Μετάβαση στο περιεχόμενο

Πολυωνυμική κατανομή

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πολυωνυμική Κατανομή
Παράμετροι (πλήθος δειγμάτων)
(πλήθος αποτελεσμάτων)
με .
Φορέας
Συνάρτηση Μάζας
Πιθανότητας
Μέσος
Διακύμανση
για
Εντροπία
Πιθανογεννήτρια
Χαρακτηριστική

Στην θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, η πολυωνυμική κατανομή είναι η γενίκευση της διωνυμικής κατανομής, όπου υπάρχουν επαναλήψεις ενός πειράματος με πιθανά αποτελέσματα. Πιο συγκεκριμένα, δίνει την πιθανότητα για κάθε δυνατό πλήθος αποτελεσμάτων .[1][2][3][4]

Ανάλυση παραμέτρων

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η πολυωνυμική κατανομή εξετάζει τη συνδυαστική πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα μια σειρά από k ενδεχόμενα Ε1, Ε2, …, Εk, σε n επαναλήψεις μιας τυχαίας διαδικασίας, το καθένα εκ των οποίων έχει τη δική του πιθανότητα p1, p2, …, pk να πραγματοποιηθεί σε μία εκτέλεση της διαδικασίας. Συμβολίζουμε με x1, x2, …, xk, τον ακριβή αριθμό των φορών που ζητάμε να εμφανισθεί το κάθε ενδεχόμενο.

Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

και


Η πιθανότητα να εμφανισθεί το κάθε ενδεχόμενο όσες φορές ακριβώς ορίσαμε, δίνεται από τον τύπο:

.

Έστω ότι έχουμε ένα δοχείο με μπάλες, κόκκινες, μαύρες και μπλε. Τότε αν διαλέξουμε μπάλες (με αντικατάσταση), τότε η κατανομή είναι πολυωνυμική με παραμέτρους

,

και λαμβάνουμε τις εξής πιθανότητες για τα ενδεχόμενα:

Αποτέλεσμα Πιθανότητα
Δοχείο με μπάλες εκ των οποίων οι είναι κόκκινες, μαύρες και μπλε.

Η πολυωνυμική κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μοντελοποιήσει τα εξής:[5]

  • Οι ταξιδιωτικοί προορισμοί των κατοίκων της χώρας μας στο εσωτερικό με την κατηγοριοποίησή τους στους εξής προορισμούς: Κυκλάδες, Σποράδες, Δωδεκάνησα, Επτάνησα, Ζαγοροχώρια, Ορεινή Ναυπακτία, Πήλιο, Αράχωβα και Καλάβρυτα.
  • Η εξέταση ανάπτυξης του κλάδου επιχειρήσεων ανάλογα με την γεωγραφική περιοχή και την μορφολογία του εδάφους, που μπορεί να είναι καλλιέργεια εσπεριδοειδών ή οσπρίων, δημιουργία φάρμας, εξόρυξη μετάλλων.

Η περιθωριακή κατανομή του είναι διωνυμική με παραμέτρους και . Επομένως, η μέση τιμή του , δίνεται από τον τύπο

.

Αντίστοιχα, η διακύμανση του δίνεται από τον τύπο

.

Από τον ορισμό της συνδιακύμανσης για και με , έχουμε ότι

Από τον νόμο της ολικής πιθανότητας, και αφού η τυχαία μεταβλητή είναι , έχουμε ότι

Επομένως,

  1. Πάνος Τσικογιαννόπουλος (2010). «Αθροιστική πολυωνυμική και υπεργεωμετρική κατανομή». Μαθηματική Επιθεώρηση (72): 3-22. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2012-10-25. https://web.archive.org/web/20121025170916/http://www.hms.gr/node/365. Ανακτήθηκε στις 2013-07-10. 
  2. Δημήτρης Α. Ιωαννίδης (Σεπτέμβριος 2005) [1999]. Στατιστικές Μέθοδοι. εκδόσεις Ζήση. σελίδες 227–233. 
  3. Παπαδόπουλος, Γιώργος. «Βασικές Διακριτές Κατανομές» (PDF). Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 8 Ιουνίου 2023. 
  4. Πανάρετος, Ιωάννης. «Μερικές ειδικές κατανομές» (PDF). Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 8 Ιουνίου 2023. 
  5. Douglas Downing, Jefrey Clark (2000). Στατιστική Των Επιχειρήσεων. Αθήνα: εκδόσεις Κλειδάριθμος. σελίδες 227–280, 300–307.