Ορθομοναδιαίος πίνακας

Για πίνακες με ορθογωνιότητα στο πεδίο των πραγματικών αριθμών, δείτε ορθογώνιος πίνακας. Για τον περιορισμό στην επιτρεπόμενη εξέλιξη των κβαντικών συστημάτων που εξασφαλίζει ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των πιθανών αποτελεσμάτων κάθε γεγονότος είναι πάντα ίσο με 1, βλέπε Ορθομοναδιαίος.

Στη γραμμική άλγεβρα, ένας αντιστρέψιμος μιγαδικός τετραγωνικός πίνακας U είναι Ορθομοναδιαίος αν ο αντίστροφος πίνακας U⁻¹ ισούται με τη συζυγή αντιστροφή του U^*, δηλαδή αν

$U^{*}U=UU^{*}=I,$

όπου I είναι ο ταυτοτικός πίνακας.

Στη φυσική, ιδίως στην κβαντομηχανική, η συζυγής μεταφορά αναφέρεται ως Ερμιτιανή συγγενής ενός πίνακα και συμβολίζεται με σταυρο (†), οπότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται

$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.$

Ένας μιγαδικός πίνακας U είναι ειδικός μοναδιαίος αν είναι ορθομοναδιαίος και η ορίζουσα του πίνακα ισούται με 1.

Για τους πραγματικούς αριθμούς, το ανάλογο ενός ορθομοναδιαίου πίνακα είναι ένας ορθογώνιος πίνακας. Οι ορθομοναδιαίοι πίνακες έχουν σημαντική σημασία στην κβαντομηχανική επειδή διατηρούν τις νόρμες και, συνεπώς, τα πλάτη πιθανοτήτων.

Ιδιότητες

Για κάθε μοναδιαίο πίνακα U πεπερασμένου μεγέθους, ισχύουν τα ακόλουθα:

• Δεδομένων δύο μιγαδικών διανυσμάτων x και 'y, ο πολλαπλασιασμός με U διατηρεί το εσωτερικό γινόμενο τους, δηλαδή, ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩.
• U είναι κανονικός ($U^{*}U=UU^{*}$).
• U είναι διαγωνοποιήσιμος- δηλαδή, U είναι μοναδιαία παρόμοιος με έναν διαγώνιο πίνακα, ως συνέπεια του φασματικού θεωρήματος. Έτσι, ο U έχει μια αποσύνθεση της μορφής $U=VDV^{*},$ όπου V είναι ορθομοναδιαίος, και D είναι διαγώνιος και ορθομοναδιαίος.
• $\left|\det(U)\right|=1$. Δηλαδή, το $\det(U)$ θα βρίσκεται στον μοναδιαίο κύκλο του μιγαδικού επιπέδου.
• Οι ιδιοχώροι του είναι ορθογώνιοι.
• U μπορεί να γραφεί ως U' = e^iH}, όπου e υποδηλώνει τον εκθετικό πίνακα, i είναι η φανταστική μονάδα και H είναι ένας Ερμιτιανός πίνακας.

Για κάθε μη αρνητικό ακέραιος αριθμός n, το σύνολο όλων των n' × n μοναδιαίων πινάκων με πολλαπλασιασμό πινάκων σχηματίζει μια ομάδα, που ονομάζεται ορθομοναδιαία ομάδα U(n).

Κάθε τετραγωνικός πίνακας με μοναδιαία ευκλείδεια νόρμα είναι ο μέσος όρος δύο ορθομοναδιαίων πινάκων.

Ισοδύναμες συνθήκες

Αν U είναι ένας τετραγωνικός, μιγαδικός πίνακας, τότε οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες:

1. $U$ είναι ορθομοναδιαίο.
2. $U^{*}$ είναι ορθομοναδιαίο
3. $U$ είναι αντιστρέψιμος με $U^{-1}=U^{*}$.
4. Οι στήλες του $U$ σχηματίζουν μια ορθοκανονική βάση του $\mathbb {C} ^{n}$ σε σχέση με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο. Με άλλα λόγια, $U^{*}U=I$.
5. Οι γραμμές του $U$ σχηματίζουν μια ορθοκανονική βάση του $\mathbb {C} ^{n}$ ως προς το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο. Με άλλα λόγια, $UU^{*}=I$.
6. $U$ είναι μια ισομετρία ως προς τη συνήθη νόρμα. Δηλαδή, $\|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}$ για όλα τα $x\in \mathbb {C} ^{n}$, όπου $\|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$.
7. Ο $U$ είναι ένας κανονικός πίνακας (ισοδύναμα, υπάρχει μια ορθοκανονική βάση που σχηματίζεται από τα ιδιοδιανύσματα του $U$) με ιδιοτιμές που βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο.

Στοιχειώδεις κατασκευές

Ορθομοναδιαίος πίνακας 2 × 2

Μια γενική έκφραση ενός 2 × 2 ορθομοναδιαίου πίνακα είναι

$U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,$

ο οποίος εξαρτάται από 4 πραγματικές παραμέτρους (τη φάση του a, τη φάση του b, το σχετικό μέγεθος μεταξύ a και b, και τη γωνία φ). Η μορφή διαμορφώνεται έτσι ώστε η ορίζουσα ενός τέτοιου πίνακα να είναι

$\det(U)=e^{i\varphi }~.$

Η υποομάδα αυτών των στοιχείων $\ U\$ with $\ \det(U)=1\$ ονομάζεται ειδική μοναδιαία ομάδα SU(2).

Μεταξύ πολλών εναλλακτικών μορφών, ο πίνακας U μπορεί να γραφτεί με αυτή τη μορφή:

$\ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^{-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,$

όπου $\ e^{i\alpha }\cos \theta =a\$ και $\ e^{i\beta }\sin \theta =b\ ,$ παραπάνω, και οι γωνίες $\ \varphi ,\alpha ,\beta ,\theta \$ μπορούν να πάρουν οποιεσδήποτε τιμές.

Εισάγοντας $\ \alpha =\psi +\delta \$ και $\ \beta =\psi -\delta \ ,$ έχει την ακόλουθη παραγοντοποίηση:

$U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }&0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.$

Η έκφραση αυτή αναδεικνύει τη σχέση μεταξύ των ορθομοναδιαίων πινάκων 2 × 2 και των ορθογώνιων πινάκων 2 × 2 γωνίας θ.

Μια άλλη παραγοντοποίηση είναι

$U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.$

Πολλές άλλες παραγοντοποιήσεις ενός ορθομοναδιαίου πίνακα σε βασικούς πίνακες είναι δυνατές.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τριγωνικός πίνακας
• Ερμιτιανός πίνακας
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συζυγής ανάστροφος πίνακας
• Hessenberg matrix at MathWorld.
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
• Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Symmetries, Lie Algebras and Representations: A Graduate Course for Physicists
• An Introduction to Computational Physics
• Applications of Unitary Symmetry and Combinatorics
• Unitary Representations and Harmonic Analysis: An Introduction
• Random Matrices

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Sylvester, J. (1884). «Sur l'equations en matrices $px=xq$». :C. R. Acad. Sci. Paris 99 (2): 67–71, 115–116. 
• Bartels, R. H.; Stewart, G. W. (1972). «Solution of the matrix equation $AX+XB=C$». Comm. ACM 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582. 
• Bhatia, R.; Rosenthal, P. (1997). «How and why to solve the operator equation $AX-XB=Y$ ?». Bull. London Math. Soc. 29 (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828. 
• Weisstein, Eric W., "Unitary Matrix" από το MathWorld.
• Ivanova, O. A. (2001), «Unitary matrix», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=U/u095540 
• «Show that the eigenvalues of a unitary matrix have modulus 1». Stack Exchange. 28 Μαρτίου 2016. 

Παραπομπές

• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
• Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).