Σύστημα μιγαδικής βάσης

Στην αριθμητική, ένα Σύστημα μιγαδικής βάσης είναι ένα θεσιακό σύστημα αρίθμησης του οποίου η ακτίνα είναι ένας φανταστικός αριθμός (πρόταση του Ντόναλντ Κνουθ το 1955^[1]^[2]) ή μιγαδικός αριθμός (πρόταση του Σ. Κμέλνικ το 1964^[3] και τον Γουόλτερ Φ. Πένι το 1965^[4]^[5]^[6]).

Σε γενικές γραμμές

Έστω $D$ ένα ολοκληρωμένο πεδίο $\subset \mathbb {C}$ , και $|\cdot |$ η (Αρχιμήδειος) απόλυτη τιμή σε αυτό.

Ένας αριθμός $X\in D$ σε ένα θεσιακό σύστημα αρίθμησης παριστάνεται ως ανάπτυγμα

X=\pm \sum _{\nu }^{}x_{\nu }\rho ^{\nu },

Όταν

$\rho \in D$		είναι το radix (ή η βάση) με $\|\rho \|>1$ ,
$\nu \in \mathbb {Z}$		είναι ο εκθέτης (θέση ή τόπος),
$x_{\nu }$		είναι ψηφία από το "πεπερασμένο" σύνολο ψηφίων $Z\subset D$ , κατά κανόνα με $\|x_{\nu }\|<\|\rho \|.$

Η πληθικότητα $R:=|Z|$ ονομάζεται επίπεδο αποσύνθεσης.

Ένα θεσιακό σύστημα αρίθμησης ή σύστημα κωδικοποίησης είναι ένα ζεύγος

\left\langle \rho ,Z\right\rangle

με radix $\rho$ και σύνολο ψηφίων $Z$ , και γράφουμε το τυπικό σύνολο ψηφίων με $R$ ψηφία ως εξής

Z_{R}:=\{0,1,2,\dotsc ,{R-1}\}.

Επιθυμητά είναι τα συστήματα κωδικοποίησης με τα εξής χαρακτηριστικά:

Κάθε αριθμός στο $D$ , π.χ. οι ακέραιοι αριθμοί $\mathbb {Z}$ , οι ακέραιοι αριθμοί Gauss $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ ή οι ακέραιοι $\mathbb {Z} [{\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}]$ , είναι μοναδικά αναπαραστάσιμοι ως πεπερασμένος κώδικας, ενδεχομένως με πρόσημο ±.
Κάθε αριθμός στο πεδίο των κλασμάτων $K:=\operatorname {Quot} (D)$ , ο οποίος ενδεχομένως ολοκληρώνεται για τη μετρική που δίνεται από $|\cdot |$ yielding $K:=\mathbb {R}$ ή $K:=\mathbb {C}$ , μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια άπειρη σειρά $X$ η οποία συγκλίνει υπό $|\cdot |$ για $\nu \to -\infty$ ,, και το μέτρο του συνόλου των αριθμών με περισσότερες από μια αναπαραστάσεις είναι 0. Το τελευταίο απαιτεί το σύνολο $Z$ να είναι ελάχιστο, δηλαδή $R=|\rho |$ για πραγματικούς αριθμούς και $R=|\rho |^{2}$ για μιγαδικούς αριθμούς.

Στους πραγματικούς αριθμούς

Σε αυτόν τον συμβολισμό το τυπικό δεκαδικό σύστημα κωδικοποίησης συμβολίζεται με

\left\langle 10,Z_{10}\right\rangle ,

το καθιερωμένο δυαδικό σύστημα είναι το ακόλουθο

\left\langle 2,Z_{2}\right\rangle ,

το αρνητικό σύστημα είναι το ακόλουθο

\left\langle -2,Z_{2}\right\rangle ,

και το ισοζυγισμένο τριμερές σύστημα ^[2] είναι το ακόλουθο

\left\langle 3,\{-1,0,1\}\right\rangle .

Όλα αυτά τα συστήματα κωδικοποίησης έχουν τα αναφερόμενα χαρακτηριστικά για τα $\mathbb {Z}$ and $\mathbb {R}$ , και τα δύο τελευταία δεν απαιτούν πρόσημο.

Στους μιγαδικούς αριθμούς

Τα γνωστά συστήματα αριθμητικών θέσεων για τους μιγαδικούς αριθμούς περιλαμβάνουν τα ακόλουθα ( i \mathrm i είναι η φανταστική μονάδα):

$\left\langle {\sqrt {R}},Z_{R}\right\rangle$ , e.g. $\left\langle \pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle$ ^[1] και

\left\langle \pm 2\mathrm {i} ,Z_{4}\right\rangle

,^[2] η τετραπλή φανταστική βάση, η οποία προτάθηκε από τον Ντόναλντ Κνουθ το 1955.

$\left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {\pi }{2}}\mathrm {i} }=\pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle$ και

\left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {3\pi }{4}}\mathrm {i} }=-1\pm \mathrm {i} ,Z_{2}\right\rangle

^[3]^[5] (βλέπε επίσης την ενότητα Base −1 ± i παρακάτω).

$\left\langle {\sqrt {R}}e^{\mathrm {i} \varphi },Z_{R}\right\rangle$ , where $\varphi =\pm \arccos {(-\beta /(2{\sqrt {R}}))}$ , $\beta <\min(R,2{\sqrt {R}})$ and $\beta _{}^{}$ είναι ένας θετικός ακέραιος που μπορεί να πάρει πολλαπλές τιμές σε μια δεδομένη $R$ .^[7] για $\beta =1$ και $R=2$ αυτό είναι το σύστημα

\left\langle {\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}},Z_{2}\right\rangle .

$\left\langle 2e^{{\tfrac {\pi }{3}}\mathrm {i} },A_{4}:=\left\{0,1,e^{{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} },e^{-{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }\right\}\right\rangle$ .^[8]
$\left\langle -R,A_{R}^{2}\right\rangle$ , όπου το σύνολο $A_{R}^{2}$ αποτελείται από μιγαδικούς αριθμούς $r_{\nu }=\alpha _{\nu }^{1}+\alpha _{\nu }^{2}\mathrm {i}$ , και τους αριθμούς $\alpha _{\nu }^{}\in Z_{R}$ , e.g.

\left\langle -2,\{0,1,\mathrm {i} ,1+\mathrm {i} \}\right\rangle .

^[8]

$\left\langle \rho =\rho _{2},Z_{2}\right\rangle$ , όπου $\rho _{2}={\begin{cases}(-2)^{\tfrac {\nu }{2}}&{\text{if }}\nu {\text{ even,}}\\(-2)^{\tfrac {\nu -1}{2}}\mathrm {i} &{\text{if }}\nu {\text{ odd.}}\end{cases}}$ ^[9]

Διυαδικά συστήματα

Τα δυαδικά συστήματα κωδικοποίησης των μιγαδικών αριθμών, δηλαδή τα συστήματα με τα ψηφία $Z_{2}=\{0,1\}$ , παρουσιάζουν πρακτικό ενδιαφέρον.^[9] Παρακάτω παρατίθενται ορισμένα συστήματα κωδικοποίησης $\langle \rho ,Z_{2}\rangle$ (όλα είναι ειδικές περιπτώσεις των παραπάνω συστημάτων) και αντίστοιχα κωδικοί για τους (δεκαδικούς) αριθμούς $-1, 2, -2, i$ . Το τυπικό δυαδικό σύστημα (το οποίο απαιτεί πρόσημο, πρώτη γραμμή) και τα συστήματα "αρνητικού" (δεύτερη γραμμή) παρατίθενται επίσης για σύγκριση. Δεν έχουν γνήσιο ανάπτυγμα για το $i$ .

Μερικές βάσεις και αναπαραστάσεις ^[10]
Radix	–1 ←	2 ←	–2 ←	$i$ ←	∆ίδυμοι και τρίδυμοι
2	–1	10	–10	$i$	1 ←	0.1 = 1.0
–2	11	110	10	$i$	1/3 ←	0.01 = 1.10
$\mathrm {i} {\sqrt {2}}$	101	10100	100	10.101010100...^[11]	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\mathrm {i} {\sqrt {2}}$ ←	0.0011 = 11.1100
${\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}$	111	1010	110	11.110001100...^[11]	${\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{4}}$ ←	1.011 = 11.101 = 11100.110
$\rho _{2}$	101	10100	100	10	1/3 + 1/3 $i$ ←	0.0011 = 11.1100
–1+ $i$	11101	1100	11100	11	1/5 + 3/5 $i$ ←	0.010 = 11.001 = 1110.100
2 $i$	103	2	102	10.2	1/5 + 2/5 $i$ ←	0.0033 = 1.3003 = 10.0330 = 11.3300

Όπως σε όλα τα αριθμητικά συστήματα θέσης με Αρχιμήδειο απόλυτη τιμή, υπάρχουν ορισμένοι αριθμοί με πολλαπλές αναπαραστάσεις. Παραδείγματα τέτοιων αριθμών παρουσιάζονται στη δεξιά στήλη του πίνακα. Όλοι τους είναι επαναλαμβανόμενα κλάσματα με το επαναλαμβανόμενο να σημειώνεται με οριζόντια γραμμή πάνω από αυτό.

Αν το σύνολο των ψηφίων είναι ελάχιστο, το σύνολο τέτοιων αριθμών έχει μέτρο 0. Αυτό συμβαίνει με όλα τα αναφερόμενα συστήματα κωδικοποίησης.

Το σχεδόν δυαδικό τετραγωνικό-εικονικό σύστημα παρατίθεται στην κάτω γραμμή για λόγους σύγκρισης. Εκεί, το πραγματικό και το φανταστικό μέρος αλληλοδιαδέχονται το ένα το άλλο.

Βάση $-1 \pm i$

Οι μιγαδικοί αριθμοί με ακέραιο μέρος όλα τα μηδενικά στο σύστημα βάσης $i - 1$

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα συστήματα της τετραεικονικής βάσης $2 i$ ) και της βάσης $-1 \pm i$ που θα αναλυθούν παρακάτω, τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την πεπερασμένη αναπαράσταση των ακέραιων αριθμών του Γκάους χωρίς πρόσημο.

Η βάση $-1 \pm i$ , χρησιμοποιώντας τα ψηφία $0$ και $1$ , προτάθηκε από τον Σ. Χμέλνικ το 1964^[3] και τον Γουόλτερ Φ. Πένι το 1965^[4]^[6] .

Σύνδεση με το δίδυμο δράκο

Η περιοχή στρογγυλοποίησης ενός ακέραιου αριθμού - δηλαδή, ένα σύνολο $S$ μιγαδικών (μη ακέραιων) αριθμών που μοιράζονται το ακέραιο μέρος της αναπαράστασής τους σε αυτό το σύστημα - έχει στο μιγαδικό επίπεδο ένα σχήμα φράκταλ: το δίδυμο δράκο (βλέπε σχήμα). Αυτό το σύνολο $S$ είναι, εξ ορισμού, όλα τα σημεία που μπορούν να γραφούν ως $\textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}$ με $x_{k}\in Z_{2}$ . $S$ μπορεί να αναλυθεί σε 16 κομμάτια συμβατά με το ${\tfrac {1}{4}}S$ . Παρατηρήστε ότι αν το $S$ περιστραφεί αριστερόστροφα κατά 135°, λαμβάνουμε δύο γειτονικά σύνολα που συμπίπτουν με το ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S$ , επειδή $(\mathrm {i} -1)S=S\cup (S+1)$ }. Το ορθογώνιο $R\subset S$ στο κέντρο τέμνει τους άξονες συντεταγμένων αριστερόστροφα στα ακόλουθα σημεία: ${\tfrac {2}{15}}\gets 0.{\overline {00001100}}$ , ${\tfrac {1}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00000011}}$ , και $-{\tfrac {8}{15}}\gets 0.{\overline {11000000}}$ , και $-{\tfrac {4}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00110000}}$ . Έτσι, το $S$ περιέχει όλους τους μιγαδικούς αριθμούς με απόλυτη τιμή ≤ 1/15.^[12]

Κατά συνέπεια, υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη του Μιγαδικού ορθογωνίου

[-{\tfrac {8}{15}},{\tfrac {2}{15}}]\times [-{\tfrac {4}{15}},{\tfrac {1}{15}}]\mathrm {i}

στο διάστημα $[0,1)$ των πραγματικών αριθμών με την αντιστοίχιση

\textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\mapsto \sum _{k\geq 1}x_{k}b^{-k}

με $b>2$ .^[13]

Επιπλέον, υπάρχουν οι δύο αντιστοιχίσεις

{\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &S\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\end{array}}

και

{\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &[0,1)\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}2^{-k}\end{array}}

και οι δύο είναι υποκειμενικές, οι οποίες οδηγούν σε μια υποκειμενική (άρα χωροταξική) απεικόνιση

[0,1)\qquad \to \qquad S

η οποία, ωστόσο, δεν είναι συνεχής και συνεπώς δεν αποτελεί καμπύλη πλήρωσης του χώρου. Αλλά ένας πολύ στενός συγγενής, ο δράκος Ντέιβις-Κνουθ, είναι συνεχής και μια καμπύλη που γεμίζει το χώρο.

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ ^1,0 ^1,1 Knuth, D.E. (1960). «An Imaginary Number System». Communications of the ACM 3 (4): 245–247. doi:10.1145/367177.367233.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Knuth, Donald (1998). «Positional Number Systems». The art of computer programming. 2 (3rd έκδοση). Boston: Addison-Wesley. σελ. 205. ISBN 0-201-89684-2. OCLC 48246681.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Khmelnik, S.I. (1964). «Specialized digital computer for operations with complex numbers». Questions of Radio Electronics (In Russian) XII (2).
↑ ^4,0 ^4,1 W. Penney, A "binary" system for complex numbers, JACM 12 (1965) 247-248.
↑ ^5,0 ^5,1 Jamil, T. (2002). «The complex binary number system». IEEE Potentials 20 (5): 39–41. doi:10.1109/45.983342.
↑ ^6,0 ^6,1 Duda, Jarek (2008-02-24). «Complex base numeral systems».
arXiv:0712.1309
[math.DS]
.
↑ Khmelnik, S.I. (1966). «Positional coding of complex numbers». Questions of Radio Electronics (In Russian) XII (9).
↑ ^8,0 ^8,1 Khmelnik, S.I. (2004). Coding of Complex Numbers and Vectors (in Russian) (PDF). Israel: Mathematics in Computer. ISBN 978-0-557-74692-7.
↑ ^9,0 ^9,1 Khmelnik, S.I. (2001). Method and system for processing complex numbers. Patent USA, US2003154226 (A1). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 9 Ιανουαρίου 2023. Ανακτήθηκε στις 26 Οκτωβρίου 2023.
↑ William J. Gilbert, "Arithmetic in Complex Bases" Mathematics Magazine Vol. 57, No. 2, March 1984
↑ ^11,0 ^11,1 infinite non-repeating sequence
↑ Knuth 1998 p.206
↑ Base $b=2$ δεν μπορεί να επιτευχθεί επειδή και οι δύο, $\textstyle 2^{-1}=0.1_{\text{bin}}=0.5_{\text{dec}}$ και $\textstyle \sum _{k\geq 2}2^{-k}=0.0{\overline {1}}_{\text{bin}}=0.1_{\text{bin}}=0.5_{\text{dec}}$ . Ωστόσο, $\textstyle (\mathrm {i} -1)^{-1}=-0.1_{\text{bin}}-0.1_{\text{bin}}\mathrm {i} =-0.5_{\text{dec}}-0.5_{\text{dec}}\mathrm {i}$ είναι διαφορετικό από $\textstyle \sum _{k\geq 2}(\mathrm {i} -1)^{-k}=0.1_{\text{dec}}+0.3_{\text{dec}}\mathrm {i}$ .

[Knuth1-1] 1,0 ^1,1 Knuth, D.E. (1960). «An Imaginary Number System». Communications of the ACM 3 (4): 245–247. doi:10.1145/367177.367233.

[Knuth2-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Knuth, Donald (1998). «Positional Number Systems». The art of computer programming. 2 (3rd έκδοση). Boston: Addison-Wesley. σελ. 205. ISBN 0-201-89684-2. OCLC 48246681.

[Khmelnik1-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Khmelnik, S.I. (1964). «Specialized digital computer for operations with complex numbers». Questions of Radio Electronics (In Russian) XII (2).

[Penney0-4] 4,0 ^4,1 W. Penney, A "binary" system for complex numbers, JACM 12 (1965) 247-248.

[Penney1-5] 5,0 ^5,1 Jamil, T. (2002). «The complex binary number system». IEEE Potentials 20 (5): 39–41. doi:10.1109/45.983342.

[Penney2-6] 6,0 ^6,1 Duda, Jarek (2008-02-24). «Complex base numeral systems».
arXiv:0712.1309
[math.DS]
.

[Khmelnik2-7] Khmelnik, S.I. (1966). «Positional coding of complex numbers». Questions of Radio Electronics (In Russian) XII (9).

[Khmelnik3-8] 8,0 ^8,1 Khmelnik, S.I. (2004). Coding of Complex Numbers and Vectors (in Russian) (PDF). Israel: Mathematics in Computer. ISBN 978-0-557-74692-7.

[Khmelnik4-9] 9,0 ^9,1 Khmelnik, S.I. (2001). Method and system for processing complex numbers. Patent USA, US2003154226 (A1). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 9 Ιανουαρίου 2023. Ανακτήθηκε στις 26 Οκτωβρίου 2023.

[Gilbert-10] William J. Gilbert, "Arithmetic in Complex Bases" Mathematics Magazine Vol. 57, No. 2, March 1984

[infinite-11] 11,0 ^11,1 infinite non-repeating sequence

[12] Knuth 1998 p.206

[13] Base $b=2$ δεν μπορεί να επιτευχθεί επειδή και οι δύο, $\textstyle 2^{-1}=0.1_{\text{bin}}=0.5_{\text{dec}}$ και $\textstyle \sum _{k\geq 2}2^{-k}=0.0{\overline {1}}_{\text{bin}}=0.1_{\text{bin}}=0.5_{\text{dec}}$ . Ωστόσο, $\textstyle (\mathrm {i} -1)^{-1}=-0.1_{\text{bin}}-0.1_{\text{bin}}\mathrm {i} =-0.5_{\text{dec}}-0.5_{\text{dec}}\mathrm {i}$ είναι διαφορετικό από $\textstyle \sum _{k\geq 2}(\mathrm {i} -1)^{-k}=0.1_{\text{dec}}+0.3_{\text{dec}}\mathrm {i}$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]