Εικασία του Γκίλμπρεθ

Η εικασία του Γκίλμπρεθ είναι μια εικασία στη θεωρία των αριθμών σχετικά με τις ακολουθίες που δημιουργούνται με την εφαρμογή του τελεστή πεπερασμένης διαφοράς σε διαδοχικούς πρώτους αριθμούς και αφήνοντας τα αποτελέσματα χωρίς πρόσημο, και στη συνέχεια επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία σε διαδοχικούς όρους της ακολουθίας που προκύπτει, και ούτω καθεξής. Η πρόταση πήρε το όνομά της από τον Νόρμαν Λ. Γκίλμπρεθ, ο οποίος το 1958 την παρουσίασε στη μαθηματική κοινότητα, αφού παρατήρησε τυχαία το μοτίβο ενώ έκανε αριθμητική σε μια χαρτοπετσέτα. 1878, ογδόντα χρόνια πριν από την ανακάλυψη του Γκίλμπρεθ, ο Φρανσουά Προθ είχε, ωστόσο, δημοσιεύσει τις ίδιες παρατηρήσεις μαζί με μια απόπειρα απόδειξης, η οποία αργότερα αποδείχθηκε εσφαλμένη.

Κινητήρια αριθμητική

Ο Γκίλμπρεθ παρατήρησε ένα μοτίβο ενώ έπαιζε με τη διατεταγμένη ακολουθία των πρώτων αριθμών

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

Υπολογίζοντας την απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ του όρου n + 1 και του όρου n σε αυτή την ακολουθία προκύπτει η ακολουθία

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...

Αν ο ίδιος υπολογισμός γίνει για τους όρους αυτής της νέας ακολουθίας, και για την ακολουθία που είναι το αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας, και ξανά επ' άπειρον για κάθε ακολουθία που είναι το αποτέλεσμα ενός τέτοιου υπολογισμού, οι ακόλουθες πέντε ακολουθίες αυτής της λίστας είναι

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 2, ...

Αυτό που παρατήρησε ο Γκίλμπρεθ -και ο Φρανσουά Προθ πριν από αυτόν- είναι ότι ο πρώτος όρος σε κάθε σειρά διαφορών φαίνεται να είναι 1.

Η εικασία

Η επίσημη διατύπωση της παρατήρησης του Γκίλμπρεθ είναι σημαντικά ευκολότερη μετά την επινόηση ενός συμβολισμού για τις ακολουθίες στην προηγούμενη ενότητα. Για το σκοπό αυτό, ας συμβολίσουμε με $(p_{n})$ τη διατεταγμένη ακολουθία πρώτων αριθμών και ας ορίσουμε κάθε όρο της ακολουθίας $(d_{n}^{1})$ ως εξής

$d_{n}^{1}=p_{n+1}-p_{n},$

όπου $n$ είναι θετικό. Επίσης, για κάθε ακέραιος αριθμός $k$ μεγαλύτερος από 1, έστω ότι οι όροι στο $(d_{n}^{k})$ δίνονται από τις σχέσεις

$d_{n}^{k}=|d_{n+1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}|.$

Η εικασία του Γκίλμπρεθ δηλώνει ότι κάθε όρος της ακολουθίας $a_{k}=d_{1}^{k}$ για θετικό $k$ είναι ίσος με 1.

Έλεγχος και απόπειρες απόδειξης

Ο Φρανσουά Προθ δημοσίευσε αυτό που πίστευε ότι ήταν μια απόδειξη της δήλωσης, η οποία αργότερα αποδείχθηκε ότι ήταν λανθασμένη. Ο Άντριου Οντλίζκο επαλήθευσε ότι το $d_{1}^{k}$ είναι ίσο με 1 για $k\leq n=3.4\times 10^{11}$το 1993, αλλά η εικασία παραμένει ένα ανοιχτό πρόβλημα. Αντί να αξιολογήσει n σειρές, ο Οντλίζκο αξιολόγησε 635 σειρές και διαπίστωσε ότι η 635η σειρά ξεκινούσε με ένα 1 και συνέχιζε μόνο με 0 και 2 για τους επόμενους n αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι οι επόμενες n σειρές αρχίζουν με 1.

Γενικεύσεις

Το 1980, ο Mάρτιν Γκάρντνερ δημοσίευσε μια εικασία του Χάλαρντ Κροφτ που ανέφερε ότι η ιδιότητα της εικασίας του Γκίλμπρεθ (να υπάρχει ένα 1 στον πρώτο όρο κάθε ακολουθίας διαφορών) θα πρέπει να ισχύει γενικότερα για κάθε ακολουθία που αρχίζει με 2, στη συνέχεια περιέχει μόνο περιττούς αριθμούς και έχει ένα αρκετά χαμηλό όριο στα κενά μεταξύ διαδοχικών στοιχείων της ακολουθίας. Η εικασία αυτή επαναλήφθηκε και από μεταγενέστερους συγγραφείς. Ωστόσο, είναι ψευδής: για κάθε αρχική υποακολουθία του 2 και περιττούς αριθμούς και για κάθε μη σταθερό ρυθμό αύξησης, υπάρχει μια συνέχεια της υποακολουθίας με περιττούς αριθμούς των οποίων τα κενά υπακούουν στον ρυθμό αύξησης, αλλά των οποίων οι ακολουθίες διαφορών δεν ξεκινούν με 1 απείρως συχνά. Ο Οντλίζκο (Odlyzko (1993) είναι πιο προσεκτικός, γράφοντας ορισμένους ευρετικούς λόγους για να πιστέψει την εικασία του Γκίλμπρεθ ότι «τα παραπάνω επιχειρήματα ισχύουν για πολλές άλλες ακολουθίες στις οποίες το πρώτο στοιχείο είναι 1, τα υπόλοιπα ζυγά, και όπου τα κενά μεταξύ διαδοχικών στοιχείων δεν είναι πολύ μεγάλα και είναι επαρκώς τυχαία."Ωστόσο, δεν δίνει έναν επίσημο ορισμό για το τι σημαίνει «επαρκώς τυχαίο».

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Πρώτος αριθμός Μερσέν
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Φυσικός αριθμός
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Αριθμητική πρόοδος
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Guy, Richard (11 Νοεμβρίου 2013). Unsolved Problems in Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4899-3585-4. 
• Chamberland, Marc (30 Μαΐου 2017). Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-17569-0. 
• Montgomery, Hugh L. (1994). Ten Lectures on the Interface between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-0737-8. 
• Pickover, Clifford A. (27 Σεπτεμβρίου 2011). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. Union Square & Co. ISBN 978-1-4027-9749-1. 
• Caragiu, Mihai (22 Ιουνίου 2017). Sequential Experiments with Primes. Springer. ISBN 978-3-319-56762-4. 
• Young, Robert M. (1992). Excursions in Calculus: An Interplay of the Continuous and the Discrete. Cambridge University Press. ISBN 978-0-88385-317-7. 
• Ding, C.· Helleseth, T. (6 Δεκεμβρίου 2012). Sequences and their Applications: Proceedings of SETA ’98. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4471-0551-0. 
• Weisstein, Eric W. (12 Δεκεμβρίου 2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3522-3. 
• Gardner, Martin (6 Οκτωβρίου 2020). The Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-6368-7. 
• Darling, David (21 Απριλίου 2008). The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. Turner Publishing Company. ISBN 978-0-470-30788-5. 

Παραπομπές

• Guy, Richard K.· Woodrow, Robert E. (3 Αυγούστου 2020). The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and Its History. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-5731-0. 
• Mollin, Richard (19 Δεκεμβρίου 2016). Number Theory: Proceedings of the First Conference of the Canadian Number Theory Association held at the Banff Center, Banff, Alberta, April 17–27, 1988. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-084863-2. 
• Pearcy, Daniel (8 Μαΐου 2020). Mathematical Beauty: What Is Mathematical Beauty And Can Anyone Experience It?. Hodder Education. ISBN 978-1-915361-92-9. 
• Lignon, Daniel (5 Νοεμβρίου 2024). Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers. Editions Ellipses. ISBN 978-2-340-10019-0. 

Πηγές

• Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers. Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
• «Artin's conjecture for primitive roots - Queen's University» (PDF). 
• Weisstein, Eric W., "ArtinsConstant" από το MathWorld.
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0