Γεωμετρική πρόοδος

Γεωμετρική πρόοδος είναι η ακολουθία , στην οποία κανένας όρος δεν ισούται με το μηδέν και για δύο διαδοχικούς όρους της α_ν, α_ν+1 ισχύει ότι ${\frac {\alpha _{\nu +1}}{\alpha _{\nu }}}=\lambda$ , όπου λ μία μη μηδενική σταθερή ποσότητα. Η ποσότητα λ ονομάζεται λόγος της γεωμετρικής προόδου. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν το οποιοδήποτε πηλίκο δύο διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας είναι συγκεκριμένο, τότε αυτή η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος. Έτσι, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο τύπους:

Γενικός τύπος: α_ν=α₁·λ^ν-1
Αναδρομικός τύπος: α_ν=α_ν-1·λ

Ιδιότητες της προόδου

Η γραφική παράσταση της γεωμετρικής προόδου είναι διαδοχικά σημεία μιας ή δύο μετασχηματισμένων καμπυλών εκθετικής συνάρτησης.

Ο γεωμετρικός μέσος όρος δύο αριθμών α,γ είναι ο β, αν και μόνο αν οι όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

Αν το λ δεν είναι 1:
- Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου (α_ν) ( με πρώτον όρο τον α₁) ισούται με $\Sigma _{\nu }=\alpha _{1}{\frac {\lambda ^{\nu }-1}{\lambda -1}}$ $\Sigma _{\nu }=\alpha _{1}{\frac {\lambda ^{\nu }-1}{\lambda -1}}$
  - Αν η πρόοδος είναι φθίνουσα ( $|\lambda |<1$ ), τότε η σειρά των όρων της γεωμετρικής προόδου (δηλαδή το διαδοχικό άθροισμα των άπειρων όρων της) που έχει πρώτο όρο τον αριθμό α1 και λόγο λ, δίνεται από τον τύπο: ${\frac {\alpha _{1}}{1-\lambda }}$
Αν λ=1, τότε όλοι οι όροι της γεωμετρικής προόδου είναι ίσοι μεταξύ τους και το άθροισμα ν όρων είναι v·α₁.
Αν λ=-1, τότε όλοι οι όροι της γεωμετρικής προόδου έχουν ίδια απόλυτη τιμή και το άθροισμα ν όρων είναι α₁, αν ν περιττός αριθμός και 0 αν ν άρτιος αριθμός.