίση της ευθείας είναι $\omega$.

Μονοτονία

Καθώς $\omega =\alpha _{\nu +1}-\alpha _{\nu }$, προκύπτει άμεσα ότι:

• Αν $\omega >0$, η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα.
• Αν $\omega <0$, η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως φθίνουσα.
• Αν $\omega =0$, η αριθμητική πρόοδος είναι σταθερή.

Γραφική παράσταση

Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου είναι ισαπέχοντα διαδοχικά σημεία μιας ευθείας με κλίση ίση με $\omega$.

Άθροισμα πρώτων όρων

Το άθροισμα των $\nu$ πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου $\alpha _{\nu }$ (με πρώτο όρο τον $\alpha _{1}$) ισούται με

$\Sigma _{\nu }:=\sum _{\kappa =1}^{\nu }\alpha _{\kappa }={\frac {\nu (\alpha _{1}+\alpha _{\nu })}{2}}=\alpha _{1}\cdot \nu +\omega \cdot {\frac {\nu \cdot (\nu -1)}{2}}.$

Σύμφωνα με κάποιες πηγές, ο τύπος είχε υπολογιστεί από τον Γκάους σε ηλικία μόλις έντεκα χρονών, όντας ο μοναδικός μαθητής στην τάξη του που υπολόγισε σωστά το άθροισμα $1+2+3+\ldots +99+100$ και αποδεικνύοντας ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό ξεπερνώντας ακόμη και τον δάσκαλό του. Ο συμβατικός τρόπος (διαδοχική πρόσθεση των αριθμών) περιλάμβανε πάρα πολλές πράξεις και ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα γινόταν λάθος.

Απόδειξη  

Η ιδέα της απόδειξης είναι ότι στο άθροισμα $1+2+3+\ldots +99+100$, οι όροι $1+100=101$, $2+999=101$, $3+998=101$, κ.ο.κ. Επειδή υπάρχουν $\nu /2=100/2$ τέτοια ζεύγη, λαμβάνουμε τον τύπο ${\tfrac {\nu }{2}}\cdot (\alpha _{1}+\alpha _{\nu })$.

Στην γενική περίπτωση έχουμε για κάθε $1\leq \kappa <\nu$ ότι

${\begin{aligned}\alpha _{\kappa }+\alpha _{\nu -\kappa +1}&=\alpha _{1}+(\kappa -1)\cdot \omega +\alpha _{1}+(\nu -\kappa )\cdot \omega \\&=2\alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega \\&=\alpha _{1}+\alpha _{\nu }\end{aligned}}$.

Επομένως,

${\begin{aligned}2\Sigma _{\nu }&=2\sum _{\kappa =1}^{\nu }\alpha _{\kappa }\\&=\sum _{\kappa =1}^{\nu }(\alpha _{\kappa }+\alpha _{\nu -\kappa +1})\\&=\sum _{\kappa =1}^{\nu }(\alpha _{1}+\alpha _{\nu })\\&=\nu \cdot (\alpha _{1}+\alpha _{\nu }),\end{aligned}}$

και καταλήγουμε ότι

$\Sigma _{\nu }={\frac {\nu }{2}}\cdot (\alpha _{1}+\alpha _{\nu })$,

που μπορεί να γραφτεί και ως,

${\begin{aligned}\Sigma _{\nu }&={\frac {\nu }{2}}\cdot (\alpha _{1}+(\alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega ))\\&=\alpha _{1}\cdot \nu +\omega \cdot {\frac {\nu \cdot (n-1)}{2}}.\end{aligned}}$

Μέσος όρος

Ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών $\alpha$ και $\gamma$ είναι ο $\beta$, αν και μόνο αν οι όροι $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Απόδειξη  

($\Rightarrow$) Αν ${\tfrac {\alpha +\gamma }{2}}=\beta$, τότε $\alpha +\gamma =2\beta$ και $\gamma -\beta =\beta -\alpha$. Επομένως, για $\omega =\beta -\alpha$, έχουμε ότι $\gamma =\alpha +2\omega$ και $\beta =\alpha +\omega$.

($\Leftarrow$) Αν $\alpha ,\beta ,\gamma$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε $\beta =\alpha +\omega$ και $\gamma =\alpha +2\omega$. Επομένως,

${\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {\alpha +\alpha +2\omega }{2}}=\alpha +\omega =\beta$.

Υπολογισμός

Ο παρακάτω κώδικας στην γλώσσα προγραμματισμού C++ χρησιμοποιεί τον αναδρομικό τύπο ώστε να τυπώσει τους πρώτους πέντε όρους της προόδου

#include <iostream>

int main() {
   double a_1 = 4.0;
   double omega = 1.5;
   
   double a_n = a_1;
   for (int n = 1; n <= 5; ++n) {
     std::cout << "a_" << n << " = " << a_n << ", ";
     a_n = a_n + omega; // Υπολογισμός επόμενου όρου.
   }
   return 0;
}
/* Τυπώνει: a_1 = 4, a_2 = 5.5, a_3 = 7, a_4 = 8.5, a_5 = 10, */

Ο παρακάτω κώδικας χρησιμοποιεί τον γενικό τύπο ώστε να υπολογίσει έναν όρο της ακολουθίας. Χρησιμοποιεί σταθερό αριθμό πράξεων.

double arithmetic_nth(double a1, double omega, int n) {
   return a1 + (n - 1) * omega;
}

Ο αναδρομικός τύπος είναι πιο αργός καθώς χρειάζεται γραμμικό αριθμό πράξεων, δηλαδή $\Theta (n)$ πράξεις.

double arithmetic_nth_recursive(double a1, double omega, int n) {
   if (n == 1) return a1;
   return omega + arithmetic_nth_recursive(a1, omega, n-1);
}

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστικές εφαρμογές στις αριθμητικές προόδους
• Αριθμητική πρόοδος: Θεωρία και προβλήματα

Ελληνικά άρθρα

• Τ. Πατρώνης (1981). «Αριθμητικές-Γεωμετρικές Πρόοδοι, η ανάπτυξη των Μαγικών Νούφαρων και μια παράξενη μάρκα σοκολάτας». Ευκλείδης Β΄ (3): 126-130. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3119. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Hadley, John; Singmaster, David (Μαρτίου 1992). «Problems to sharpen the young». The Mathematical Gazette 76 (475): 102–126. doi:10.2307/3620384. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1992-03_76_475/page/102. 
• Stern, Martin D. (Ιουνίου 1990). «74.23 A mediaeval derivation of the sum of an arithmetic progression». The Mathematical Gazette 74 (468): 157–159. doi:10.2307/3619368. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1990-06_74_468/page/157. 
• Apostol, Tom M. (Μαρτίου 2003). «87.02 Sums of consecutive positive integers». The Mathematical Gazette 87 (508): 98–101. doi:10.1017/S002555720017216X. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2003-03_87_508/page/98. 
• Mullin, A. A. (Δεκεμβρίου 1972). «Problems on the Density of Arithmetic Sequences». The American Mathematical Monthly 79 (10): 1118–1119. doi:10.1080/00029890.1972.11993199. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1972-12_79_10/page/1118. 
• Simons, Stuart (Μαρτίου 2008). «92.08 Summing digits of an arithmetic sequence». The Mathematical Gazette 92 (523): 83–86. doi:10.1017/S0025557200182609. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2008-03_92_523/page/83. 
• Koshy, Thomas (Ιουλίου 2002). «Summing integer cubes using Thébault’s array of arithmetic sequences». The Mathematical Gazette 86 (506): 271–272. doi:10.2307/3621856. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2002-07_86_506/page/271. 
• Bush, Laurens Earle (Αυγούστου 1930). «On the Expression of an Integer as the Sum of an Arithmetic Series». The American Mathematical Monthly 37 (7): 353–357. doi:10.1080/00029890.1930.11987091. 

Δείτε επίσης

• Γενικευμένη αριθμητική πρόοδος
• Γεωμετρική πρόοδος
• Αρμονική πρόοδος
• Μικτή πρόοδος