Κυκλικό σύνολο

Στη θεωρία των τυχαίων πινάκων, τα κυκλικά σύνολα είναι μέτρα σε χώρους ορθομοναδιαίων πινάκων που εισήγαγε ο Φρίμαν Ντάισον ως τροποποιήσεις των Γκαουσιανών συνόλων πινάκων. Τα τρία κύρια παραδείγματα είναι το κυκλικό ορθογώνιο σύνολο (COE) σε συμμετρικούς ορθομοναδιαίους πίνακες, το κυκλικό ορθομοναδιαίο σύνολο (CUE) σε μοναδιαίους πίνακες και το κυκλικό συμπλεκτικό σύνολο (CSE) σε αυτοδυϊκούς ορθομοναδιαίους τετραγωνικούς πίνακες.

Διανομές πιθανοτήτων

Η κατανομή του ορθομοναδιαίου κυκλικού συνόλου CUE(n) είναι το μέτρο Χάαρ στην μοναδιαία ομάδα U(n). Αν το U είναι ένα τυχαίο στοιχείο του CUE(n), τότε το U^TU είναι ένα τυχαίο στοιχείο του COE(n)- αν το U είναι ένα τυχαίο στοιχείο του CUE(2n), τότε το U^RU είναι ένα τυχαίο στοιχείο του CSE(n), όπου

$U^{R}=\left({\begin{array}{ccccccc}0&-1&&&&&\\1&0&&&&&\\&&0&-1&&&\\&&1&0&&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&0&-1\\&&&&&1&0\end{array}}\right)U^{T}\left({\begin{array}{ccccccc}0&1&&&&&\\-1&0&&&&&\\&&0&1&&&\\&&-1&0&&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&0&1\\&&&&&-1&0\end{array}}\right)~.$

Κάθε στοιχείο ενός κυκλικού συνόλου είναι ένας ορθομοναδιαίος πίνακας, οπότε έχει ιδιοτιμές στον μοναδιαίο κύκλο: $\lambda _{k}=e^{i\theta _{k}}$ με $0\leq \theta _{k}<2\pi$ για k=1,2,... n, όπου τα $\theta _{k}$ είναι επίσης γνωστά ως ιδιογωνίες ή ιδιοφάσεις. Στο CSE κάθε μία από αυτές τις n ιδιοτιμές εμφανίζεται δύο φορές. Οι κατανομές έχουν πυκνότητες ως προς τις ιδιογωνίες, οι οποίες δίνονται από τη σχέση

$p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n})={\frac {1}{Z_{n,\beta }}}\prod _{1\leq k<j\leq n}|e^{i\theta _{k}}-e^{i\theta _{j}}|^{\beta }~$

στο $\mathbb {R} _{[0,2\pi ]}^{n}$ (συμμετροποιημένη έκδοση), όπου β=1 για COE, β=2 για CUE και β=4 για CSE. Η σταθερά κανονικοποίησης Z_n,β δίνεται από τη σχέση

$Z_{n,\beta }=(2\pi )^{n}{\frac {\Gamma (\beta n/2+1)}{\left(\Gamma (\beta /2+1)\right)^{n}}}~,$

όπως μπορεί να επαληθευτεί μέσω του ολοκληρωτικού τύπου του Σέλμπεργκ ή του ολοκληρωτικού τύπου του Γουέιλ για συμπαγείς ομάδες Λι.

Γενικεύσεις

Γενικεύσεις του κυκλικού συνόλου περιορίζουν τα στοιχεία του πίνακα U σε πραγματικούς αριθμούς [έτσι ώστε το U να ανήκει στην ορθογώνια ομάδα O(n)] ή σε πραγματικούς τετραγωνικούς αριθμούς [έτσι ώστε το U να ανήκει στη συμπλεκτική ομάδα Sp(2n). Το μέτρο Χάαρ στην ορθογώνια ομάδα παράγει το κυκλικό πραγματικό σύνολο (CRE) και το μέτρο Χάαρ στη συμπλεκτική ομάδα παράγει το κυκλικό τεταρτοταγές σύνολο (CQE).

Οι ιδιοτιμές των ορθογώνιων πινάκων έρχονται σε μιγαδικά συζυγή ζεύγη $e^{i\theta _{k}}$ και $e^{-i\theta _{k}}$, ενδεχομένως συμπληρωμένα από ιδιοτιμές σταθερές στο +1 ή στο -1. Για n=2m ζυγές και det U=1, δεν υπάρχουν σταθερές ιδιοτιμές και οι φάσεις θ_k έχουν κατανομή πιθανότητας

$p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~,$

με C μια απροσδιόριστη σταθερά κανονικοποίησης. Για n=2m+1 περιττό υπάρχει μία σταθερή ιδιοτιμή σ=det U ίση με ±1. Οι φάσεις έχουν κατανομή

$p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\sigma \cos \theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.$

Για n=2m+2 ζυγές και det U=-1 υπάρχει ένα ζεύγος ιδιοτιμών σταθερών στο +1 και -1, ενώ οι φάσεις έχουν κατανομή

$p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\cos ^{2}\theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.$

Αυτή είναι επίσης η κατανομή των ιδιοτιμών ενός πίνακα στον Sp(2m).

Αυτές οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας αναφέρονται ως κατανομές Γιακόμπι στη θεωρία των τυχαίων πινάκων, επειδή οι συναρτήσεις συσχέτισης μπορούν να εκφραστούν σε όρους πολυωνύμων Γιακόμπι.

Υπολογισμοί

Οι μέσοι όροι των γινομένων των στοιχείων των πινάκων στα κυκλικά σύνολα μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις Βαϊνγκάρτεν . Για μεγάλες διαστάσεις του πίνακα αυτοί οι υπολογισμοί γίνονται ανέφικτοι και μια αριθμητική μέθοδος είναι πλεονεκτική. Υπάρχουν αποδοτικοί αλγόριθμοι για τη δημιουργία τυχαίων πινάκων στα κυκλικά σύνολα, παραδείγματος χάριν με την εκτέλεση μιας QR ανάλυσης σε έναν πίνακα Ζινίμπρ.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269 
• Goldreich, O.; Tal, A. (2018), «Matrix rigidity of random Toeplitz matrices», Computational Complexity 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9 
• Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
• O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu : The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann (2005).
• Broad, William J. (8 Αυγούστου 2015). «29 U.S. Scientists Praise Iran Nuclear Deal in Letter to Obama». The New York Times. Ανακτήθηκε στις 9 Αυγούστου 2015. 
• Brockman, John (1996). «Chap. 9 The Pattern-Recognizer». Digerati: Encounters with the Cyber Elite. HardWired. ISBN 978-1888869040. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 7 Οκτωβρίου 1999. 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix computations (3rd έκδοση), Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9 
• Graham, D.; Midgley, N. (2000), «Graphical representation of particle shape using triangular diagrams: an Excel spreadsheet method», Earth Surface Processes and Landforms 25 (13): 1473–1477, doi:10.1002/1096-9837(200012)25:13<1473::AID-ESP158>3.0.CO;2-C 
• Hawkins, T. (1975), «Cauchy and the spectral theory of matrices», Historia Mathematica 2: 1–29, doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4 
• Heesterbeek, J. A. P.; Diekmann, Odo (2000), Mathematical epidemiology of infectious diseases, Wiley series in mathematical and computational biology, West Sussex, England: John Wiley & Sons, //books.google.com/books?id=5VjSaAf35 
• Hefferon, Jim (2001), Linear Algebra, Colchester, VT: Online book, St Michael's College, https://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/ 
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
• Κανονική κατανομή
• Θεωρία πιθανοτήτων
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Eigenvalue Distribution of Large Random Matrices
• Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory.
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Quantum Mesoscopic Phenomena and Mesoscopic Devices in Microelectronics
• Stochastic Processes and Random Matrices: Lecture Notes of the Les Houches ...
• Quantum Mechanics with Applications to Nanotechnology and Information Science....
• Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές

• Mehta, Madan Lal (2004), Random matrices, Pure and Applied Mathematics (Amsterdam), 142 (3rd έκδοση), Elsevier/Academic Press, Amsterdam, ISBN 978-0-12-088409-4 
• Forrester, Peter J. (2010), Log-gases and random matrices, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12829-0 
• Najnudel, Joseph; Nikeghbali, Ashkan (2013), «The Distribution of Eigenvalues of Randomized Permutation Matrices», Annales de l'Institut Fourier 63 (3): 773–838, http://www.numdam.org/item/AIF_2013__63_3_773_0/