Πεπερασμένη διαφορά

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Η πεπερασμένη διαφορά είναι μία μαθηματική έκφραση της μορφής f(x + b) − f(x + a). Αν η πεπερασμένη διαφορά διαιρείται από το b − a, τότε αυτή λαμβάνει μόνο ένα πεπερασμένο πηλίκο.Ο υπολογισμός των παραγώγων από τις πεπερασμένες διαφορές παίζει βασικό ρόλο στις μεθόδους πεπερασμένης διαφοράς για την αριθμητική λύση των διαφορικών εξισώσεων, ειδικότερα στα προβλήματα συνοριακών τιμών.

Ορισμένες επαναληπτικές σχέσεις μπορούν να γραφούν ως εξισώσεις διαφοράς αντικαθιστώντας την προσέγγιση της σημειογραφείας με τις πεπερασμένες διαφορές.

Σήμερα, ο όρος "πεπερασμένη διαφορά" συχνά λαμβάνεται ως συνώνυμο με τους υπολογισμούς της πεπερασμένης διαφοράς των παραγώγων, ειδικότερα στο πλαίσιο των αριθμητικών μεθόδων. [1][2][3] Οι υπολογισμοί των πεπερασμένων διαφορών είναι πηλίκα της πεπερασμένης διαφοράς στην ορολογία που χρησιμοποιήθηκε ανωτέρω.

Οι πεπερασμένες διαφορές,επίσης,έχουν γίνει το θέμα μελέτης ως αφηρημένα αυτοτελή μαθηματικά αντικείμενα, π.χ. σε έργα των George Boole (1860), L. M. Milne-Thomson (1933), και Károly Jordan (1939), εντοπίζοντας τις προελέυσεις των αλγορίθμων του Jost Bürgi (ca. 1592) και άλλων συμπεριλαμβανομένου του Isaac Newton. Σε αυτό το σημείο, o λογισμός (που ασχολείται με τα όρια) των πεπερασμένων τιμών είναι εναλλακτικός του λογισμού των απειροελάχιστων.[4]

Προς τα εμπρός, προς τα πίσω, και κεντρική διαφορά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τρεις μορφές μελετώνται ευρέως: οι προς τα εμπρός,οι προς τα πίσω και οι κεντρικές διαφορές.[1][2][3]

Η προς τα εμπρός διαφορά είναι μια έκφραση της μορφής

Σύμφωνα με την εφαρμογή, η τάξη h μπορεί να είναι μεταβλητή ή σταθερή. Όταν παραλείπεται, η h θεωρείται ότι είναι 1: .

Η προς τα πίσω διαφορά χρησιμοποιεί τις τιμές της συνάρτησης στο x και x − h, αντί των τιμών στο x + h and x:

Τελικά, η κεντρική διαφορά δίνεται από

Σχέση με τις παραγώγους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η παράγωγος της συνάρτησης f στο σημείο x ορίζεται από το όριο

Αν η h λαμβάνει μια σταθερή (μη μηδενική) τιμή αντί να πλησιάζει το μηδέν, τότε η δεξιά πλευρά της παραπάνω εξίσωσης γράφεται

Συνεπώς, η προς τα πάνω διαφορά που διαιρείται από το h πλησιάζει την παράγωγο όταν το h είναι μικρό. Το σφάλμα σε αυτή την προσέγγιση μπορεί να βρεθεί από τον Τύπο του Taylor. Λαμβάνοντας υπόψη, ότι η f είναι διαφορίσιμη , έχουμε

O ίδιος τύπος αναμένεται για την προς τα εμπρός διαφορά:

Ωστόσο, η κεντρική (ή αλλιώς κεντρώα) διαφορά αποδίδει μια πιο ακριβή προσέγγιση. Αν η f είναι δύο φορές διαφορίσιμη,

Το κύριο πρόβλημα με τη μέθοδο της κεντρικής διαφοράς, ωστόσο , είναι ότι οι συναρτήσεις που ταλαντεύονται αποδίδουν μηδενική παράγωγο. Αν f(nh)=1 για n περιττό, και f(nh)=2 για n άρτιο, αλλιώς f ' (nh)=0 αν υπολογίζεται με το συνδυασμό της κεντρικής διαφοράς. Αυτό είναι ιδιαίτερα ενοχλητικό αν ο κλάδος της f είναι διακεκριμένος.

Συγγραφείς, για τους οποίους οι πεπερασμένες διαφορές σημαίνουν προσεγγίσεις πεπερασμένων διαφορών, ορίζουν τις προς τα πάνω/προς τα κάτω/κεντρικές διαφορές ως πηλίκα που δίνονται σε αυτή την ενότητα. (αντί να χρησιμοποιούν τους ορισμούς που δόθηκαν στην προηγούμενη ενότητα.)[1][2][3]

Μεγαλύτερης τάξης διαφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Με ανάλογο τρόπο,μπορεί κανείς να ανάγει τις προσεγγίσεις πεπερασμένης διαφοράς σε μεγαλύτερης τάξης παραγώγους και διαφορικούς φορείς. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο κεντρικής διαφοράς για f ' (x+h/2) και f ' (xh/2) και εφαρμόζοντας τον τύπο της κεντρικής διαφοράς για την παράγωγο της f ' στο x, παίρνουμε την προσέγγιση της κεντρικής διαφοράς της δεύτερης παραγώγου της f:

Κεντρική 2ης τάξης

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να εφαρμόσουμε άλλους τύπους διαφοράς με έναν αναδρομικό τρόπο.

Προς τα εμπρός 2ης τάξης

Γενικότερα , οι n-ης τάξης προς τα εμπρός, προς τα πίσω, και κεντρικές διαφορές δίνονται,αντίστοιχα,

Προς τα εμπρός

ή για h=1,

Προς τα πίσω

Κεντρική

Αυτές οι εξισώσεις χρησιμοποιούν διωνυμικούς συντελεστές ύστερα από το σημείο άθροισης απεικονίζονται ως . Κάθε σειρά από το Τρίγωνο του Pascal παρέχει τον συντελεστή για κάθε τιμή του i.

Παρατήρησε ότι η κεντρική διαφορά θα, για περιττό n, έχει h πολλαπλασιαζόμενο με μη ακέραιο. Αυτό είναι συχνά πρόβλημα επειδή ανέρχεται σε αλλαγή του διαστήματος διακριτοποίησης. Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί παίρνοντας το μέσο όρο του και .

Οι προς τα εμπρός διαφορές που εφαρμόζονται σε μία ακολουθία ονομάζονται μερικές φορές διωνυμικός μετασχηματισμός της ακολουθίας, και έχουν μια σειρά από ενδιαφέρουσες συνδυαστικές ιδιότητες. Οι προς τα εμπρός διαφορές μπορούν να εκτιμηθούν χρησιμοποιώντας το Nörlund–Rice ολοκλήρωμα. Η αναπαράσταση του ολοκληρώματος για αυτούς τους τύπους των σειρών είναι ενδιαφέρουσα, επειδή το ολοκλήρωμα μπορεί συχνά να εκτιμηθεί χρησιμοποιώντας ασυμπτωτική επέκταση ή τεχνικές απότομης καθόδου : αντίθετα, η προς τα εμπρός διαφορά των σειρών μπορεί να είναι εξαιρετικά δύσκολο να εκτιμηθεί αριθμητικά, επειδή οι διωνυμικοί συντελεστές αυξάνονται με ταχείς ρυθμούς για μεγάλα n.

Η σχέση των διαφορών μεγαλύτερης τάξης με τις αντίστοιχες παραγώγους είναι απλή,

Οι μεγαλύτερης τάξης διαφορές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να φτιάξουμε καλύτερες προσεγγίσεις. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η πρώτης τάξης διαφορά προσεγγίζει την παράγωγο πρώτης τάξης σε έναν όρο της τάξης h. Ωστόσο, ο συνδυασμός

προσεγγίζει την f'(x) σε έναν όρο της τάξης h2. Αυτό αποδεικνύεται αναπτύσσοντας την παραπάνω έκφραση στη Σειρά Τέιλορ, ή χρησιμοποιώντας το λογισμό των πεπερασμένων διαφορών,που εξηγείται παρακάτω.

Αν χρειάζεται,η πεπερασμένη διαφορά μπορεί να κεντράρεται γύρω από οποιοδήποτε σημείο συνδυάζοντας τις προς τα πάνω,προς τα κάτω και κεντρικές διαφορές.

Πυρήνες αυθαίρετου μεγέθους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Χρησιμοποιώντας λίγο την γραμμική άλγεβρα, μπορεί κανείς αρκετά εύκολα να φτιάξει προσεγγίσεις, της οποίας παίρνω δείγμα ένα αυθαίρετο αριθμό σημείων από τα αριστερά και έναν (ενδεχομένως διαφορετικό) αριθμό σημείων από τα δεξιά του κεντρικού σημείου,για κάθε τάξη της παραγώγου. Αυτό συνεπάγεται την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος έτσι ώστε η επέκταση Τέιλορ του αθροίσματος των εν λόγω σημείων ,γύρω από το κεντρικό σημείο,να προσεγγίζει καλά την επέκταση Τέιλορ της επιθυμητής παραγώγου.

Αυτό είναι χρήσιμο για την διαφοροποίηση μιας συνάρτησης σε μια περιοχή,όπου,καθώς αυτή θα πλησιάζει την άκρη της περιοχής, πρέπει να λαμβάνεται δείγμα όλο και λιγότερων σημείων στη μία πλευρά.

Οι λεπτομέρειες συνοψίζονται σε αυτές τις σημειώσεις.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Για όλα τα θετικά k and n

Μέθοδοι πεπερασμένης διαφοράς[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία σημαντική εφαρμογή των πεπερασμένων διαφορών είναι στην αριθμητική ανάλυση, ειδικότερα στις αριθμητικές διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες στοχεύουν στην αριθμητική επίλυση των συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων αντίστοιχα. Η ιδέα είναι να αντικατασταθούν οι παράγωγοι που εμφανίζονται στην διαφορική εξίσωση από τις πεπερασμένες διαφορές που τις προσεγγίζουν. Οι μέθοδοι που προκύπτουν ονομάζονται μέθοδοι πεπερασμένης διαφοράς.

Κοινές εφαρμογές της μεθόδου πεπερασμένης τιμής συναντώνται στην υπολογιστική επιστήμη και στην εφαρμοσμένη μηχανική, όπως θερμική μηχανική, μηχανική των ρευστών, κτλ.

Σειρές του Νεύτων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι Σειρές του Νεύτων ,αποτελούνται από τους όρους της εξίσωσης του Νεύτων της προς τα εμπρός διαφοράς, πήραν το όνομα τους από τον Ισαάκ Νεύτων; στην ουσία, είναι ο τύπος παρεμβολής του Νεύτων, που δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά στο Principia Mathematica του το 1687,[5] και συγκεκριμένα το διακριτό ανάλογο της συνεχούς επέκτασης Τέιλορ,

Πρότυπο:Equation box 1 η οποία ισχύει για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση f και για τις περισσότερες (αλλά όχι όλες) τις αναλυτικές συναρτήσεις. Εδώ,η έκφραση

είναι ο διωνυμικός συντελεστής, και

είναι το "φθίνων παραγοντικό" ή το "κατώτερο παραγοντικό", ενώ το κενό γινόμενο (x)0 ορίζεται να είναι είναι 1. Σε αυτή τη συγκεκριμένη περίπτωση, υπάρχει μια υπόθεση των βημάτων μονάδα για τις αλλαγές στις τιμές των x, h = 1 της παρακάτω γενίκευσης.

Σημειώστε την συνήθη αντιστοιχία αυτού του αποτελέσματος στο Θεώρημα του Τέιλορ. Ιστορικά,αυτό, καθώς και η ταυτότητα του Chu–Vandermonde,

(απορρέουσες από αυτή,και αντιστοιχίζοντας την διωνυμική θεωρία), συμπεριλαμβάνονται στις παρατηρήσεις που έληξαν στο σύστημα του λογισμού που αναφέρεται στην ομοιότητα μεταξύ των φαινομενικά άσχετων πολυωνυμικών συναρτήσεων.

Για να φανεί το πώς κανείς μπορεί να χρησιμοποιήσει τον τύπο του Νεύτων στην πράξη, εξετάστε τους πρώτους όρους διπλασιασμού της Σειράς Fibonacci f = 2, 2, 4, ... Μπορεί κανείς να βρει ένα πολυώνυμο που αναπαράγει αυτές τις τιμές, με πρώτο τον υπολογισμό ενός πίνακα διαφοράς, και στη συνέχεια αντικαθιστώντας τις διαφορές που αντιστοιχούν στο x0 (υπογραμμισμένο) στο τύπο όπως ακολουθεί,

Στην περίπτωση των μη-ομοιόμορφων μέτρων στις τιμές του x, ο Νεύτων υπολογίζει τις διαχωρίσιμες διαφορές,

τις σειρές των γινομένων,

και το πολυώνυμο που προκύπτει είναι το βαθμωτό γινόμενο, .[6]

Σε ανάλυση με τους αριθμούς που έχουν την ιδιότητα να είναι κοντά όταν η διαφορά τους διαιρείται από αριθμό μεγαλύτερης δύναμης του p, διαιρούνται με έναν, το Θεώρημα του Mahler αναφέρει ότι η υπόθεση ότι η f είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση μπορεί να αποδυναμώσει όλη τη διαδρομή προς την υπόθεση ότι η f είναι απλώς συνεχής.

Το Θεώρημα του Carlson παρέχει σημαντικές και επαρκείς συνθήκες για τη μοναδικότητα των σειρών του Νεύτων,αν υπάρχει.Ωστόσο, οι σειρές του Νεύτων,γενικά,δεν υπάρχουν.

Οι σειρές του Νεύτων,μαζί με τις σειρές του Stirling και τις σειρές του Selberg, είναι μια ειδική περίπτωση της γενικής διαφοράς των σειρών, οι οποίες ορίζονται στο πλαίσιο της κατάλληλης κλιμάκωσης των προς προς τα εμπρός διαφορών.

Σε μία σύντομη και ελαφρώς πιο γενική μορφή και σε ίση απόσταση κόμβων ο τύπος διαβάζει

Λογισμός των πεπερασμένων διαφορών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η προς τα εμπρός διαφορά μπορεί να θεωρηθεί ως τελεστής διαφοράς,[7][8] ο οποίος καθορίζει την συνάρτηση f σε Δh[f ]. Αυτός ο τελεστής ισοδυναμεί με

όπου Th είναι ο μεταβαλλόμενος τελεστής με δείκτη h, ορίζεται από Th[f ](x) = f(x+h), και I είναι ο τελεστής ταυτότητας.

Η πεπερασμένη διαφορά των μεγαλύτερων τάξεων μπορεί να οριστεί με αναδρομικό τρόπο όπως Δhn ≡ Δhhn−1). Ένας άλλος ισοδύναμος ορισμός είναι Δhn = [ThI]n.

Ο τελεστής διαφοράς Δh είναι ένας γραμμικός τελεστής και ικανοποιεί έναν ειδικό κανόνα του Leibniz που αναφέρθηκε παραπάνω, Δh(f(x)g(x)) = (Δhf(x)) g(x+h) + f(x) (Δhg(x)). Όμοιες δηλώσεις ισχύουν και για τις προς τα πίσω και κεντρικές διαφορές.

Τυπικά,εφαρμόζωντας τη Σειρά Τέιλορ σε σχέση με το h, δίνει τον τύπο

όπου το D δηλώνει την συνεχή παράγωγο του τελεστή, καθορίζοντας την f στην παράγωγο της f'. Η επέκταση είναι έγκυρη όταν και οι δυο πλευρές δρουν ως αναλυτικές συναρτήσεις, για αρκετά μικρό h. Έτσι, Th=ehD, και τυπικά αναστρέφοντας τις εκθετικές αποδόσεις

Ο τύπος αυτός οδηγεί στην έννοια ότι και οι δυο τύποι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα όταν εφαρμόζεται σε ένα πολυώνυμο.

Ακόμα και για τις αναλυτικές συναρτήσεις,οι σειρές στα δεξιά δεν εγγυάται ότι συγκλίνουν: μπορεί να είναι ασυμπτωτική σειρά. Ωστόσο, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρεθούν πιο ακριβείς μετασχηματισμοί για την παράγωγο. Για παράδειγμα, διατηρώντας τους πρώτους δύο όρους της σειράς παράγει η προσέγγιση της δεύτερης τάξης την f’(x) όπως αναφέρθηκε στο τέλος της mentioned at the end of the ενότητας των μεγαλύτερης τάξης διαφορών. Οι ανάλογοι τύποι για τους τελεστές της προς τα πίσω και κεντρικής διαφοράς είναι

Ο λογισμός των πεπερασμένων διαφορών σχετίζεται με το λογισμό (που αναφέρεται στην ομοιότητα μεταξύ των φαινομενικά άσχετων πολυωνυμικών εξισώσεων) της συνδυαστικής. Αυτή η εξαιρετικά συστηματική αντιστοιχία οφείλεται στην ταυτότητα των μετατροπέων των ποσοτήτων του παραπάνω λογισμού στο αναλογικό συνεχές τους (h→0 limits),

Πρότυπο:Equation box 1

Ένας μεγάλος αριθμός των διαφορικών σχέσεων του λογισμού με νόρμα αφορά συναρτήσεις f(x) άρα καθορίζει συστηματικά την αναλογική πεπερασμένη διαφορά που αφορά την f(xTh−1).

Για παράδειγμα, η αναλογική ενός μονώνυμου xn είναι μια γενίκευση του πτωτικού παραγοντικού (Pochhammer k-symbol),

,

έτσι ώστε

άρα ο παραπάνω τύπος παρεμβολής Τέιλορ (αντιστοιχίζοντας συντελεστές στην επέκταση μιας αυθαίρετης συνάρτησης f(x) σε τέτοια σύμβολα), και ούτω καθεξής.

Για παράδειγμα, το ημίτονο είναι

Όπως στο συνεχές όριο, η ιδιοσυνάρτηση της Δh /h επίσης συμβαίνει να είναι μια εκθετική,

και άρα τα αθροίσματα Φουριέρ των συνεχών συναρτήσεων αντιστοιχίζονται εύκολα σε αθροίσματα Φουριέρ που σχετίζονται με την ομοιότητα των φαινομενικά άσχετων πολυωνυμικών εξισώσεων, που αφορούν τους ίδιους συντελεστές Φουριέρ πολλαπλασιάζοντας αυτές τις εκθετικές βάσεις.[9] Αυτή η εκθετική (που έχει σχέση με την ομοιότητα των πολυωνυμικών εξισώσεων)ισοδυναμεί με την εκθετική συνάρτηση παραγωγής των Pochhammer συμβόλων.

Έτσι,για παράδειγμα, η συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ καθορίζει τους αντιπροσώπους, την απόλυτη ημιτονοειδή συνάρτηση,

και ούτω καθεξής.[10] Οι πεπερασμένες εξισώσεις μπορούν συχνά να λυθούν με τεχνικές πολύ όμοιες με εκείνες για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων.

O αντίστροφος τελεστής του τελεστή της προς τα εμπρός διαφοράς, ώστε στη συνέχεια να έχουμε το ολοκλήρωμα, είναι το αόριστο άθροισμα ή ο τελεστής της αντί διαφοράς.

Κανόνες λογισμού για τους τελεστές της πεπερασμένης διαφοράς[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ανάλογο με τους κανόνες για την εύρεση της παραγώγου, έχουμε:

  • Συνεχής κανόνας: Αν c είναι μια σταθερά, τότε

Όλοι οι παραπάνω κανόνες ισχύουν εξίσου καλά σε κάθε τελεστή διαφοράς, συμπεριλαμβανομένου ως προς .

ή


Δες τις παραπομπές [11][12][13][14]

Γενικεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Μία γενικευμένη πεπερασμένη διαφορά συνήθως ορίζεται ως

όπου είναι το διάνυσμα των συντελεστών του. Μία άπειρη διαφορά είναι μια περαιτέρω γενίκευση,όπου το πεπερασμένο άθροισμα παραπάνω αντικαθίσταται από μία άπειρη σειρά. Ένας άλλος τρόπος γενίκευσης είναι η κατασκευή συντελεστών που εξαρτώνται από το σημείο  : , θεωρώντας έτσι σταθμισμένη πεπερασμένη διαφορά. Επίσης,θα μπορούσε κανείς να φτιάξει έναν δείκτη που να εξαρτάται από το σημείο  : . Τέτοιες γενικεύσεις είναι χρήσιμες για την κατασκευή διαφορετικού μέτρου συνέχειας.

  • Η γενικευμένη διαφορά μπορεί να θεωρηθεί ως πολυώνυμο δακτυλίων . Αυτό οδηγεί σε αλγεβρική διαφορά.
  • Ο φορέας διαφοράς γενικεύει την Möbius μετάθεση πάνω από ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο.
  • Ως τελεστής ελίκωσης: Μέσω του φορμαλισμού των αλγεβρικών συχνοτήτων, τελεστές διαφοράς και άλλη Möbius αναστροφή μπορεί να εκπροσωπείται από συνεξέλιξη με μία συνάρτηση on the poset, γνωστή ως Möbius συνάρτηση μ; για τον τελεστή διαφοράς, μ είναι η ακολουθία (1, −1, 0, 0, 0, ...).

Πεπερασμένη διαφορά πολλών μεταβλητών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι πεπερασμένες διαφορές μπορούν να θεωρηθούν περισσότερες από μία μεταβλητές. Είναι ανάλογες με τις μερικές παραγώγους σε αρκετές μεταβλητές.

Μερικές προσεγγίσεις των μερικών παραγώγων είναι (χρησιμοποιώντας την κεντρική μέθοδο του δείκτη):

Εναλλακτικά,σε εφαρμογές στις οποίες ο υπολογισμός της f είναι πιο δύσκολο βήμα, και πρέπει να υπολογιστούν και οι δύο,πρώτοι και δεύτεροι παράγωγοι, ένας πιο αποτελεσματικός τύπος για την τελευταία περίπτωση είναι

δεδομένου ότι οι μόνες τιμές για υπολογισμό που δεν είναι απαραίτητες για τις προηγούμενες τέσσερις εξισώσεις είναι f(x+h, y+k) και f(xh, yk).

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 1,2 Paul Wilmott; Sam Howison; Jeff Dewynne (1995). The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction. Cambridge University Press. σελ. 137. ISBN 978-0-521-49789-3. 
  2. 2,0 2,1 2,2 Peter Olver (2013). Introduction to Partial Differential Equations. Springer Science & Business Media. σελ. 182. ISBN 978-3-319-02099-0. 
  3. 3,0 3,1 3,2 M Hanif Chaudhry (2007). Open-Channel Flow. Springer. σελ. 369. ISBN 978-0-387-68648-6. 
  4. Jordán, op. cit., p. 1 and Milne-Thomson, p. xxi. Milne-Thomson, Louis Melville (2000): The Calculus of Finite Differences (Chelsea Pub Co, 2000) ISBN 978-0821821077
  5. Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1
  6. Richtmeyer, D. and Morton, K.W., (1967). Difference Methods for Initial Value Problems, 2nd ed., Wiley, New York.
  7. Boole, George, (1872). A Treatise On The Calculus of Finite Differences, 2nd ed., Macmillan and Company. On line. Also, [Dover edition 1960]
  8. Jordan, Charles, (1939/1965). "Calculus of Finite Differences", Chelsea Publishing. On-line: [1]
  9. Zachos, C. (2008). «Umbral Deformations on Discrete Space-Time». International Journal of Modern Physics A 23 (13): 2005–2014. doi:10.1142/S0217751X08040548. 
  10. Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (2013). «Umbral Vade Mecum». Frontiers in Physics 1. doi:10.3389/fphy.2013.00015. 
  11. Levy, H.; Lessman, F. (1992). Finite Difference Equations. Dover. ISBN 0-486-67260-3. 
  12. Ames, W. F., (1977). Numerical Methods for Partial Differential Equations, Section 1.6. Academic Press, New York. ISBN 0-12-056760-1.
  13. Hildebrand, F. B., (1968). Finite-Difference Equations and Simulations, Section 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
  14. Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (1995). «Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals». Theoretical Computer Science 144 (1–2): 101–124. doi:10.1016/0304-3975(94)00281-M. http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/FlSe95.pdf .

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Richardson, C. H. (1954): An Introduction to the Calculus of Finite Differences (Van Nostrand (1954) online copy
  • Mickens, R. E. (1991): Difference Equations: Theory and Applications (Chapman and Hall/CRC) ISBN 978-0442001360

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]