Το πρόβλημα του δαχτυλιδιού χαρτοπετσέτας

Εάν μια τρύπα ύψους h διανοιχτεί μέσα από το κέντρο μιας σφαίρας, ο όγκος της υπόλοιπης λωρίδας δεν εξαρτάται από το μέγεθος της σφαίρας. Για μεγαλύτερη σφαίρα, η λωρίδα θα είναι πιο λεπτή αλλά μεγαλύτερη.

Κινούμενο σχέδιο κομμένου δαχτυλιδιού χαρτοπετσέτας με σταθερό ύψος

Στη γεωμετρία, το πρόβλημα του δαχτυλιδιού χαρτοπετσέτας περιλαμβάνει την εύρεση του όγκου μιας «λωρίδας» καθορισμένου ύψους γύρω από μια σφαίρα, δηλαδή του τμήματος που παραμένει μετά τη διάνοιξη μιας οπής σε σχήμα κυκλικού κυλίνδρου μέσω του κέντρου της σφαίρας. Θα δείξουμε ότι αυτός ο όγκος δεν εξαρτάται από την ακτίνα της αρχικής σφαίρας, αλλά μόνο από το ύψος της λωρίδας που προκύπτει.

Το πρόβλημα ονομάζεται έτσι επειδή μετά την αφαίρεση ενός κυλίνδρου από τη σφαίρα, η λωρίδα που απομένει μοιάζει με το σχήμα ενός δαχτυλιδιού χαρτοπετσέτας .

Πρόταση

Ας υποθέσουμε ότι ο άξονας ενός κυκλικού κυλίνδρου διέρχεται από το κέντρο μιας σφαίρας ακτίνας $R$ και έστω $h$ το ύψος (που ορίζεται ως η απόσταση παράλληλη προς τον άξονα) του τμήματος του κυλίνδρου που βρίσκεται μέσα στη σφαίρα. Η «λωρίδα» είναι το τμήμα της σφαίρας που βρίσκεται έξω από τον κύλινδρο. Ο όγκος αυτής της λωρίδας εξαρτάται από το $h$ αλλά όχι από το $R$:$$V={\frac {\pi h^{3}}{6}}.$$Όσο η ακτίνα $R$ της σφαίρας συρρικνώνεται, η διάμετρος του κυλίνδρου πρέπει επίσης να συρρικνωθεί ώστε το $h$ να παραμείνει σταθερό. Έτσι, η λωρίδα γίνεται πιο χοντρή και αυτό θα αυξήσει τον όγκο της. Αλλά γίνεται επίσης μικρότερη σε περιφέρεια, και αυτό θα μειώσει τον όγκο της. Τα δύο αυτά φαινόμενα αλληλοεξουδετερώνονται και συνεπώς ο όγκος της λωρίδας παραμένει σταθερός. Στην ακραία περίπτωση της μικρότερης δυνατής σφαίρας, ο κύλινδρος εξαφανίζεται (η ακτίνα του γίνεται μηδέν) και το ύψος $h$ ισούται με τη διάμετρο της σφαίρας. Σε αυτήν την περίπτωση, ο όγκος της λωρίδας ισούται με τον όγκο ολόκληρης της σφαίρας, το οποίο ταιριάζει με τον τύπο που δίνεται παραπάνω.

Μια πρώιμη μελέτη αυτού του προβλήματος γράφτηκε από τον Ιάπωνα μαθηματικό του 17ου αιώνα Σέκι Τακακάζου. Σύμφωνα με τους Smith & Mikami (1914), ο Σέκι ονόμασε αυτό το στερεό δακτύλιο τόξου, ή στα ιαπωνικά kokan ή kokwan.

Απόδειξη

Ας υποθέσουμε ότι η ακτίνα της σφαίρας είναι $R$ και το μήκος του κυλίνδρου (ή του τούνελ) είναι $h$.

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, η ακτίνα του κυλίνδρου είναι

Εύρεση των μετρήσεων του δακτυλίου, δηλαδή της οριζόντιας διατομής.

$${\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}},\qquad \qquad (1)$$και η ακτίνα της οριζόντιας διατομής της σφαίρας σε ύψος $y$ πάνω από την διάμετρό της είναι$${\sqrt {R^{2}-y^{2}}}.\qquad \qquad (2)$$Η διατομή της λωρίδας με το επίπεδο σε ύψος $y$ είναι η περιοχή μέσα στον μεγαλύτερο κύκλο με ακτίνα που δίνεται από την σχέση (2) και έξω από τον μικρότερο κύκλο με ακτίνα που δίνεται από την σχέση (1). Το εμβαδόν της διατομής είναι επομένως το εμβαδόν του μεγαλύτερου κύκλου μείον το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου:$${\begin{aligned}&{}\quad \pi ({\text{μεγάλη ακτίνα}})^{2}-\pi ({\text{μικρή ακτίνα}})^{2}\\&=\pi \left({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\right)^{2}-\pi \left({\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\,{}}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right).\end{aligned}}$$Η ακτίνα R δεν εμφανίζεται στην τελευταία ποσότητα. Επομένως, το εμβαδόν της οριζόντιας διατομής σε ύψος $y$ δεν εξαρτάται από το $R$, εφόσον $y\leq {\tfrac {h}{2}}\leq R$ . Ο όγκος της λωρίδας είναι

$\int _{-h/2}^{h/2}({\text{εμβαδόν διατομής σε ύψος }}y)\,dy,$

ο οποίος επίσης δεν εξαρτάται από το $R$.

Αυτή είναι μια εφαρμογή της αρχής του Καβαλιέρι: όγκοι με αντίστοιχες διατομές ίσου μεγέθους είναι ίσοι. Πράγματι, το εμβαδόν της διατομής είναι το ίδιο με αυτό της αντίστοιχης διατομής μιας σφαίρας ακτίνας $h/2$, που έχει όγκο$${\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi h^{3}}{6}}.$$

Δείτε επίσης

• Οπτικός λογισμός, ένας διαισθητικός τρόπος επίλυσης τέτοιου είδους προβλημάτων, που αρχικά εφαρμόστηκε για την εύρεση της περιοχής ενός δακτυλίου με δεδομένο μόνο το μήκος της χορδής του.

Βιβλιογραφία

• Devlin, Keith (2008), The Napkin Ring Problem, Mathematical Association of America, http://www.maa.org/devlin/devlin_04_08.html, ανακτήθηκε στις 25 February 2009 
• Devlin, Keith (2008), Lockhart's Lament, Mathematical Association of America, http://www.maa.org/devlin/devlin_05_08.html, ανακτήθηκε στις 25 February 2009 
• Gardner, Martin (1994), «Hole in the Sphere», My best mathematical and logic puzzles, Dover Publications, σελ. 8 
• Jones, Samuel I. (1912), Mathematical Wrinkles for Teachers and Private Learners, Norwood, MA: J. B. Cushing Co.  Problem 132 asks for the volume of a sphere with a cylindrical hole drilled through it, but does not note the invariance of the problem under changes of radius.
• Levi, Mark (2009), «6.3 How Much Gold Is in a Wedding Ring?», The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems, Princeton University Press, σελ. 102–104, ISBN 978-0-691-14020-9 . Levi argues that the volume depends only on the height of the hole based on the fact that the ring can be swept out by a half-disk with the height as its diameter.
• Lines, L. (1965), Solid geometry: With Chapters on Space-lattices, Sphere-packs and Crystals, Dover . Reprint of 1935 edition. A problem on page 101 describes the shape formed by a sphere with a cylinder removed as a "napkin ring" and asks for a proof that the volume is the same as that of a sphere with diameter equal to the length of the hole.
• Pólya, George (1990), Mathematics and Plausible Reasoning, Vol. I: Induction and Analogy in Mathematics, Princeton University Press, σελ. 191–192 . Reprint of 1954 edition.
• Smith, David E.; Mikami, Yoshio (1914), A History of Japanese Mathematics, Open Court Publishing Company, σελ. 121–123, https://archive.org/details/historyofjapanes00smitiala . Republished by Dover, 2004, (ISBN 0-486-43482-6). Smith and Mikami discuss the napkin ring problem in the context of two manuscripts of Seki on the mensuration of solids, Kyuseki and Kyuketsu Hengyo So.

Eξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Spherical Ring" από το MathWorld.