Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
καμία σύνοψη επεξεργασίας
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
[[File:RandLintegrals.png|thumb|Riemann-Darboux's integration (in blue) and Lebesgue integration (in red).]]
</gallery>
 
== Εναλλακτικές διατυπώσεις ==
 
Είναι δυνατό να αναπτύξουμε ένα ολοκλήρωμα με βάση το μέτρο Lebesque χωρίς να βασιστούμε στον πλήρη μηχανισμό της θεωρίας μέτρου. Μία ακόμα προσέγγιση είναι να παραχθεί από το [[ολοκλήρωμα Daniell]].
Υπάρχει επίσης μια εναλλακτική προσέγγιση να αναπτύξουμε την θεωρία ολοκλήρωσης με μεθόδους [[συναρτησιακής ανάλυσης]].
Το ολοκλήρωμα Riemann υπάρχει για οποιασδήποτε συνεχής συμπαγή συναρτήση {{math|''f''}} που ορίζονται για {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}} (ή ένα σταθερό ανοικτό υποσύνολο).
Ολοκληρώματα των πιο γενικών συναρτήσεων μπορούν να κατασκευαστούν ξεκινώντας από αυτά τα ολοκληρώματα.
Έστω {{math|''C<sub>c</sub>''}}, ο χώρος όλων των πραγματικών τιμών συμπαγών συνεχών συναρτήσεων του ℝ. Ορίζουμε ένα πρότυπο
{{math|''C<sub>c</sub>''}} από : <math> \|f\| = \int |f(x)| \, dx.</math>
Τότε {{math|''C<sub>c</sub>''}} είναι μία νόρμα (και ειδικότερα, είναι ένας μετρικός χώρος.) Όλοι οι μετρικοί χώροι έχουν την
[[ιδιότητα Hausdorff]], όπου η {{math|''L''<sup>1</sup>}} είναι η ολοκλήρωσή του. Αυτός ο χώρος είναι ισόμορφος με τον χώρο των
ολοκληρώσιμων συναρτήσεων Lebesque modulo τον υποχώρο των συναρτήσεων με ολοκλήρωμα μηδέν. Επιπλέον, το ολοκλήρωμα Riemann
{{math|∫}} είναι [[ομοιόμορφα συνεχής]] συνάρτηση με τη νόρμα {{math|''C<sub>c</sub>''}}, η οποία είναι πυκνή με την {{math|''L''<sup>1</sup>}}. Ως εκ τούτου, το {{math|∫}} έχει μοναδική επέκταση σε όλο το {{math|''L''<sup>1</sup>}}. Αυτό το ολοκλήρωμα είναι ακριβώς το ολοκλήρωμα Lebesgue.
 
Γενικότερα, όταν ο χώρος μέτρου στον οποίο ορίζονται οι συναρτήσεις είναι επίσης ένας [[τοπολογικά συμπαγής χώρος|τοπολογικά συμπαγής]] [[τοπολογικός χώρος]] (όπως στην περίπτωση του ℝ), είναι συμβατός με την τοπολογία σε κατάλληλη περίπτωση ([[μέτρο του Radon]], του οποίου το μέτρο Lebesgue είναι ένα παράδειγμα) ένα ολοκλήρωμα που ακολουθεί τα παραπάνω μπορεί να οριστεί με τον ίδιο τρόπο, ξεκινώντας από τα ολοκληρώματα των [[συνεχών συναρτήσεων]] με [[support (mathematics)#Compact support|συμπάγεια]]. Πιο συγκεκριμένα, οι συμπαγείς συναρτήσεις οι οποίες αποτελούν [[διανυσματικό χώρο]] που μεταφέρει μία φυσική [[topological space|topology]], και ένα (Radon) μέτρο ορίζεται ως συνεχής [[linear map|γραμμική]] συνάρηση στο χώρο αυτό. Η τιμή του μέτρου μίας συμπαγούς συνάρτησης είναι εξ'ορισμού το ολοκλήρωμα της συνάρτησης. Αυτό προχωρά ώστε να επεκτείνει το μέτρο (το ολοκλήρωμα) σε γενικότερες συναρτήσεις μέσω της συνέχειας, και ορίζει το μέτρο ενός συνόλου ως το ολοκλήρωμα της συνάρτησης δείκτη του. Αυτή είναι μια προσέγγιση του {{Harvtxt|Bourbaki|2004}} και ενός πλήθους άλλων συγγραφέων. Για περισσότερες πληροφορίες κοιτάξτε [[Radon measure#Radon measures on locally compact spaces|Radon measures]].
 
 
== Δείτε επίσης ==
5

επεξεργασίες

Μενού πλοήγησης