Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Στην γραμμική άλγεβρα , ένας πίνακας από μονάδες είναι ο πίνακας που όλα του τα στοιχεία είναι μονάδες
1
{\displaystyle 1}
.[1] Για παράδειγμα, οι παρακάτω πίνακες είναι πίνακες από μονάδες διαφορετικών διαστάσεων,
J
2
=
[
1
1
1
1
]
⏟
2
×
2
,
J
2
,
3
=
[
1
1
1
1
1
1
]
⏟
2
×
3
,
J
3
=
[
1
1
1
1
1
1
1
1
1
]
⏟
3
×
3
,
J
4
=
[
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
]
⏟
4
×
4
.
{\displaystyle J_{2}=\underbrace {\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}} _{2\times 2},\quad J_{2,3}=\underbrace {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}} _{2\times 3},\quad J_{3}=\underbrace {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}} _{3\times 3},\quad J_{4}=\underbrace {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{bmatrix}} _{4\times 4}.}
Για την ειδική περίπτωση που ο πίνακας έχει την μορφή διανύσματος γραμμής ή στήλης , λέγεται διάνυσμα από μονάδες . Για παράδειγμα,
J
1
,
3
=
[
1
1
1
]
,
J
3
,
1
=
[
1
1
1
]
,
J
1
,
4
=
[
1
1
1
1
]
,
J
4
,
1
=
[
1
1
1
1
]
.
{\displaystyle J_{1,3}={\begin{bmatrix}1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{3,1}={\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}},\quad J_{1,4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{4,1}={\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}.}
Για τον τετραγωνικό πίνακα από μονάδες
J
n
{\displaystyle J_{n}}
ισχύει ότι:
Είναι συμμετρικός .
Το ίχνος του
J
n
{\displaystyle J_{n}}
ικανοποιεί
tr
(
J
n
)
=
n
{\displaystyle \operatorname {tr} (J_{n})=n}
.
Η ορίζουσα του
J
n
{\displaystyle J_{n}}
ικανοποιεί
det
(
J
n
)
=
{
1
αν
n
=
1
0
διαφορετικά
.
{\displaystyle \operatorname {det} (J_{n})={\begin{cases}1&{\text{αν }}n=1\\0&{\text{διαφορετικά}}.\end{cases}}}
Η τάξη του
J
n
{\displaystyle J_{n}}
είναι
rank
(
J
n
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {rank} (J_{n})=1}
.
Ο
J
n
{\displaystyle J_{n}}
έχει ιδιοδιάνυσμα
J
n
,
1
{\displaystyle J_{n,1}}
με ιδιοτιμή
1
{\displaystyle 1}
. Από το θεώρημα rank-nullity προκύπτει ότι η ιδιοτιμή
0
{\displaystyle 0}
έχει πολλαπλότητα
n
−
1
{\displaystyle n-1}
.
Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι
p
J
n
(
x
)
=
x
n
−
1
⋅
(
x
−
1
)
{\displaystyle p_{J_{n}}(x)=x^{n-1}\cdot (x-1)}
.
Ο πίνακας
1
n
J
n
{\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J_{n}}
είναι ταυτοδύναμος , καθώς για κάθε διάνυσμα
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
ισχύει ότι
x
T
J
n
x
=
(
∑
i
=
1
n
x
i
)
2
≥
0
{\textstyle \mathbf {x} ^{T}J_{n}\mathbf {x} =\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}\geq 0}
.
Για κάθε φυσικό αριθμό
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
, οι δυνάμεις του πίνακα δίνονται από
J
n
k
=
n
k
−
1
J
n
{\displaystyle J_{n}^{k}=n^{k-1}J_{n}}
.
Από την σχέση
J
n
2
=
n
J
n
{\displaystyle J_{n}^{2}=nJ_{n}}
προκύπτει ότι το ελάχιστο πολυώνυμο είναι
p
J
n
(
x
)
=
x
2
−
n
x
{\displaystyle p_{J_{n}}(x)=x^{2}-nx}
.
↑ Χριστόπουλος, Δημήτριος. «Γραμμική άλγεβρα με το MATLAB» (PDF) . Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, Εθνικό Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο. Ανακτήθηκε στις 16 Ιουλίου 2023 .