Χρήστης:Vouliskp10/Jerk (φυσική)

Στη φυσική, το jerk (τράνταγμα) είναι ο ρυθμός μεταβολής της επιτάχυνσης, δηλαδή η παράγωγος της επιτάχυνσης ως προς το χρόνο και συνεπώς η δεύτερη παράγωγος της ταχύτητας, ή η τρίτη παράγωγος της θέσης. Το τράνταγμα είναι ένα διανυσματικό μέγεθος και γενικά δεν υπάρχει κάποια ορολογία  που να χρησιμοποιείται για να περιγράψει το μέτρο του (για την ακρίβεια τη νόρμα του, π. χ. "ταχύτητα" (speed) ως η νόρμα του διανύσματος της ταχύτητας (velocity)). Σύμφωνα με το αποτέλεσμα της διαστατικής ανάλυσης κόπανος [μήκος/χρόνος³], οι μονάδες του SI είναι m/s³ (ή m·s^-3), ενώ μπορεί επίσης να εκφράζεται σε τυπική βαρύτητα ανά δευτερόλεπτο (g/s).

Expressions

Το jerk μπορεί να διατυπώνονται με έναν από τους ακόλουθους ισοδύναμους τρόπους:

${\vec {\jmath }}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {a}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {a}}}(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {v}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {\vec {v}}}(t)={\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}(t)}{\mathrm {d} t^{3}}}={\overset {...}{\vec {r}}}(t),$

όπου

${\vec {a}}$ η επιτάχυνση,

${\vec {v}}$ η ταχύτητα,

${\vec {r}}$ η θέση,

$t$ ο χρόνος.

Δεν υπάρχει καθολικώς αποδεκτός συμβολισμός για το τράνταγμα, αλλά συνήθως χρησιμοποιείται το ${\displaystyle }$ . Χρησιμοποιείται επίσης η σύμβαση του Νεύτωνα για τις χρονικές παραγώγους (${\displaystyle }$).

Την τέταρτη παράγωγο της θέσης, που ισοδυναμεί με την με την πρώτη παράγωγο του jerk, είναι το τίναγμα (jounce). 

Λόγω της ύπαρξης τρίτων παραγώγων, στα μαθηματικά οι διαφορικές εξισώσεις της μορφής

$J\left({\overset {...}{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0$

ονομάζονται εξισώσεις jerk. Έχει αποδειχθεί ότι μία τέτοια εξίσωση, η οποία είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα τριών συνήθων μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, είναι κατά μια έννοια η ελάχιστη ρύθμιση για λύσεις που δείχνουν χαοτική συμπεριφορά. Αυτό είναι κάτι που κινεί μαθηματικό ενδιαφέρον στα συστήματα jerk. Τα συστήματα που περιλαμβάνουν μία τέταρτη ή μεγαλύτερης τάξης παράγωγο, ονομάζονται αντίστοιχα συστήματα hyperjerk .

Φυσιολογικές επιδράσεις και ανθρώπινη αντίληψη

Η ομαλή κίνηση ενός ανθρώπινου σώματος καθώς επίσης και η κατάσταση ηρεμίας ενώ βρίσκεται σε εγρήγορση, επιτυγχάνεται με την εξισορρόπηση των δυνάμεων πολλών ανταγωνιστικών μυών οι οποίοι ελέγχονται σε νευρωνικές οδούς του εγκεφάλου (για κατευθυνόμενη κίνηση) ή μερικές φορές κατά μήκος αντανακλαστικών τόξων. Για την εξισορρόπηση κάποιας δεδομένης δύναμης (π.χ. κράτημα ή τράβηγμα ενός βάρους) η μετακεντρική έλικα δημιουργεί ένα κύκλωμα ελέγχου για αυτή την ισορροπία, ρυθμίζοντας την ένταση των μυών σύμφωνα με τη θέση που ανιχνεύει ο ενεργοποιητής. Αν το φορτίο αλλάζει πιο γρήγορα από την κατάλληλη προσαρμοστική απόκριση που παρέχει το κύκλωμα ελέγχου, η ισορροπία δεν μπορεί να διατηρηθεί. Και αυτό διότι οι τεντωμένοι μύες δεν μπορούν να χαλαρώσουν ή να ανεβάσουν ένταση αρκετά γρήγορα και να αλλάξουν κατεύθυνση, μέχρι ο νευρωνικός βρόχος ελέγχου να καταφέρει να πάρει ξανά τον έλεγχο. Φυσικά, ο χρόνος αντίδρασης είναι περιορισμένος κάτω από τα φυσιολογικά όρια και εξαρτάται επίσης από το επίπεδο προσοχής του εγκεφάλου: μια αναμενόμενη αλλαγή θα σταθεροποιηθεί γρηγορότερα από μια ξαφνική πτώση ή αύξηση του φορτίου.

Οι επιβάτες στις μεταφορές, οι οποίοι χρειάζονται αυτό το χρόνο για να προσαρμοστούν στις αλλαγές καταπόνησης και να ρυθμίσουν την ένταση των μυών, αλλιώς υποφέρουν από καταστάσεις όπως αυχενικός τραυματισμός, μπορούν με ασφάλεια να υποβληθούν και σε μία μικρότερη από τη μέγιστη επιτάχυνση και σε ένα μικρότερο από το μέγιστο τράνταγμα, έτσι ώστε να έτσι ώστε να αποφευχθεί η απώλεια ελέγχου στην κίνηση που θα έθετε σε κίνδυνο τη σωματική τους ακεραιότητα. Ακόμη και όταν η επιβατική ασφάλεια δεν είναι ένα ζήτημα, υπερβολικό τράνταγμα μπορεί να οδηγήσει σε μια δυσάρεστη μετακίνηση με ασανσέρ, τραμ και τα συναφή, έτσι οι μηχανικοί έχουν κάνει σημαντική προσπάθεια στο σχεδιασμό ώστε να ελαχιστοποιηθεί η "σπασμωδική κίνηση".

Δεδομένου ότι οι δυνάμεις αλλάζουν χρονικά κατά ένα κατάλληλο ποσοστό (δηλαδή, κατάλληλο τράνταγμα) είναι η αιτία δονήσεων και οι δονήσεις επηρεάζουν σημαντικά την ποιότητα της μεταφοράς, συνεπώς υπάρχει καλός λόγος για να απλά να ελαχιστοποιηθεί το jerk στα οχήματα μεταφοράς.

Ως ένα καθημερινό παράδειγμα, η οδήγηση σε ένα αυτοκίνητο μπορεί να δείξει αποτελέσματα της επιτάχυνσης και του jerk. Οι πιο έμπειροι οδηγοί επιταχύνουν ομαλά, αλλά οι αρχάριοι οδηγούν σπασμωδικά (jerky).

• Η αλλαγή ταχυτήτων, ειδικά με συμπλέκτη και με το πόδι, δίνει γνωστά παραδείγματα: αν και η επιτάχυνση δύναμη οριοθετείται από την ισχύ του κινητήρα, ένας άπειρος οδηγός σας επιτρέπει να αντιμετωπίσετε αισθητό τράνταγμα, εξαιτίας της διαλείπουσας δύναμης πάνω από τον συμπλέκτη.
• Σπορ αυτοκίνητα υψηλής ισχύος προσφέρουν την αίσθηση της πίεσης στο κάθισμα, αλλά αυτή είναι η δύναμη της επιτάχυνσης. Μόνο κατά τις πρώτες στιγμές, όταν η ροπή του κινητήρα αυξάνεται με την ταχύτητα περιστροφής, η επιτάχυνση αυξάνεται εντυπωσιακά και ένα μικρό αυχενικό τράνταγμα είναι αισθητό, που επί το πλείστον καλύπτονται από το jerk της αλλαγής ταχυτήτων
• Το ξεκίνημα μίας πέδησης έκτακτης ανάγκης κάνε στο σώμα να τινάζεται γρηγορότερα από ότι η τιμή της επιτάχυνσης θα προκαλούσε από μόνη της, ενώ μια σύγκρουση το κάνει σε ακόμα μεγαλύτερο βαθμό. Όμως οι ποσοτικές δοκιμές σε ζώντες ανθρώπους (ακόμα και σε ορισμένα ζώα) δημιουργούν ηθικά ζητήματα, με αποτέλεσμα να πρέπει να αντικατασταθούν με πτώματα ή ανδρείκελα, τα οποία φυσικά, δεν παρουσιάζουν τις φυσιολογικές αντιδράσεις στο τράνταγμα που προκαλούνται από τον ενεργό βρόχο ελέγχου που περιγράφηκε παραπάνω.
• Ένα εύκολα αναπαράξιμο πείραμα για να επιδειχτεί το jerk, είναι το εξής: Φρενάρετε ένα αυτοκίνητο που αρχίζει σε μέτρια ταχύτητα με δύο διαφορετικούς τρόπους: 
  
  1. Εφαρμόστε σταθερή, μέτρια δύναμη στο πεντάλ, μέχρι το αυτοκίνητο να έρθει σε μια στάση, και μόνο τότε αφήστε το πεντάλ.
  2. Ισχύουν τα ίδια, αρχικά σταθερή μέτρια δύναμη στο πεντάλ, αλλά λίγο πριν το σταμάτημα μειώστε τη δύναμη και ιδανικά απελευθερώστε το πεντάλ πλήρως, ακριβώς τη στιγμή που το αυτοκίνητο σταματά.

Ο λόγος για το μακράν μεγαλύτερο jerk στον πρώτο τρόπο φρεναρίσματος, είναι μια ασυνέχεια της επιτάχυνσης, η οποία βρίσκεται αρχικά σε μια σταθερή τιμή λόγω της σταθερής δύναμης στο πεντάλ, αλλά μηδενίζεται αμέσως όταν οι τροχοί σταματήσουν να περιστρέφονται. Σημειωτέον ότι δεν θα υπάρχει καθόλου jerk αν το αυτοκίνητο ξεκινήσει να κινείται προς τα πίσω με την ίδια επιτάχυνση. Κάθε έμπειρος οδηγός ξέρει πώς να ξεκινήσει και πώς να σταματήσει το φρενάρισμα με χαμηλό jerk.

Δυνάμεις και αντίστοιχες παράγωγοι

Θέση ${\displaystyle }$, μηδενική παράγωγος

Η πιο εξέχουσα δύναμη ${\displaystyle }$ σχετικά με τη θέση ενός σώματος, τη συσχετίζει μέσω του νόμου του Hooke με τη δυσκαμψία (δυστένεια) ${\displaystyle }$ ενός ελατηρίου:

${\displaystyle }$

Αυτή είναι μια δύναμη που αντιτίθεται στην αύξηση των μετατοπίσεων.

Ταχύτητα ${\displaystyle }$, το μέτρο της πρώτης παραγώγου

Ένα σωματίδιο που κινείται σε ένα ιξώδες υγρό υπόκειται μια δύναμη αντίστασης ${\displaystyle }$ η οποία ανάλογα με τον αριθμό Reynolds και την επιφάνειά του, κυμαίνεται από το να είναι ανάλογη με ${\displaystyle }$ μέχρι το να είναι ανάλογη με ${\displaystyle }$ σύμφωνα με την εξίσωση αντίστασης:

${\displaystyle }$

όπου 

Expressions

Ο συντελεστής τριβής εξαρτάται από το εξελικτικό σχήμα του αντικειμένου και του αριθμού Reynolds, η οποία εξαρτάται από την ταχύτητα.

Η επιτάχυνση α, του μεγέθους της δεύτερης παραγώγου

Η επιτάχυνση ${\displaystyle }$ είναι σύμφωνα με το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα

${\displaystyle }$

δεσμευμένη σε μια δύναμη ${\displaystyle }$ αναλογικά με  τη μάζα ${\displaystyle }$.

$J\left({\overset {...}{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0$

Στην κλασική μηχανική στερεού σώματος δεν υπάρχουν δυνάμεις που να συνδέονται με τις υψηλότερες παραγώγους της μετακίνησης. Ωστόσο, όχι μόνο οι φυσιολογικές επιδράσεις του jerk, αλλά επίσης ταλαντώσεις και διαδόσεις παραμορφώσεων σε μη-ιδανικά στερεά σώματα, απαιτούν διάφορες τεχνικές για τον έλεγχο κινήσεων ώστε να αποφευχθούν οι προκύπτουσες καταστροφικές δυνάμεις.Συχνά αναφέρεται ότι η NASA στο σχεδιασμό του Διαστημικού Τηλεσκοπίου Hubble δεν περιόρισε μόνο το jerk στην προδιαγραμμένη απαίτηση, αλλά επίσης την επόμενη υψηλότερη παράγωγο, το jounce.

Για μια δύναμη ανάκρουσης η οποία ασκείται σε επιταχυνόμενα φορτισμένα σωματίδια που εκπέμπουν ακτινοβολία, η οποία είναι ανάλογη με το jerk και το τετράγωνο του φορτίου, δείτε σχετικά με τη δύναμη Abraham–Lorentz. Μια πιο προηγμένη θεωρία, που εφαρμόζεται σε σχετικιστικό και κβαντικό περιβάλλον, λαμβάνοντας υπόψη την αυτο-ενέργεια, παρέχεται στη  θεωρία απορρόφησης Wheeler–Feynman.

Σε μια εξιδανικευμένη ρύθμιση

Σε πραγματικές συνθήκες, εξαιτίας της παραμόρφωσης, της κοκκώδους υφής, τουλάχιστον στην κλίμακα Planck (δηλαδή κβαντικά φαινόμενα) και για άλλους λόγους, δεν εμφανίζονται ασυνέχειες στην επιτάχυνση. Ωστόσο, συχνά χρησιμοποιούνται εξιδανικευμένες καταστάσεις (άκαμπτα σώματα, ομαλές αναπαραστάσεις των διαδρομών, απουσία τριβής, κλπ.) που εφαρμόζονται σε ένα επίσης εξιδανικευμένο σημείο μάζας που κινείται κατά μήκος μιας τμηματικά ομαλής και συνεχούς ως σύνολο διαδρομής, αρκεί για το φαινόμενο του άλματος-ασυνέχειας στην επιτάχυνση στα σημεία όπου η διαδρομή δεν είναι ομαλή και αντίστοιχα, για ένα απεριόριστο jerk σε αυτό το απλοποιημένο μοντέλο της κλασικής μηχανικής (δείτε δύο παραδείγματα παρακάτω). Από τις εξιδανικευμένες ρυθμίσεις, συνάγεται ότι η επίδραση του jerk σε πραγματικές καταστάσεις μπορεί να περιγραφεί ποιοτικά, να εξηγηθεί και να προβλεφθεί.

Το άλμα-ασυνέχεια στην επιτάχυνση μπορεί να μοντελοποιηθεί με μια συνάρτηση δέλτα του Dirac για το jerk, που κλιμακώνεται ανάλογα με το ύψος αυτού του άλματος. Η ολοκλήρωση του jerk ως προς τον χρόνο, γενικά δίνει την αντίστοιχη επιτάχυνση. Έτσι μια τέτοια συνάρτηση δέλτα του Dirac, αναπαριστά ακριβώς το άλμα ασυνέχειας στην επιτάχυνση που αντιστοιχεί στο jerk.

Θεωρούμε μια διαδρομή κατά μήκος ενός κυκλικού τόξου ακτίνας ${\displaystyle }$εφαπτομενικά συνδέεται με μια ευθεία γραμμή. Όλη η διαδρομή είναι συνεχής και τμηματικά ομαλή. Τώρα θεωρούμε ένα υλικό σημείο που κινείται με σταθερή ταχύτητα κατά μήκος αυτής της διαδρομής, έτσι ώστε η εφαπτομενική επιτάχυνση είναι μηδέν, και εξετάζουμε την επιτάχυνση κάθετα στη διαδρομή: είναι μηδέν κατά μήκος του ευθύγραμμου τμήματος και ${\displaystyle }$ κατά μήκος του κύκλου (κεντρομόλος επιτάχυνση). Αυτό δίνει ένα άλμα-ασυνέχεια του μεγέθους της επιτάχυνσης κατά ${\displaystyle }$και το σωματίδιο υφίσταται jerk που ποσοτικοποιείται από τη συνάρτηση δέλτα του Dirac αναλογικά με αυτήν την τιμή, για καθαρά γεωμετρικά λόγους, όταν περνά τη σύνδεση των κομματιών. Δείτε παρακάτω για μια πιο συγκεκριμένη εφαρμογή.

Αν θεωρήσουμε ένα εξιδανικευμένο ελατήριο και επίσης εξιδανικευμένη δύναμη τριβής, ανάλογη με την κάθετη αντίδραση και αντίθετες στην ταχύτητα, υπάρχει άλλο ένα παράδειγμα ασυνεχούς επιτάχυνσης. Επίσης συνδέεται μία μάζα στο ελατήριο και ταλαντώνονται σε μια επίπεδη, ιδεατή επιφάνεια με τριβή. Κάθε φορά που η ταχύτητα αλλάζει πρόσημο (στα μέγιστα των μετατοπίσεων), το μέγεθος της δύναμης πάνω στη μάζα, το οποίο είναι το διανυσματικό άθροισμα της δύναμης ελατηρίου και της δύναμης τριβής, αλλάζει κατά δύο φορές το μέγεθος της δύναμης τριβής, εφόσον η δύναμη του ελατηρίου είναι συνεχής και η δύναμη τριβής αντιστρέφει την κατεύθυνσή της, όταν αντιστρέφεται η ταχύτητα. Επομένως, η επιτάχυνση κάνει άλμα κατά αυτή την ποσότητα διαιρεμένη με τη μάζα. Δηλαδή, η μάζα υπόκειται σε ασυνεχή επιτάχυνση και το jerk περιέχει δέλτα του Dirac, κάθε φορά που η μάζα περνάει από τις (μειούμενες) μέγιστες μετατοπίσεις μέχρι να σταματήσει, επειδή η στατική δύναμη τριβής προσαρμόζεται στην εναπομένουσα δύναμη ελατηρίου, για τη διατήρηση ισορροπίας με μηδενική συνισταμένη δύναμη και μηδενική ταχύτητα.

Το παράδειγμα με το αυτοκίνητο εξαρτάται από τον τρόπο που τα φρένα λειτουργούν σε ένα περιστρεφόμενο τύμπανο ή σε ένα δίσκο. Όσο ο δίσκος περιστρέφεται τα μαξιλάρια φρένων (τακάκια) ενεργούν για να επιβραδύνουν το όχημα μέσω των κινητικών δυνάμεων τριβής που δημιουργούν μια σταθερή ροπή πεδήσεως στο δίσκο. Αυτό μειώνει την περιστροφή γραμμικά με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση μέχρι να μηδενιστεί, αλλά όταν η περιστροφή φτάνει ακριβώς μηδέν, η μέχρι πρότινος σταθερή δύναμη τριβής ξαφνικά πέφτει στο μηδέν, όπως και η ροπή και η αντίστοιχη επιτάχυνση του αυτοκινήτου. Αυτό βέβαια, αγνοεί όλα τις επιδράσεις ολίσθησης των ροδών, τη βύθιση της ανάρτησης, την πραγματική παραμόρφωση όλων των ιδανικά άκαμπτων μηχανισμών, κλπ. Μια ξαφνική πτώση στην επιτάχυνση αντιστοιχεί σε δέλτα του Dirac στο φυσικό jerk, το οποίο όμως εξομαλύνεται από το πραγματικό περιβάλλον. Οι αθροιστικές επιδράσεις του τελευταίου στο φυσιολογικά αντιληπτό jerk, είναι ανάλογες με την απόσβεση.

Ένα άλλο παράδειγμα σημαντικού jerk, ανάλογο με την πρώτη ρύθμιση, δίνεται κόβοντας το σκοινί στο ενώ ένα υλικό σημείο περιστρέφεται γύρω από ένα κέντρο. Όταν το σχοινί κόβεται, η κυκλική διαδρομή με μη μηδενική κεντρομόλο επιτάχυνση αλλάζει απότομα σε μια ευθεία πορεία, με ξαφνικά χωρίς δύναμη προς την κατεύθυνση του πρώην κέντρου. Φανταστείτε μία μονομοριακή ίνα που κόβεται από λέιζερ και φτάνετε σε πολύ υψηλά ποσοστά jerk, λόγω του εξαιρετικά σύντομος χρόνος κοπής.

Στην περιστροφή

Το animation δείχνει έναν εξωτερικό μηχανισμό Geneva τεσσάρων θέσεων σε λειτουργία 

Δυνάμεις και αντίστοιχες παράγωγοι

Σκεφτείτε την περιστροφική κίνηση ενός στερεού σώματος γύρω από ένα σταθερό άξονα σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Ο προσανατολισμός του στερεού μπορεί να εκφραστεί από μια γωνία ${\displaystyle }$η γωνιακή θέση, από την οποία μπορεί κανείς να εκφράσει:

η γωνιακή ταχύτητα ${\displaystyle }$ ως η χρονική παράγωγος της ${\displaystyle }$

η γωνιακή επιτάχυνση ${\displaystyle }$ ως η χρονική παράγωγος της ${\displaystyle }$.

Η παραγώγιση της ${\displaystyle }$ ως προς το χρόνο, ορίζει το γωνιακό jerk ${\displaystyle }$:

${\displaystyle }$ .

Η γωνιακή επιτάχυνση που αντιστοιχεί στο πηλίκο της ροπής που επιδρά στο σώμα και της ροπή αδράνειας του σώματος όσον αφορά το στιγμιαίο άξονα περιστροφής. Μια απότομη αλλαγή της ροπής καταλήγει σε ένα σημαντικό γωνιακό jerk.

Στη γενική περίπτωση ένός στερεού σώματος που κινείται στο χώρο μπορεί να μοντελοποιηθεί από έναν κινητικό κοχλία, που καθορίζει σε κάθε στιγμή ένα (αξονικό) διάνυσμα, τη γωνιακή ταχύτητα ${\displaystyle }$ και ένα (πολικό) διάνυσμα, η γραμμική ταχύτητα ${\displaystyle }$. Από αυτά η γωνιακή επιτάχυνση ορίζεται ως

${\displaystyle }$

και έτσι το γωνιακό jerk

${\displaystyle }$ .

Σκεφτείτε για παράδειγμα ένα δίσκο Geneva, ένα μηχανισμό για τη δημιουργία διακοπτόμενης περιστροφής ενός οδηγούμενου τροχού (μπλε) από τη συνεχή περιστροφή άλλου οδηγού τροχού (κόκκινο). Σε έναν κύκλο του οδηγού τροχού, υπάρχει μια μεταβολή στη γωνιακή θέση ${\displaystyle }$ του οδηγούμενου τροχού κατά ένα τέταρτο του κύκλου και μια σταθερή γωνιακή θέση στο υπόλοιπο του κύκλου.

Εξαιτίας του αναγκαίου πεπερασμένου πάχους του "πιρουνιού" που απαρτίζει την υποδοχή για την "καρφίτσα" του οδηγού αυτή η συσκευή δημιουργεί μια ασυνέχεια στη γωνιακή επιτάχυνση ${\displaystyle }$και επομένως, ένα απεριόριστο γωνιακό jerk ${\displaystyle }$ στον οδηγούμενο τροχό.

Αυτό δεν αποκλείει το μηχανισμό να χρησιμοποιείται, πχ. σε προβολείς ταινίας για σταδιακή μεταφορά της ταινίας με υψηλή αξιοπιστία (πολύ μεγάλη διάρκεια ζωής) και ελαφρό θόρυβο, δεδομένου ότι το φορτίο είναι πολύ χαμηλό. Συγκεκριμένα, το σύστημα οδηγεί μόνο αυτό το κομμάτι του φιλμ που βρίσκεται εντός του διαδρόμου της προβολής, έτσι ώστε να επηρεάζεται μια πολύ μικρή μάζα (πλαστικό φιλμ μερικών εκατοστών πάχους), με χαμηλή τριβή και σε μέτρια ταχύτητα (2.4 m/s, 8.6 km/h).

Για να αποφευχθεί το εγγενές jerk σε μια συσκευή μονού άξονα (single cam), μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια αντίστοιχη διπλού άξονα (double cam) που είναι πιο ογκώδης και πιο ακριβή, αλλά και πιο ήσυχη επίσης. Αυτή λειτουργεί με δύο άξονες, έναν άξονα σε συνεχή περιστροφή και έναν άλλο που μετακινείται κατά ένα κλάσμα της πλήρους περιστροφής. Οι φωτογραφίες δείχνουν μια βηματική διαδρομή κατά μία έκτη και μία τρίτη περιστροφή, αντίστοιχα, ανά πλήρη περιστροφή του οδηγού άξονα. Σημειώστε ότι δύο από τους βραχίονες του βηματικού τροχού είναι πάντα σε επαφή με το διπλό άξονα, έτσι δεν υπάρχει κανένα ακτινικό διάκενο. Για τη λεπτομερής λειτουργία συσκευών διπλού άξονα, καλό θα είναι να ρίξετε μια ματιά στις μεγεθυμένες φωτογραφίες.

Γενικά, συνδυασμένες επαφές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αποφεύγεται το jerk (και επίσης τη φθορά και το θόρυβο) σχετικά με ένα ενιαίο "ακόλουθο", πχ., γλιστρώντας κατά μήκος μιας υποδοχής και έτσι αλλάζοντας το σημείο επαφής από τη μία πλευρά της υποδοχής στην άλλη, χρησιμοποιώντας δύο "ακόλουθους" που πάντα γλιστρούν κατά μήκος το ίδιο, στη μία πλευρά ο καθένας.

Σε ελαστικά παραμορφώσιμο υλικό

Δύναμη/επιτάχυνση που ενεργεί σε ελαστικά παραμορφώσιμη μάζα θα επηρεάσει την παραμόρφωση η οποία εξαρτάται από τη δυσκαμψία και την επιτάχυνση που εφαρμόζεται. Αν η αλλαγή της δύναμης αυτής είναι αργή, το jerk είναι μικρό, και η διάδοση της παραμόρφωσης μέσα από το σώμα μπορεί να θεωρηθεί ακαριαία σε σύγκριση με την αλλαγή στην επιτάχυνση. Το παραμορφωμένο σώμα ενεργεί σαν να ήταν σε μια οιονεί-στατική κατάσταση. Αυτό είναι το κοινό στοιχείο που μόνο μια μεταβαλλόμενη δύναμη, δηλαδή με μη-μηδενικό jerk, μπορεί να προκαλέσει μηχανικά (ή σε ένα φορτισμένο σωματίδιο: ηλεκτρομαγνητική) κύματα που εξαπλώνονται. Έτσι, για μη μηδενικό μέχρι υψηλό jerk, θεωρούμε ένα ωστικό κύμα και τη διάδοσή του μέσω του σώματος. Η αριστερή εικόνα δείχνει την διάδοση της παραμόρφωσης ως ένα συμπιεστικό, επίπεδο κύμα μέσα σε ένα ελαστικά παραμορφώσιμο υλικό. Για γωνιακό jerk, τα κύματα παραμόρφωσης διαδίδονται  κυκλικά και προκαλούν διατμητικές τάσεις, όπως φαίνεται στην εικόνα στα δεξιά, το οποίο μπορεί επίσης να διεγείρει άλλες μορφές δόνησης. Ως συνήθως με τα κύματα, πρέπει να εξεταστούν οι ανακλάσεις τους σε όλα τα όρια και τις μοτίβα συμβολής που προκύπτουν (είτε καταστρεπτική είτε ενισχυτική συμβολή), η οποία μπορεί να οδηγήσει σε υπέρβαση των ορίων δομικής ακεραιότητας. Ως μια πρόχειρη εκτίμηση, τα κύματα παραμόρφωσης οδηγούν σε δονήσεις ολόκληρης της συσκευής και γενικά, οι δονήσεις προκαλούν θόρυβο, φθορά και ειδικά σε περιπτώσεις συντονισμού, ακόμα και θραύση.

Ιστός με συγκεντρωμένη μάζα στην κορυφή

Η εικόνα στα αριστερά δείχνει μια συγκεντρωμένη μάζα στην κορυφή που κάμπτει τον ελαστικό ιστό με το οποίο είναι συνδεδεμένη, προς τα αριστερά, όταν το μπλοκ στη βάση επιταχύνεται προς τα δεξιά. Όταν το μπλοκ σταματά να επιταχύνει, η κορυφή του ιστού θα ξεκινήσει μία ταλάντωση (με απόσβεση) κάτω από την επίδραση της δυσκαμψίας του ιστού. Αυτό θα μπορούσε να εξηγήσει, πως ένα μεγαλύτερο (περιοδικό) jerk μπορεί να διεγείρει ένα μεγαλύτερο εύρος ταλαντώσεων, επειδή οι όποιες μικρές ταλαντώσεις αποσβένονται πριν βγουν ενισχυμένες από άλλο ένα ωστικό κύμα.

Μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι μια πιο απότομη κλίση της επιτάχυνσης, δηλαδή μεγαλύτερο jerk, διεγείρει ισχυρότερες συνιστώσες του ωστικού κύματος με υψηλότερες συχνότητες, που ανήκουν σε υψηλότερους συντελεστές Fourier, και έτσι μια αυξημένη πιθανότητα διέγερσης συντονισμού. 

Ως γενικός κανόνας, για τη μείωση του εύρους των τασικών κυμάτων που προκαλούν δονήσεις, οποιαδήποτε κίνηση μαζώνπρέπει να διαμορφώνεται με τον περιορισμό του jerk, δηλαδή κρατώντας την επιτάχυνση συνεχή και τις κλίσεις της όσο το δυνατόν πιο επίπεδες. Δεδομένου ότι πλέον οι περιγραφόμενες επιδράσεις σχεδόν δεν επιδέχονται αφηρημένα μοντέλα, οι διάφοροι προτεινόμενοι αλγόριθμοι για τη μείωση των δονήσεων περιλαμβάνουν ακόμη υψηλότερες παραγώγους, όπως το jounce, ή προτείνουν συνεχή καθεστώς, όχι μόνο για την επιτάχυνση αλλά και για το jerk. Μια ιδέα είναι πχ. η διαμόρφωση ημιτονοειδούς επιτάχυνσης και επιβράδυνσης με μηδενική επιτάχυνση στο ενδιάμεσο (δείτε το προφίλ στα δεξιά), κάνοντας την ταχύτητα να δείχνει ημιτονοειδής με σταθερή μέγιστη ταχύτητα επίσης. Το jerk όμως θα παραμείνει ασυνεχές στα σημεία όπου η επιτάχυνση εισέρχεται και εξέρχεται από τις μηδενικές-φάσεις.

Στο γεωμετρικό σχεδιασμό οδών και σιδηροδρομικών γραμμών 

Καμπύλη ανέσεως

Οι αρχές της γεωμετρικής σχεδίασης ισχύουν για ένα jerk προσανατολισμένο κάθετα στη διαδρομή της κίνησης, λαμβάνοντας υπόψη την κεντρομόλο επιτάχυνση, ενώ η ταχύτητα κατά μήκος της διαδρομής αναμένεται να είναι σταθερή, και έτσι το εφαπτομενική jerk είναι μηδέν. Οποιαδήποτε αλλαγή στην καμπυλότητα της διαδρομής συνεπάγεται μη-μηδένικό jerk, που προκύπτει από καθαρά γεωμετρική λόγους. Για να αποφευχθεί το απεριόριστο (κεντρομόλο) jerk, κατά την κίνηση από μια ευθεία διαδρομή σε μια καμπύλη ή αντίστροφα, κατασκευάζονται καμπύλες μετάβασης, οι οποίες περιορίζουν το jerk με βαθμιαία αύξηση της κεντρομόλου επιτάχυνσης, δηλαδή την καμπυλότητα, στην τιμή που αντιστοιχεί στην ακτίνα του κύκλου και την ταχύτητα μελέτης. Το θεωρητικό βέλτιστο επιτυγχάνεται με μια σπείρα  Euler, η οποία αυξάνει γραμμικά την επιτάχυνση, δηλ. το ελάχιστο σταθερό jerk. Ως κανόνας σιδηροδρομικού σχεδιασμού, συνιστάται μια μέγιστη τιμή 0.5 m/s³ και για σκοπούς ανέσεως μια τιμή 0.35 m/s³. Η εικόνα δείχνει ένα κομμάτι από ένα σπειροειδές του Euler, το οποίο οδηγεί ως καμπύλη μετάβασης από μια ευθεία γραμμή σε ένα τόξο κύκλου. Σε πραγματικές συνθήκες, το επίπεδο της σιδηροδρομικής γραμμής είναι κεκλιμένο κατά το τμήμα της καμπύλης και έτσι πρέπει να λαμβάνεται υπόψη και αυτή η κάθετη επιτάχυνση της ανύψωσης του κέντρου μάζας του βαγονιού, για την ελαχιστοποίηση της φθοράς στο επίχωμα και τις γραμμές. Ακολουθείται μια ελαφρώς διαφορετική καμπύλη, που έχει κατοχυρωθεί ως το Wiener Kurve (Βιεννέζικη Καμπύλη).

Τα ρόλερ κόστερ είναι φυσικά επίσης υποκείμενα σε αυτά τα ζητήματα σχεδιασμού όταν διέρχονται μέσα από έναν κυκλικό βρόχο. Οι τιμές της επιτάχυνσης φτάνουν έως και 4g σε αυτό το περιβάλλον και δε θα ήταν δυνατόν να κινούνται σε βρόχους χωρίς μεταβατικά τμήματα, καθώς επίσης κανείς δεν μπορεί να κινηθεί ομαλά κατά μήκος ενός σχήματος 8 που αποτελείται από κύκλους. Κάθε καμπύλη σχήματος S πρέπει να περιέχει κάποια μετάβαση μείωσης jerk.

Σε έλεγχο κίνησης

Στον έλεγχο κίνησης, το ενδιαφέρον εστιάζεται στην ευθεία γραμμική κίνηση, όπου υπάρχει η ανάγκη να μετακινηθεί ένα σύστημα από μια σταθερή θέση σε μια άλλη (point-to-point κίνηση). Έτσι ουσιαστικά, το jerk που προκύπτει από την εφαπτομενική επιτάχυνση είναι υπό έλεγχο. Εξέχουσες εφαρμογές είναι οι ανελκυστήρες στη μεταφορά ανθρώπων και η υποστήριξη οργάνων σε μηχανήματα. Έχει αναφερθεί ότι οι περισσότεροι επιβάτες αξιολογούν ένα κατακόρυφο jerk, 2.0 m/s³ σε ένα ασανσέρ ως αποδεκτό, 6.0 m/s³ ως απαράδεκτο και για ένα νοσοκομειακό περιβάλλον προτείνεται 0.7 m/s³ . Σε κάθε περίπτωση, ο περιορισμός του jerk θεωρείται απαραίτητος για την ευκολία μετακίνησης. Ο ISO 18 738 καθορίζει πώς μπορεί να μετρηθεί η ποιότητα κύλισης του ασανσέρ, με σημείο αναφοράς το jerk, την επιτάχυνση, τις δονήσεις και το θόρυβο, αλλά δεν μπαίνει στη διαδικασία να προσδιορίσει ποια είναι τα διαφορετικά επίπεδα της ποιότητας κύλισης των ανελκυστήρων.

Η επίτευξη του συντομότερου δυνατού χρόνο μετάβασης και χωρίς να υπερβαίνονται τα δεδομένα όρια μεγέθους για την ταχύτητα, την επιτάχυνση και jerk, θα οδηγήσει σε ένα προφίλ κίνησης τρίτης τάξης, με τετραγωνικές φάσεις αύξησης και μείωσης της ταχύτητας, όπως φαίνεται παρακάτω:

Αυτή η εικόνα δείχνει ένα σχηματικό διάγραμμα της μαλάκας, την επιτάχυνση και την ταχύτητα, υποθέτοντας ότι και οι τρεις είναι περιορισμένο σε μέγεθος, όταν γραμμικά από το ένα σημείο στο άλλο, το οποίο είναι αρκετά μακριά για να φτάσουν τις αντίστοιχες maxima.

Αυτή η κίνηση προφίλ αποτελείται από επτά τμήματα που ορίζονται ακολούθως:

1. αύξηση επιτάχυνσης: περιορισμός jerk συνεπάγεται γραμμική αύξηση της επιτάχυνσης στην όριακή επιτάχυνση και τετραγωνική αύξηση της ταχύτητας
2. οριακή επιτάχυνση: υποδηλώνει μηδέν jerk και γραμμική αύξηση της ταχύτητας
3. μείωση επιτάχυνσης: πλησιάζει το επιθυμητό όριο ταχύτητας, με αρνητικό όριακό jerk, δηλαδή γραμμική μείωση της επιτάχυνσης, (αρνητικό) τετραγωνική αύξηση της ταχύτητας
4. όριο ταχύτητας: υποδηλώνει μηδέν βλάκας και μηδενική επιτάχυνση
5. επιβράδυνση build-up: τον περιορισμό των αρνητικών μαλάκας συνεπάγεται γραμμική μείωση της επιτάχυνσης να το αρνητικό όριο επιτάχυνσης, (αρνητική) δευτεροβάθμια μείωση της ταχύτητας
6. οριακή επιβράδυνση: υποδηλώνει μηδέν jerk και γραμμική μείωση της ταχύτητας
7. μείωση επιβράδυνσης: όριακό jerk συνεπάγεται γραμμική αύξηση της επιτάχυνσης στο μηδέν, δευτεροβάθμια μείωση της ταχύτητας, πλησιάζοντας την επιθυμητή θέση και σε μηδενική ταχύτητα και μηδενική επιτάχυνση

Ο χρόνος που αντιστοιχεί στο τμήμα 4, σχετικά με σταθερή ταχύτητα, μπορεί να μεταβάλλεται ώστε να ταιριάζει με την απόσταση μεταξύ των δύο θέσεων. Εάν οι αρχικές και τελικές θέσεις είναι τόσο κοντά που μια πλήρη παράλειψη του τμήματος 4. δεν επαρκεί, τα τμήματα 2. και 6. με σταθερή επιτάχυνση μειώνονται εξίσου και το όριο ταχύτητας δεν θα πρέπει να παραβιαστεί σε αυτή την παραλλαγή του προφίλ. Αν επίσης, αυτό δεν μειώνει τη διανυόμενη απόσταση επαρκώς, σε ένα επόμενο βήμα τα τμήματα 1., 3., 5. και 7. μειώνονται κατά ένα ίσο ποσό και το όριο της επιτάχυνσης δεν παραβιάζεται, επίσης.

Υπάρχουν επίσης και άλλες στρατηγικές για το σχεδιασμό ενός προφίλ κίνησης, π. χ. ελαχιστοποίηση του τετραγώνου του jerk για ένα δεδομένο χρόνο μετάβασης, που επιλέγονται σύμφωνα με τις ποικίλες εφαρμογές σε μηχανήματα, σε ανθρώπους που μετακινούνται, σε αλυσίδα βαρούλκου, στην αυτοκινητοβιομηχανία, στο σχεδιασμό ρομπότ και πολλά άλλα. Για ένα προφίλ επιτάχυνσης με ημιτονοειδές σχήμα, με ημιτονοειδές σχήμα της ταχύτητας και οριοθετημένο jerk επίσης, βλ. παραπάνω.

Στη βιομηχανία

To jerk είναι επίσης σημαντικό να εξετάζεται σε κατασκευαστικές διεργασίες. Οι ραγδαίες αλλαγές στην επιτάχυνση ενός εργαλείου κοπής μπορεί να οδηγήσει σε πρόωρη φθορά του εργαλείου και να οδηγήσει σε άνισες περικοπές. Αυτό εξηγεί γιατί οι σύγχρονοι ελεγκτές κίνησης περιλαμβάνουν χαρακτηριστικά περιορισμού του jerk. Στη μηχανολογία, το jerk συμπεριλαμβάνεται, εκτός από την ταχύτητα και την επιτάχυνση και κατά την ανάπτυξη έκκεντρων προφίλ (cam profiles) εξαιτίας τριβολογικών επιπτώσεων και την ικανότητα του σώματος υπό διέγερση να ακολουθήσει το έκκεντρο προφίλ, χωρίς μηχανικές ταλαντώσεις. Το jerk  πρέπει να είναι συχνά λαμβάνεται υπόψη όταν η διέγερση των δονήσεων θεωρείται ανησυχητική. Μια συσκευή που μετρά το jerk ονομάζεται "jerkmeter".

Δείτε επίσης

• Jounce, το παράγωγο του jerk
• Γεωμαγνητικό jerk
• Abraham–Lorentz δύναμη , δύναμη στην ηλεκτροδυναμική, το μέγεθος της οποίας είναι ανάλογη του jerk
• Κρουστική ώση (μηχανική)
• Θεωρία απορρόφησης Wheeler–Feynman 

Αναφορές

• Sprott JC (2003). Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press. ISBN 0-19-850839-5. 
• Sprott JC (1997). «Some simple chaotic jerk functions» (PDF). Am J Phys 65 (6): 537–43. doi:10.1119/1.18585. Bibcode: 1997AmJPh..65..537S. http://sprott.physics.wisc.edu/pubs/paper229.pdf. Ανακτήθηκε στις 2009-09-28. 
• Blair G (2005). «Making the Cam» (PDF). Race Engine Technology (010). http://www.profblairandassociates.com/pdfs/Camshaft%20RET%20010.pdf. Ανακτήθηκε στις 2009-09-29. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• What is the term used for the third derivative of position?, description of jerk in the Usenet Physics FAQ
• Mathematics of Motion Control Profiles
• Elevator ride quality
• Elevator manufacturer brochure
• Patent of Wiener Kurve
• (German) Description of Wiener Kurve

[[Κατηγορία:Επιτάχυνση]] [[Κατηγορία:Κλασική μηχανική]] [[Κατηγορία:Φυσικά μεγέθη]]