Σημείο συσσώρευσης

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στη μαθηματική ανάλυση η έννοια του σημείου συσσώρευσης είναι αναγκαία όταν θέλουμε να ορίσουμε το όριο συνάρτησης. Συγκεκριμένα το όριο μιας συνάρτησης έχει νόημα μόνο στα σημεία συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της συνάρτησης.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας άτυπος ορισμός του σημείου συσσώρευσης είναι ο εξής: ένας πραγματικός αριθμός είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α αν υπάρχει στοιχείο του Α (που να είναι διαφορετικό του x0) οσοδήποτε κοντά θέλουμε στο x0. Ο αυστηρός ορισμός είναι ο εξής:

Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Λέμε ότι το x0 είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α αν για κάθε δ > 0:

\exists x \in A με x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) και x \neq x_0

Σημεία συσσώρευσης μπορεί να είναι και τα \pm\infty. Οι αντίστοιχοι ορισμοί είναι οι εξής:

Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Λέμε ότι το +\infty είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α αν για κάθε δ > 0:

\exists x \in A με x \in \cap(\delta, +\infty)

και ότι το -\infty είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α αν για κάθε δ > 0:

\exists x \in A με x \in \cap(-\infty, \delta)

Μεμονωμένα σημεία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένα στοιχείο του Α. Λέμε ότι το x0 είναι μεμονωμένο σημείο του συνόλου Α αν δεν είναι σημείο συσσώρευσής του, δηλαδή αν υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε:

\forall x \in A με x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) να ισχύει x = x_0

Επομένως τα στοιχεία ενός συνόλου χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στα σημεία συσσώρευσης και στα μεμονωμένα σημεία. Φυσικά είναι δυνατόν ένα σύνολο να έχει μόνο σημεία συσσώρευσης ή μόνο μεμονωμένα σημεία. Σημειώνουμε ότι ενώ ενδέχεται τα σημεία συσσώρευσης ενός συνόλου να ανήκουν σε αυτό ή και να μην ανήκουν, τα μεμονωμένα σημεία είναι πάντοτε εξ'ορισμού στοιχεία του συνόλου.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Έστω [a, b] ένα διάστημα. Τα σημεία συσσώρευσής του είναι όλα τα σημεία x του [a, b].
  • Έστω (a, b) ένα διάστημα. Τα σημεία συσσώρευσής του είναι όλα τα σημεία x του [a, b].
  • Έστω I ένα μη κενό διάστημα. Τα σημεία συσσώρευσής του είναι ακριβώς τα σημεία x του Ι και επίσης τα άκρα του (συμπεριλαμβανομένων των \pm \infty αν είναι άκρα του Ι).
  • Το σύνολο \mathbb{N} έχει ως σημείο συσσώρευσης μόνο το +\infty.
  • Τα σύνολα \mathbb{Q} και \mathbb{R} έχουν ως σημεία συσσώρευσης κάθε x στο \mathbb{R}, καθώς επίσης και τα \pm \infty.

Σημεία συσσώρευσης από δεξιά και από αριστερά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Λέμε ότι το x0 είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α από δεξιά, αν για κάθε δ > 0:

\exists x \in A με x \in (x_0, x_0 + \delta)

και ότι το x0 είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α από αριστερά, αν για κάθε δ > 0:

\exists x \in A με x \in (x_0 - \delta, x_0)

Αν ένα σημείο x0 είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α από δεξία ή από αριστερά, τότε είναι σημείο συσσώρευσης του Α. Αν όμως ένα σημείο x0 είναι σημείο συσσώρευσης του Α τότε δεν είναι πάντα σωστό ότι το x0 είναι σημείο συσσώρευσης από δεξιά και από αριστερά. Μπορεί να είναι σημείο συσσώρευσης μόνο από δεξιά ή μόνο από αριστερά.

Βασικές Προτάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Αν ένα σύνολο είναι πεπερασμένο τότε δεν έχει σημείο συσσώρευσης και επομένως κάθε στοιχείο του είναι μεμονωμένο σημείο.
  • Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Το x0 είναι σημείο συσσώρευσης του Α αν και μόνο αν υπάρχουν άπειρα το πλήθος στοιχεία του Α στο διάστημα (x_0 - \delta, x_0 + \delta) για κάθε δ > 0.
  • Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Το x0 είναι σημείο συσσώρευσης του Α αν και μόνο αν υπάρχει ακολουθία xn στο Α τέτοια ώστε: x_n \rightarrow x_0 και x_n \neq x_0 για κάθε n στο \mathbb{N}.
  • Το +\infty είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α αν το Α δεν είναι άνω φραγμένο και το -\infty είναι σημείο συσσώρευσης του αν δεν είναι κάτω φραγμένο.