Αριθμητική πρόοδος

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Αριθμητική πρόοδος είναι η ακολουθία, στην οποία για δύο διαδοχικούς όρους της αν, αν+1 ισχύει ότι αν+1 = αν + ω, όπου ω μία σταθερή ποσότητα. Η ποσότητα ω ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν η διαφορά δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας είναι σταθερός αριθμός, δηλαδή ανεξάρτητος από το ν, τότε αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Έτσι η αριθμητική πρόοδος, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο ισοδύναμους τύπους:

  • Γενικός τύπος: αν1+(ν-1)ω, όπου ορίζεται ο νιοστός όρος συναρτήσει του πρώτου όρου και της διαφοράς.
  • Αναδρομικός τύπος: ανν-1+ω, όπου ορίζεται ο νιοστός όρος συναρτήσει του προηγούμενου όρου και της διαφοράς.

Αν ω > 0 , η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα.

Αν ω < 0 , η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως φθίνουσα.

Αν ω = 0 , η αριθμητική πρόοδος είναι σταθερή.

Αρμονική πρόοδος λέγεται κάθε ακολουθία αριθμών α1 , α2 , .... , αν (ν μη μηδενικός φυσικός αριθμός) αν και μόνο αν οι αριθμοί : , , ... , , αποτελούν αριθμητική πρόοδο.

Ιδιότητες της προόδου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου είναι ισαπέχοντα διαδοχικα σημεία μιας ευθείας με κλίση ίση με ω.
  • Ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών α, γ είναι ο β, αν και μόνο αν οι όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.
  • Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου αν (με πρώτο όρο τον α1) ισούται με
Αυτός ο τύπος είχε υπολογιστεί από τον Γκάους σε ηλικία μόλις έντεκα χρονών, όντας ο μοναδικός μαθητής στην τάξη του που υπολόγισε σωστά το άθροισμα 1+2+3+...+999+1000 και αποδεικνύοντας ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό ξεπερνώντας ακόμη και τον δάσκαλό του. Ο συμβατικός τρόπος (διαδοχική πρόσθεση των αριθμών) περιλάμβανε πάρα πολλές πράξεις και ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα γινόταν λάθος.

Περαιτέρω ανάγνωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]