Μέτρο Λεμπέγκ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Το μέτρο Λεμπέγκ είναι ένα μέτρο του χώρου που γενικεύει την έννοια του μήκους, του εμβαδού και του όγκου. Διαισθητικά, ο όγκος ενός αντικειμένου είναι ανεξάρτητος της θέσεως του στον χώρο. Αποδεικνύεται ότι ένα σ-περατό μέτρο ορισμένο στα σύνολα Μπορέλ, με αυτή την ιδιότητα, είναι μη-αρνητικό πολλαπλάσιο του μέτρου Λεμπέγκ περιορισμένου στα σύνολα Μπορέλ.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για κάθε σύνολο , έστω το σύνολο των ακολουθιών διαστημάτων των οποίων η ένωση καλύπτει το . Το εξωτερικό μέτρο Λεμπέγκ ορίζει τιμή στο Α ως το infimum των αθροισμάτων μηκών των διαστημάτων του . Το μέτρο Λεμπέγκ είναι ο περιορισμός του εξωτερικού μέτρου Λεμπέγκ στα Λεμπέγκ μετρήσιμα σύνολα. Παρόμοια ορίζεται στον χώρο .

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάθε σύνολο Μπορέλ είναι Λεμπέγκ μετρήσιμο. Το μέτρο Λεμπέγκ είναι το μοναδικό μέτρο που αντιστοιχεί σε κάθε διάστημα το μήκος του.