Υποσύνολο

Στα μαθηματικά, ένα σύνολο $X$ ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου $Y$ και συμβολίζουμε με $X\subseteq Y$ , εάν κάθε στοιχείο του $X$ είναι και στοιχείο (ανήκει) του $Y$ δηλαδή ισχύει:^[1]^:5^[2]

\forall x.(x\in X\Rightarrow x\in Y)

Για παράδειγμα, το $X=\{1,3\}$ είναι υποσύνολο του $Y=\{1,2,3,4\}$ . Το σύνολο $Y$ λέγεται και υπερσύνολο του $X$ και συμβολίζεται ως $Y\supseteq X$ .

Ακόμα χρησιμοποιούμε την ορολογία: το σύνολο $X$ περιέχεται στο σύνολο $Y$ ή ακόμα ότι το σύνολο $Y$ είναι υπερσύνολο του συνόλου $X$ και γράφουμε $X\subseteq Y$ . Μπορούμε να θεωρήσουμε το $\subseteq$ ως τη σχέση που αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη $(X,Y)$ για τα οποία ισχύει $X\subseteq Y$ .

Το σύνολο όλων των υποσυνόλων του $Y$ είναι το δυναμοσύνολο ${\mathcal {P}}(Y)$ .

Παραδείγματα

Παρακάτω δίνονται μερικά παραδείγματα υποσυνόλων:

Το σύνολο όλων των ανδρών είναι υποσύνολο του συνόλου όλων των ανθρώπων.
$\{1,3\}\subseteq \{1,2,3,4\}$ .
$\{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}$ .
Το σύνολο των περιττών αριθμών είναι υποσύνολο των ακεραίων αριθμών.
Όλα τα δυνατά υποσύνολα του $\{1,2,3\}$ είναι τα εξής:

\{\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}

.

Ιδιότητες

Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, δηλαδή $\emptyset \subseteq X$ για κάθε σύνολο $X$ .
Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του, δηλαδή $X\subseteq X$ για κάθε σύνολο $X$ .

Γνήσιο υποσύνολο

Αν το σύνολο $X$ είναι υποσύνολο του $Y$ και επίσης ισχύει ότι $X\neq Y$ , δηλαδή αν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του $Y$ το οποίο να μην ανήκει στο $X$ , τότε λέμε ότι το σύνολο $X$ είναι γνήσιο υποσύνολο του $Y$ και το συμβολίζουμε με $X\subset Y$ ή με $X\subsetneq Y$ . Αντίστοιχα, ορίζεται το γνήσιο υπερσύνολο $Y\supset X$ ή $X\supsetneq Y$ .

Παραδείγματα

$\{1,3\}\subset \{1,2,3,4\}$ .
Το σύνολο των φυσικών αριθμών $\mathbb {N} =\{0,1,\ldots ,\}$ είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-1,0,1,\ldots \}$ , δηλαδή $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$ .
Το σύνολο τον ακεραίων είναι γνήσιο υποσύνολο αυτού των ρητών, δηλαδή $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$ .
Το σύνολο των ρητών γνήσιο υποσύνολο των πραγματικών, δηλαδή $\mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$ .

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Καπελλίδης, Σπύρος Κλ. «Σημειώσεις στη Θεωρία Συνόλων» (PDF). Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.
↑ Μοσχοβάκης, Γιάννης Ν. «Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.

[1] Καπελλίδης, Σπύρος Κλ. «Σημειώσεις στη Θεωρία Συνόλων» (PDF). Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.

[2] Μοσχοβάκης, Γιάννης Ν. «Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.

[1]

[2]