Νόμος του παραλληλογράμμου

Νόμος Παραλληλογράμμου

Ταξινόμηση
Dewey	516
MSC2010	51Mxx

Ένα παραλληλόγραμμο. Οι πλευρές εμφανίζονται με μπλε χρώμα και οι διαγώνιοι με κόκκινο χρώμα.

Στα μαθηματικά, η απλούστερη μορφή του νόμου του παραλληλογράμμου (που ονομάζεται επίσης και ταυτότητα παραλληλογράμμου) ανήκει στην στοιχειώδη γεωμετρία. Δηλώνει ότι το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των τεσσάρων πλευρών ενός παραλληλογράμμου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των δύο διαγωνίων του. Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό στο διάγραμμα δεξιά, οι πλευρές είναι οι (AB), (BC), (CD), (DA). Αλλά δεδομένου ότι στην Ευκλείδεια γεωμετρία ένα παραλληλόγραμμο έχει κατ 'ανάγκη αντίθετες πλευρές του ίσες(AB) = (CD) και (BC) = (DA), ο νόμος μπορεί να διατυπωθεί ως,

$2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}\,$

Στη περίπτωση που το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο, οι δύο διαγώνιοι του είναι ίσες (AC) = (BD) έτσι ώστε,

$2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=2(AC)^{2}\,$

και ο νόμος μετατρέπεται στο Πυθαγόρειο θεώρημα. Για το γενικό τετράπλευρο με τέσσερις πλευρές όχι απαραίτητα ίσες ισχύει,

$(AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}+4x^{2}.\,$

όπου x είναι το μήκος της γραμμής που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων. Μπορεί να φανεί από το διάγραμμα ότι, για ένα παραλληλόγραμμο, το x = 0 και ο γενικός τύπος μετατρέπεται στο νόμο του παραλληλογράμμου.

Ο νόμος του παραλληλογράμμου στους χώρους εσωτερικού γινομένου

Διανύσματα που συμμετέχουν στο νόμο του παραλληλογράμμου.

Σε έναν χώρο με νόρμα, η δήλωση του νόμου του παραλληλογράμμου είναι μια εξίσωση που αφορά νόρμες (μέτρο):

$2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.\,$

Σε έναν χώρο εσωτερικού γινομένου, η νόρμα προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας το εσωτερικό γινόμενο:

$\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .\,$

Ως συνέπεια αυτού του ορισμού, σε έναν χώρο εσωτερικού γινομένου ο νόμος παραλληλογράμμου είναι μια αλγεβρική ταυτότητα, εύκολα αποδεικνυόμενη χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου:

$\|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,\,$

$\|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .\,$

Προσθέτοντας αυτές τις δύο εκφράσεις:

$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},\,$

όπως απαιτείται.

Εάν το x είναι ορθογώνιο του y, τότε $\langle x,\ y\rangle =0$ και η παραπάνω εξίσωση για τη νόρμα ενός αθροίσματος γίνεται:

$\|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},$

το οποίο είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Διανυσματικοί χώροι με νόρμα που ικανοποιούν το νόμο του παραλληλογράμμου

Οι περισσότεροι πραγματικοί και μιγαδικοί διανυσματικοί χώροι με νόρμα δεν έχουν εσωτερικά γινόμενα, αλλά όλοι οι διανυσματικοί χώροι με νόρμα έχουν νόρμες(εξ ορισμού). Για παράδειγμα, μία νόρμα που χρησιμοποιείται συνήθως είναι η p-νόρμα:

$\|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},$

όπου $x_{i}$ είναι οι συνιστώσες του διανύσματος $x$.

Δεδoμένης μίας νόρμας, μπορεί κανείς να αξιολογήσει και τις δύο πλευρές του νόμου του παραλληλογράμμου παραπάνω. Ένα αξιοσημείωτο γεγονός είναι ότι εάν ισχύει ο νόμος του παραλληλογράμμου, τότε η νόρμα μπορέι να προκύψει κατά το συνήθη τρόπο από κάποιο εσωτερικό γινόμενο. Ειδικότερα, ισχύει και για την P-νόρμα αν και μόνο αν p = 2, η λεγόμενη Ευκλείδεια νόρμα (Ευκλείδιο μέτρο) ή ɭ 2 νόρμα.

Για κάθε νόρμα που ικανοποιεί τον νόμο του παραλληλογράμμου (η οποία κατ 'ανάγκη είναι μία νόρμα εσωτερικού γινομένου), το εσωτερικό γινόμενο το οποίο δημιουργεί τη νόρμα είναι μοναδικό, ως συνέπεια της ταυτότητας πόλωσης . Στη περίπτωση των πραγματικών, η ταυτότητα πόλωσης δίνεται από τον τύπο:

$\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4},\,$

ή, ισοδύναμα, από::

${\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2}{\text{ or }}{\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 2}.\,$

Στην περίπτωση των μιγαδικών δίνεται από τον τύπο:

$\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2} \over 4}.$

Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας την p-νόρμα με p = 2 και πραγματικά διανύσματα $x,\ y\,$, ο υπολογισμός του εσωτερικού γινομένου ως γίνεται ως εξής:

${\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}\\&={\frac {1}{4}}\left[\sum |x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum |x_{i}-y_{i}|^{2}\right]\\&={\frac {1}{4}}\left[4\sum x_{i}y_{i}\right]\\&=(x\cdot y),\end{aligned}}$

το οποίο είναι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.

Δείτε επίσης

• Ταυτότητα Πόλωσης

Εξωτερικοί Σύνδεσμοι

• The Parallelogram Law Proven Simply at UNLV Kappa Sigma
• The Parallelogram Law: A Proof Without Words at cut-the-knot
• Proof of Parallelogram Law at Planet Math