Παραμετρικές εξισώσεις

Η καμπύλη πεταλούδα  μπορεί να ορίζεται από παραμετρικές εξισώσεις των x και y.

Στα μαθηματικά, οι παραμετρικές εξισώσεις ορίζουν μια ομάδα ποσοτήτων ως συναρτήσεις μιας ή περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών που ονομάζονται παράμετροι. Οι παραμετρικές εξισώσεις  χρησιμοποιούνται συνήθως για να εκφράσουν τις συντεταγμένες των σημείων που συνθέτουν ένα γεωμετρικό αντικείμενο, όπως μια καμπύλη ή επιφάνεια, σε κάθε περίπτωση οι εξισώσεις συλλογικά ονομάζονται παραμετρική αναπαράσταση ή παραμετροποίηση του αντικειμένου. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις

${\displaystyle }$

έχει τη μορφή μιας παραμετρικής αναπαράσταση και συγκεκριμένα ενός μοναδιαίου κύκλου, όπου t είναι η παράμετρος.

Εκτός από καμπύλες και επιφάνειες, παραμετρικές εξισώσεις μπορεί να περιγράψει τις πολλαπλές και αλγεβρικό ποικιλίες της τριτοβάθμιας διάσταση, με τον αριθμό των παραμέτρων είναι ίση με την διάσταση του συλλέκτη ή την ποικιλία και ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίση με την διάσταση του χώρου στον οποίο η πολλαπλή ή ποικιλία θεωρείται (για καμπύλες η διάσταση είναι μία και μία παράμετρος χρησιμοποιείται για επιφάνειες διάσταση δύο και δύο παράμετροι, κ. λπ.).

Παραμετρικές εξισώσεις που χρησιμοποιούνται συνήθως στην κινηματική, όπου η τροχιά ενός αντικειμένου που αντιπροσωπεύεται από τις εξισώσεις ανάλογα με το χρόνο ως παράμετρο. Εξαιτίας αυτής της εφαρμογής, μόνο μια παράμετρος είναι συχνά ονομάζεται t * ωστόσο, οι παράμετροι μπορούν να εκπροσωπούν άλλες φυσικές ποσότητες (όπως γεωμετρικές μεταβλητές) ή μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα για τη διευκόλυνσή σας. Παραμετροποιήσεις είναι μη-μοναδικό * περισσότερα από ένα σετ παραμετρικές εξισώσεις-μπορείτε να καθορίσετε την ίδια καμπύλη.

Εφαρμογές

Κινηματική

Στην κινηματική, "αντικείμενα" μονοπάτια μέσα στο χώρο είναι συνήθως περιγράφεται ως παραμετρικές καμπύλες, με κάθε χωρικών συντεταγμένων, ανάλογα ρητά σε ανεξάρτητη παράμετρος (συνήθως χρόνος). Χρησιμοποιείται με αυτόν τον τρόπο, το σύνολο των παραμετρικών εξισώσεων για τις συντεταγμένες του αντικειμένου που αποτελούν συλλογικά ένα vector-valued function για τη θέση. Τόσο οι παραμετρικές καμπύλες μπορούν στη συνέχεια να ολοκληρωμένων και διαφοροποιημένων termwise. Έτσι, αν ένα σωματίδιο θέση περιγράφεται παραμετρικά ως

${\displaystyle }$

στη συνέχεια, η ταχύτητα μπορεί να βρεθεί ως

${\displaystyle }$

και την επιτάχυνση , καθώς

${\displaystyle }$.

Computer-aided design

Μια άλλη σημαντική χρήση των παραμετρικών εξισώσεων είναι στον τομέα των computer-aided design (CAD). Για παράδειγμα, εξετάστε το ακόλουθο τρεις παραστάσεις, τα οποία συνήθως χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν επίπεδες καμπύλες.

Type	Form	Example	Description
1. Explicit	$y=f(x)\,\!$	$y=mx+b\,\!$	Line
2. Implicit	$f(x,y)=0\,\!$	$\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}$	Circle
3. Parametric	$x={\frac {x(t)}{w(t)}}$; $y={\frac {y(t)}{w(t)}}$	$x=a_{0}+a_{1}t;\,\!$ $y=b_{0}+b_{1}t\,\!$ $x=a+r\,\cos t;\,\!$ $y=b+r\,\sin t\,\!$	Line Circle

Τα δύο πρώτα είδη είναι γνωστά ως αναλυτική ή μη-παραμετρικό, αναπαραστάσεις στροφές, σε σύγκριση με παραμετρικές αναπαραστάσεις για χρήση σε εφαρμογές CAD, μη-παραμετρικές αναπαραστάσεις έχουν ελλείψεις. Ειδικότερα, η μη-παραμετρική αναπαράσταση εξαρτάται από την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων και δεν βοηθάει πολύ στο να γεωμετρικών μετασχηματισμών, όπως περιστροφές, τις μεταφράσεις και την απολέπιση * μη-παραμετρικές αναπαραστάσεις ως εκ τούτου, είναι πιο δύσκολο να δημιουργήσει σημεία σε μια καμπύλη. Αυτά τα προβλήματα μπορούν να αντιμετωπιστούν με το ξαναγράψιμο της μη-παραμετρικές εξισώσεις σε παραμετρική μορφή.

Ακέραιος γεωμετρία

Πολλά προβλήματα στο ακέραιο γεωμετρία μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας παραμετρικές εξισώσεις. Μια κλασική τέτοια λύση είναι Euclid's παραμετροποίηση δεξιά τρίγωνα , όπως ότι τα μήκη των πλευρών a, b και υποτείνουσα c είναι coprime ακέραιοι. Όπως a και b δεν είναι και οι δύο ακόμη (αλλιώς a, b και c δεν θα coprime), μπορεί κανείς να τα ανταλλάξουν για a ακόμη, και η παραμετροποίηση είναι τότε

${\displaystyle }$

όπου m και nn είναι θετικοί coprime ακέραιοι που δεν είναι τόσο περίεργο.

Πολλαπλασιάζοντας a, b και c από μια αυθαίρετη θετικός ακέραιος, παίρνει μια παραμετροποίηση εντάξει τρίγωνα των οποίων τρεις πλευρές έχουν ακέραια μήκη.

Implicitization

Μετατρέποντας μια σειρά από παραμετρικές εξισώσεις σε μια ενιαία εξίσωση συνεπάγεται την εξάλειψη της μεταβλητής ${\displaystyle }$ από τις ταυτόχρονες εξισώσεις ${\displaystyle }$ Αυτή η διαδικασία ονομάζεται implicitization. Αν μία από αυτές τις εξισώσεις μπορούν να επιλυθούν για την t, η έκφραση που προκύπτει μπορεί να υποκατασταθεί στην άλλη εξίσωση για να αποκτήσετε μια εξίσωση που αφορούν x και y .

Αν η παραμετροποίηση δίνεται από την ορθολογική λειτουργίες

${\displaystyle }$

όπου p, q, r είναι το σύνολο-σοφός coprime πολυώνυμα, με μια επακόλουθη υπολογισμός επιτρέπει να implicitize. Πιο συγκεκριμένα, η σιωπηρή εξίσωση είναι η συνισταμένη με σεβασμό t του xr(t) – p(t) και yr(t) – q(t)

Σε υψηλότερη διάσταση (είτε περισσότερα από δύο συντεταγμένες περισσότερες από μία παράμετρος), το implicitization της ορθολογικής παραμετρικές εξισώσεις μπορεί να γίνεται με βάση Gröbner υπολογισμού * βλ βάση Gröbner § Implicitization σε υψηλότερη διάσταση.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, δεν υπάρχει ενιαία εξίσωση σε κλειστή μορφή που είναι ισοδύναμο με τις παραμετρικές εξισώσεις.

Να πάρουμε για παράδειγμα τον κύκλο ακτίνας α ανωτέρω, οι παραμετρικές εξισώσεις

${\displaystyle }$

μπορεί να implicitized σε όρους των x και y με το Πυθαγόρειο τριγωνομετρική ταυτότητα:

Όπως

${\displaystyle }$

και

${\displaystyle }$

έχουμε

${\displaystyle }$

και έτσι

${\displaystyle }$

που είναι η τυπική εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων.

Παραδείγματα σε δύο διαστάσεις

Παραβολή

Η απλούστερη εξίσωση για μια παραβολή,

${\displaystyle }$

μπορεί να είναι (επιπόλαια) με παραμέτρους, χρησιμοποιώντας μια ελεύθερη παράμετρος t, και ρύθμιση

${\displaystyle }$

Ρητές εξισώσεις

Γενικότερα, κάθε καμπύλη που δίνεται από ρητή εξίσωση

${\displaystyle }$

μπορεί να είναι (επιπόλαια) με παραμέτρους, χρησιμοποιώντας μια ελεύθερη παράμετρος t, και ρύθμιση

${\displaystyle }$

Κύκλος

Ένα πιο εξελιγμένο παράδειγμα είναι το ακόλουθο. Θεωρούμε το μοναδιαίο κύκλο που περιγράφεται από το κοινό (Καρτεσιανή) εξίσωση

${\displaystyle }$

Η εξίσωση αυτή μπορεί να παραμετροποιηθεί ως εξής:

${\displaystyle }$

Με την Καρτεσιανή εξίσωση είναι πιο εύκολο να ελέγξετε αν ένα σημείο βρίσκεται πάνω στον κύκλο ή όχι. Με την παραμετρική έκδοση είναι πιο εύκολο να αποκτήσει πόντους σε ένα οικόπεδο.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, παραμετρικές εξισώσεις που αφορούν μόνο την ορθολογική λειτουργίες (που είναι κλάσματα των δύο πολυωνύμων) προτιμώνται, αν υπάρχουν. Στην περίπτωση του κύκλου, μια τέτοια λογική παραμετροποίηση είναι

${\displaystyle }$

Με αυτή την παραμετρική εξίσωση, το σημείο (-1, 0) δεν αντιπροσωπεύεται από μια πραγματική τιμή του t, αλλά από το όριο των x και y όταν το t τείνει στο άπειρο.

Έλλειψη

Μια έλλειψη στην κανονική του θέση (κέντρο προέλευσης, με κύριο άξονα κατά μήκος του X-άξονα) με ημι-άξονες a και b μπορεί να παρασταθεί παραμετρικά ως

${\displaystyle }$

Μια έλλειψη σε γενική θέση μπορεί να εκφραστεί ως

${\displaystyle }$

καθώς η παράμετρος t ποικίλλει από 0 μέχρι 2d. Εδώ ${\displaystyle }$ είναι το κέντρο της έλλειψης, και ${\displaystyle }$ είναι η γωνία μεταξύ του ${\displaystyle }$-άξονα και του μεγάλου άξονα της έλλειψης.

Και οι δύο parametrizations μπορεί να γίνει ορθολογική χρησιμοποιώντας εφαπτομένη μισή γωνία φόρμουλα και ρύθμιση ${\displaystyle }$

Lissajous Καμπύλη

Ένα Lissajous καμπυλών είναι παρόμοια με μια έλλειψη, αλλά τα x και y ημιτονοειδών δεν είναι σε φάση. Σε κανονική θέση, Lissajous καμπύλη δίνεται από

${\displaystyle }$

πού ${\displaystyle }$ και ${\displaystyle }$ είναι σταθερές που περιγράφει τον αριθμό των λοβών του σχήμα.

Υπερβολή

Ανατολής-δύσης άνοιγμα υπερβολή μπορεί να παρασταθεί παραμετρικά από

${\displaystyle }$ ή, λογικά ${\displaystyle }$

Βορρά-νότου άνοιγμα υπερβολή μπορεί να παρασταθεί παραμετρικά ως

${\displaystyle }$

Σε όλα τα βρέφη (h,k) είναι το κέντρο συντεταγμένες του υπερβολή, ένα είναι το μήκος του semi-major axis, και b είναι το μήκος του ημι-ήσσονος σημασίας άξονα.

Hypotrochoid

Ένα hypotrochoid είναι μια καμπύλη που διαγράφεται από ένα σημείο που επισυνάπτεται σε ένα κύκλο ακτίνας r γύρω από το τροχαίο μέσα από ένα σταθερό κύκλο ακτίνας R, όπου το θέμα είναι σε απόσταση d από το κέντρο του εσωτερικού κύκλου.

• 
  Ένα hypotrochoid για το οποίο r = d
• 
  Ένα hypotrochoid για το οποίο R = 5, r = 3, d = 5

Οι παραμετρικές εξισώσεις για την hypotrochoids είναι:

${\displaystyle }$

Ορισμένες εξελιγμένες λειτουργίες

Άλλα παραδείγματα:

${\displaystyle }$

Πολλές γραφικές παραστάσεις με την παραλλαγή του k

${\displaystyle }$

j=3 k=3

j=3 k=3

j=3 k=4

j=3 k=4

j=3 k=4

${\displaystyle }$

i=1 j=2

Παραδείγματα σε τρεις διαστάσεις

Helix

Παραμετρική helix

Παραμετρικές εξισώσεις είναι κατάλληλη για την περιγραφή καμπύλες στο υψηλότερο διαστάσεων χώρους. Για παράδειγμα:

${\displaystyle }$

περιγράφει μια τρισδιάστατη καμπύλη, το helix, με ακτίνα α και αυξάνεται από 2pβ μονάδες ανά σειρά. Σημειώστε ότι οι εξισώσεις είναι ίδιες στο αεροπλάνο με εκείνες για ένα κύκλο. Εκφράσεις όπως το παραπάνω είναι συνήθως γράφεται ως

${\displaystyle }$

όπου r είναι ένα τρισδιάστατο διάνυσμα.

Παραμετρικές επιφάνειες

Ένα torus με μεγάλες ακτίνα R και μικρές ακτίνα r μπορεί να ορίζεται παραμετρικά ως

${\displaystyle }$

όπου οι δύο παράμετροι t και u και οι δύο διαφέρουν μεταξύ 0 και 2p.

• 
  R=2, r=1/2

Ως u ποικίλλει από 0 έως 2p το σημείο στην επιφάνεια κινήσεις για ένα σύντομο κύκλο που διέρχεται από την τρύπα του torus. Ως τ ποικίλλει από 0 έως 2p το σημείο στην επιφάνεια κινήσεις για ένα μεγάλο κύκλο γύρω από την τρύπα του torus.

Δείτε επίσης

• Καμπύλη
• Παραμετρική εκτίμηση
• Θέση διάνυσμα
• Vector-valued function
• Παραμετροποίηση από το μήκος του τόξου
• Παραμετρική παράγωγο

Εξωτερικές συνδέσεις

• Graphing Software στο Curlie
• Web εφαρμογή για να σχεδιάσετε παραμετρικές καμπύλες στο αεροπλάνο