Διωνυμική κατανομή

Διωνυμική Κατανομή
Συμβολισμός	${\mathsf {Bin}}(n,p)$
Παράμετροι	$n\in \mathbb {N} ,p\in [0,1]$
Φορέας	$x\in \{0,1,\ldots ,n\}$
Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας	${\binom {n}{x}}\cdot p^{x}\cdot (1-p)^{n-x}$
Μέσος	$np$
Διάμεσος	$\lfloor n\cdot p\rfloor$ ή $\lceil n\cdot p\rceil$
Διακύμανση	$n\cdot p\cdot (1-p)$
Λοξότητα	${\frac {1-2p}{\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}}}$
Κύρτωση	${\frac {1-6\cdot p\cdot (1-p)}{p\cdot (1-p)}}+3$
Εντροπία	$\approx {\frac {1}{2}}\log _{2}(2\pi enp(1-p))$
Ροπή	$\operatorname {E} [X^{k}]=p$
Πιθανογεννήτρια	$(p\cdot t+1-p)^{n}$
Χαρακτηριστική	$(p\cdot e^{t}+1-p)^{n}$

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η διωνυμική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει το πλήθος των επιτυχιών σε $n$ ανεξάρτητες επαναλήψεις ενός τυχαίου πειράματος με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας $p$ .

Η πιθανότητα να έχουμε $x$ επιτυχίες σε $n$ ανεξάρτητα πειράματα. όπου το κάθε ένα έχει με πιθανότητα επιτυχίας $p$ κάθε φορά είναι:^[1]^[2]^[3]

\operatorname {P} (X=x)={\binom {n}{x}}p^{x}(1-p)^{n-x}

,

όπου ${\tbinom {n}{x}}={\tfrac {n!}{x!(n-x)!}}$ είναι ο διωνυμικός συντελεστής.

Μοντέλο με κάλπη

Θεωρούμε μια κάλπη με $K$ λευκές μπάλες και $N-K$ μαύρες. Η πιθανότητα να τραβήξουμε μια λευκή μπάλα είναι $p=K/N$ . Τραβάμε μια μια μπάλες από την κάλπη επανατοποθετώντας τις κάθε φορά πίσω στην κάλπη (δειγματοληψία με επαναφορά) μέχρι να τραβήξουμε n μπάλες. Ζητάμε την πιθανότητα οι $k$ από αυτές να είναι λευκές.

Σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας αυτή ορίζεται ως το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών αποτελεσμάτων ως προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων.

Για κάθε λήψη έχουμε $N$ δυνατά αποτελέσματα. Στο σύνολο των n λήψεων τα δυνατά αποτελέσματα ειναι $N^{n}$ . Ευνοϊκά αποτελέσματα είναι αυτά κατα τα οποία έχουμε $k$ λευκές μπάλες. Για τη λήψη μιας λευκής μπάλας έχουμε $K$ πιθανά αποτελέσματα και για την λήψη μιας μαύρης $N-K$ . Τα δυνατά αποτελέσματα στις n λήψεις οι $k$ να είναι λευκές για μια συγκεκριμένη σειρά, π.χ. να τραβήξουμε πρώτα όλες τις λευκές μπάλες και μετά τις μαύρες, είναι $K^{k}(N-K)^{n-k}$ . Όλες οι πιθανές διατάξεις $k$ λευκών και $n-k$ μαύρων μπαλών είναι $\scriptstyle {\binom {n}{k}}$ .

Συνολικά η ζητούμενη πιθανότητα, σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, είναι:

{\begin{aligned}\operatorname {P} (X=k)&={\binom {n}{k}}{\frac {K^{k}(N-K)^{n-k}}{N^{n}}}\\&={\binom {n}{k}}\left({\frac {K}{N}}\right)^{k}\left({\frac {N-K}{N}}\right)^{n-k}\\&={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.\end{aligned}}

Σχέσεις με άλλες κατανομές

Αν πραγματοποιήσουμε μόνο μια λήψη, τότε η τυχαία μεταβλητή που δηλώνει η μπάλα να είναι λευκή ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι. Στην γενική περίπτωση, αν $X_{1},\ldots ,X_{n}$ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με κατανομή $X_{i}\sim {\mathsf {Ber}}(p)$ τότε το άθροισμά τους ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ ακολουθεί την ${\mathsf {Bin}}(n,p)$ .

Αν η δειγματοληψία γίνει χωρίς επαναφορά, η τυχαία μεταβλητή που δηλώνει τον αριθμό των λευκών μπαλών ακολουθεί την υπεργεωμετρική κατανομή.

Μέση Τιμή

Η μέση τιμή μίας τυχαίας μεταβλητής $X\sim \mathrm {Bin} (n,p)$ δίνεται από τον τύπο

\operatorname {E} [X]=n\cdot p

.

Απόδειξη (με διωνυμικό θεώρημα)

Ξεκινάμε από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής

{\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\sum _{k=0}^{n}\operatorname {P} (X=k)\cdot k\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}\cdot k\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}\\&=n\cdot p\cdot \sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}\cdot p^{k-1}\cdot (1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=n\cdot p\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{(n-1)-k}\\&=n\cdot p\cdot (p+(1-p))^{n-1}\\&=n\cdot p,\end{aligned}}

χρησιμοποιώντας το διωνυμικό θεώρημα για $n-1$ όρους.

Απόδειξη (με γραμμικότητα αναμενόμενης τιμής)

Ένας πιο εύκολος τρόπος για να βρούμε την μέση τιμή είναι να γράψουμε το ${\textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ με $X_{i}\sim {\mathsf {Ber}}(p)$ . Τότε από την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι:

\operatorname {E} [X]=\operatorname {E} \left[\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} [X_{i}]=\sum _{i=1}^{n}p=n\cdot p,

χρησιμοποιώντας ότι η αναμενόμενη τιμή της κατανομής Μπερνούλλι με παράμετρο $p$ είναι $p$ .

Διακύμανση

Η διακύμανση μίας τυχαίας μεταβλητής $X\sim \mathrm {Bin} (n,p)$ δίνεται από τον τύπο

\operatorname {Var} [X]=n\cdot p\cdot (1-p)

.

Απόδειξη

Ξεκινάμε υπολογίζοντας την τιμή

{\begin{aligned}\operatorname {E} [X\cdot (X-1)]&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}\cdot k\cdot (k-1)\\&=\sum _{k=2}^{n}{\frac {n!}{(k-2)!(n-k)!}}p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}\\&=n\cdot (n-1)\cdot p^{2}\cdot \sum _{k=2}^{n}{\frac {(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}}p^{k-2}\cdot (1-p)^{(n-2)-(k-2)}\\&=n\cdot (n-1)\cdot p^{2}\cdot \sum _{k=0}^{n-2}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}\\&=n\cdot (n-1)\cdot p^{2}\cdot (p+1-p)^{n-2}\\&=n\cdot (n-1)\cdot p^{2},\end{aligned}}

χρησιμοποιώντας το διωνυμικό θεώρημα για $n-2$ όρους.

Από τον ορισμό της διακύμανσης και χρησιμοποιώντας ότι η μέση τιμή είναι $n\cdot p$ έχουμε ότι:

{\begin{aligned}\operatorname {Var} [X]&=\operatorname {E} [X\cdot (X-1)]+\operatorname {E} [X]-(\operatorname {E} [X])^{2}\\&=n\cdot (n-1)\cdot p^{2}+n\cdot p-n^{2}\cdot p^{2}\\&=n\cdot p\cdot (1-p).\end{aligned}}

Απόδειξη (με ταυτότητα Bienaymé)

Ξανά, ένας πιο εύκολος τρόπος για να βρούμε τη διακύμανση είναι να γράψουμε το ${\textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ , όπου $X_{i}$ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με $X_{i}\sim {\mathsf {Ber}}(p)$ . Τότε από την ταυτότητα Bienaymé για την διακύμανση του αθροίσματος έχουμε ότι:

{\begin{aligned}\operatorname {Var} [X]&=\operatorname {Var} \left[\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right]\\&=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} [X_{i}]\\&=\sum _{i=1}^{n}p\cdot (1-p)\\&=n\cdot p\cdot (1-p),\end{aligned}}

χρησιμοποιώντας ότι η διακύμανση της κατανομής Μπερνούλλι με παράμετρο $p$ είναι $p\cdot (1-p)$ .

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση

Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση δίνεται από τον τύπο

G_{X}(t)=(pt+1-p)^{n}

.

Απόδειξη (με διωνυμικό θεώρημα)

Από τον ορισμό της πιθανογεννήτριας συνάρτησης έχουμε ότι

{\begin{aligned}G_{X}(t)&=\operatorname {E} [t^{X}]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}\cdot t^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot (pt)^{k}\cdot (1-p)^{n-k}\\&=(pt+1-p)^{n},\end{aligned}}

χρησιμοποιώντας το διωνυμικό θεώρημα.

Απόδειξη (με άθροιμα κατανομών Μπερνούλλι)

Ο ίδιος τύπος προκύπτει και από την έκφραση του $X$ ως άθροισμα $n$ ανεξάρτητων κατανομών Μπερνούλλι $X_{i}\sim {\mathsf {Ber}}(p)$ . Από τον ορισμό της πιθανογεννήτριας συνάρτησης και χρησιμοποιώντας την ανεξαρτησία, λαμβάνουμε

{\begin{aligned}G_{X}(t)&=\operatorname {E} [t^{X}]\\&=\operatorname {E} [t^{X_{1}+\ldots +X_{n}}]\\&=\operatorname {E} [t^{X_{1}}]\cdot \ldots \cdot \operatorname {E} [t^{X_{n}}]\\&=(pt+1-p)^{n},\end{aligned}}

χρησιμοποιώντας ότι η πιαθνογεννήτρια συνάρτηση της κατανομής Μπερνούλλι είναι $G_{X_{i}}(t)=pt+1-p$ .

Χαρακτηριστική συνάρτηση

Η χαρακτηριστική συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

{\begin{aligned}\operatorname {E} [e^{tX}]=G_{X}(e^{t})=(pe^{t}+1-p)^{n}.\end{aligned}}

Ασυμπτωτική συμπεριφορά

Κανονική κατανομή

Για μεγάλο n η διωνυμική κατανομή συγκλίνει σύμφωνα με το θεώρημα de Moivre–Laplace στην κανονική κατανομή με μέση τιμή $np$ και διακύμανση $np(1-p)$

{\mathcal {N}}(np,\,np(1-p))

.

Κατανομή Poisson

Για $n\rightarrow \infty$ και $p\rightarrow 0$ έτσι ώστε $np$ σταθερό η διωνυμική κατανομή συγκλίνει στην κατανομή Poisson με παράμετρο $\lambda =np$ .

Απόδειξη

Έστω $X\sim {\mathsf {Bin}}(n,p)$ και $Y\sim {\mathsf {Po}}(\lambda )$ με $\lambda =np$ . Τότε, παίρνοντας το όριο για $n\to \infty$ , λαμβάνουμε

{\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\operatorname {P} (X=k)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\left({\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}\right)\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}\\&={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot \lim _{n\to \infty }\underbrace {\left({\frac {n}{n}}\cdot {\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-2}{n}}\cdots {\frac {n-k+1}{n}}\right)} _{\to 1}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to e^{-\lambda }}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&={\frac {\lambda ^{k}\mathrm {e} ^{-\lambda }}{k!}}\\&=\operatorname {P} (Y=y).\end{aligned}}

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Ζιούτας, Γεώργιος. «Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή» (PDF). Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023.
↑ Κουτρας, Μαρκος. «Πιαθνότητες Ι» (PDF). Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023.
↑ Πανάρετος, Ιωάννης. «Μερικές Ειδικές Διακριτές Κατανομές» (PDF). Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023.

[1] Ζιούτας, Γεώργιος. «Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή» (PDF). Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023.

[2] Κουτρας, Μαρκος. «Πιαθνότητες Ι» (PDF). Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023.

[3] Πανάρετος, Ιωάννης. «Μερικές Ειδικές Διακριτές Κατανομές» (PDF). Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023.

[1]

[2]

[3]