Ολοκληρωτικός τύπος του Κωσύ

Δεν πρέπει να συγχέεται με το ολοκληρωτικό θεώρημα του Κωσύ.

Στα μαθηματικά, ο ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy είναι μία κεντρική πρόταση της μιγαδικής ανάλυσης και πήρε το όνομα της από τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ. Εκφράζει το γεγονός ότι η oλόμορφη συνάρτηση που ορίζεται πάνω σε ένα κλειστό δίσκο, καθορίζεται πλήρως από τις τιμές της στο σύνορο του δίσκου αυτού και παρέχει τους ολοκληρωτικούς τύπους για όλες τις παραγώγους της ολόμορφης συνάρτησης. Ο τύπος του Caucy δείχνει ότι στη μιγαδική ανάλυση «η διαφόριση είναι ισοδύναμη με την ολοκλήρωση», δηλαδή η μιγαδική διαφόριση, όπως και η ολοκλήρωση, συμπεριφέρεται καλά στα όρια ομοιόμορφης σύγκλισης – ένα αποτέλεσμα που απορρίφθηκε στην πραγματική ανάλυση.

Θεώρημα

Ξεκινάμε με ένα θεώρημα που είναι λιγότερο γενικό από ό, τι μπορούμε πραγματικά να πούμε. Ας υποθέσουμε ότι το $U$ είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου $C$, η f : U → C είναι μια ολόμορφη συνάρτηση και ο κλειστός δίσκος  D = { z : | z − z₀| ≤ r} περιέχεται πλήρως στο U. Έστω $\gamma$ ο κύκλος που σχηματίζει το σύνορο του D. Τότε για κάθε α στο εσωτερικό του D ισχύει:

$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$

όπου το ολοκλήρωμα της κλειστής καμπύλης υπολογίζεται με την θετική φορά (αριστερόστροφα).

Η απόδειξη αυτής της πρότασης βασίζεται στο  ολοκληρωτικό θεώρημα του Caucy και απαιτεί μόνο, όπως και το θεώρημα,  η f  να έχει μιγαδική παράγωγο. Δεδομένου ότι ο αντίστροφος του παρονομαστή του ολοκληρώματος στον ολοκληρωτικό τύπο του Caucy μπορεί να αναπτυχθεί ως δυναμοσειρά με  μεταβλητή (a − z₀) (δηλαδή, όταν z₀=0, $[1+a/z+(a/z)^{2}+...]/z$), προκύπτει ότι οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι αναλυτικές. Ειδικότερα, η f είναι στην πραγματικότητα απείρως διαφορίσιμη, με

$f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\,dz.$

Αυτός ο τύπος αναφέρεται μερικές φορές ως  διαφορίσιμος τύπος του Cauchy.

Το θεώρημα που αναφέρεται παραπάνω μπορεί να γενικευτεί. Ο κύκλος γ μπορεί να αντικατασταθεί από οποιαδήποτε καμπύλη με υπολογίσιμο μήκος στο U η οποία έχει ένα δείκτη στροφής περίπου a. Επιπλέον, όσον αφορά το ολοκληρωτικό θεώρημα του Cauchy, αρκεί  η f  να είναι ολόμορφη στην ανοικτή περιοχή που περικλείεται από την καμπύλη και συνεχής στη κλειστή περιοχή.

Σημειώστε ότι  κάθε συνεχής συνάρτηση στο σύνορο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παράγει μια συνάρτηση εντός του συνόρου που να ταιριάζει με το δοσμένο σύνορο της συνάρτησης. Για παράδειγμα, αν βάλουμε στη συνάρτηση, που ορίζεται για |z|=1, $f(z)=1/z$ στον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy, θα πάρουμε 0 για όλα τα σημεία στο εσωτερικό του κύκλου. Στην πραγματικότητα, δίνοντας μόνο το πραγματικό μέρος στο σύνορο της ολόμορφης συνάρτησης είναι αρκετό για να προσδιοριστεί η συνάρτηση από μια φανταστική σταθερά– υπάρχει μόνο ένα φανταστικό μέρος για το σύνορο που αντιστοιχεί στο δοσμένο πραγματικό μέρος, από μια σταθερά.  Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα συνδυασμό από ένα μετασχηματισμό Mobius και τον αντίστροφο τύπο του Stieltjes για την κατασκευή της ολόμορφης συνάρτησης από το πραγματικό μέρος στο σύνορο. Για παράδειγμα, η συνάρτηση $f(z)=i-iz$ έχει πραγματικό μέρος $Re(f(z))=Im(z)$. Στο μοναδιαίο κύκλο αυτό μπορεί να γραφτεί $(i/z-iz)/2$.  Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Mobius και τον τύπο του Stieltjes κατασκευάζουμε την συνάρτηση μέσα στον κύκλο. Ο όρος i/z δεν αλλάζει, και βρίσκουμε τη συνάρτηση $-iz$. Αυτή έχει το σωστό πραγματικό μέρος στο σύνορο και επίσης μας δίνει το αντίστοιχο φανταστικό μέρος, από μια σταθερά, που ονομάζεται i.

Σκιαγράφηση απόδειξης

Χρησιμοποιώντας το ολοκληρωτικό θεώρημα του Cauchy, μπορεί κανείς να δείξει ότι το ολοκλήρωμα πάνω από το C (ή την καμπύλη με υπολογίσιμο μήκος) είναι ίσο με το ίδιο ολοκλήρωμα που παίρνουμε από έναν αυθαίρετα μικρό κύκλο γύρω από το a. Εφόσον η f(z) είναι συνεχής, μπορούμε να επιλέξουμε έναν κύκλο αρκετά μικρό για τον οποίον η f(z) είναι αυθαίρετα  κοντά στο f(a). Από την άλλη πλευρά, το ολοκλήρωμα

$\oint _{C}{\frac {1}{z-a}}\,dz=2\pi i,$

πάνω από οποιονδήποτε κύκλο C  με κέντρο a. Αυτό μπορεί να υπολογιστεί άμεσα, μέσω παραμετροποίησης (ολοκλήρωση με αντικατάσταση) $z(t)=a+\varepsilon e^{it}$ , όπου 0 ≤ t ≤ 2d και ε είναι η ακτίνα του κύκλου.

Αφήνοντας το ε → 0 παίρνουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα

${\begin{aligned}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz-f(a)\right|&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}\,dz\right|\\[.5em]&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {f(z(t))-f(a)}{\varepsilon \cdot e^{i\cdot t}}}\cdot \varepsilon \cdot e^{i\cdot t}i\right)\,dt\right|\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {|f(z(t))-f(a)|}{\varepsilon }}\,\varepsilon \,dt\\[.5em]&\leq \max _{|z-a|=\varepsilon }|f(z)-f(a)|{\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]{}}0.\end{aligned}}$

Παράδειγμα

Η επιφάνεια του πραγματικού μέρους της συνάρτησης g(z) =z² / (z² + 2z +2) και των ανώμαλων σημείων της, με τις κλειστές καμπύλες που περιγράφονται στο κείμενο.

Έστω

$g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}$,

και έστω C η κλειστή καμπύλη που περιγράφεται από τον |z| = 2 (δηλαδή τον κύκλο ακτίνας 2).

Για να βρούμε το ολοκλήρωμα της g(z) γύρω από την κλειστή καμπύλη C, πρέπει να γνωρίζουμε τα σημεία ανωμαλίας της g(z). Παρατηρήστε ότι μπορούμε να ξαναγράψουμε την g ως εξής:

$g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}$

όπου $z_{1}=-1+i,$ $z_{2}=-1-i.$

Έτσι, το g έχει πόλους στο $z_{1}$ και $z_{2}$. Το μέτρο αυτών των σημείων είναι λιγότερο από 2 και κατά συνέπεια βρίσκονται στο εσωτερικό της κλειστής καμπύλη. Αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί να χωριστεί σε δύο μικρότερα ολοκληρώματα σύμφωνα με το θεώρημα Caychy-Goursat, μπορούμε να εκφράσουμε το ολοκλήρωμα γύρω από την κλειστή καμπύλη ως το άθροισμα των ολοκληρωμάτων γύρω απο τα z₁ και z₂ , όπου εκεί η κλειστή καμπύλη είναι ένας μικρός κύκλος γύρω από κάθε πόλο. Θέτωντας αυτές τις κλειστές καμπύλες C₁ γύρω από το z₁ και C₂ γύρω από το z₂.

Τώρα, κάθε ένα από αυτά τα μικρότερα ολοκληρώματα μπορεί να λυθεί από τον ολοκληρωτικό τύπο του Caucy, αλλά πρώτα πρέπει να ξαναγραφούν για να εφαρμόζεται το θεώρημα. Για το ολοκλήρωμα γύρω από το C₁, ορίζεται η f₁ ως f₁(z)=(z-z₁)g(z). Αυτή είναι αναλυτική, εφόσον η κλειστή καμπύλη δεν περιέχει το άλλο σημείο ανωμαλίας. Μπορούμε να απλοποιήσουμε την f₁ ως εξής:

$f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}$

και τώρα

$g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}$.

Από τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy που λέει ότι:

$\oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a)$,

μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα ως εξής:

$\oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.$

Κάνουμε το ίδιο και για την αλλη κλειστή καμπύλη :

$f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},$

$\oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.$

Το ολοκλήρωμα γύρω από την αρχική κλειστή καμπύλη είναι τότε το άθροισμα αυτών των δύο ολοκληρωμάτων:

${\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}$

Ένα στοιχειώδες τέχνασμα κάνοντας ανάλυση σε απλά κλάσματα

$\oint _{C}g(z)dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i$

Συνέπειες

Ο ολοκληρωτικός τύπος έχει ευρείες εφαρμογές. Πρώτον, διευκρινίζει ότι μια συνάρτηση η οποία είναι ολόμορφη σε ένα ανοιχτό σύνολο είναι στην πραγματικότητα απείρως διαφορίσιμη εκεί. Επιπλέον, είναι μια αναλυτική συνάρτηση, που σημαίνει ότι μπορεί να αναπαρασταθεί ως δυναμοσειρά. Η απόδειξη αυτού χρησιμοποιεί το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης και τις γεωμετρικές σειρές που εφαρμόζεται στο

$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.$

Ο τύπος επίσης χρησιμοποιείται για να αποδείξει το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων, το οποίο είναι αποτέλεσμα των μερόμορφων συναρτήσεων, και ένα σχετικό αποτέλεσμα του πρωτεύοντος ορίσματος. Είναι γνωστό απο το θεώρημα του Morera ότι το ομοιόμορφο όριο σύγλισης των ολόμορφων συναρτήσεων είναι ολομορφικό. Αυτό προκύπτει επίσης και από τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy. Πράγματι ο τύπος κατέχει το όριο και το ολοκλήρωμα και ως εκ τούτου το ολοκλήρωμα, μπορεί να αναπτυχθεί ως δυναμοσειρά. Επιπρόσθετα, ο ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy για τις παραγώγους μεγαλύτερης τάξης δείχνει ότι όλες αυτές οι παράγωγοι συγκλίνουν επίσης ομοιόμορφα.

Ο ανάλογος του ολοκληρωτικού τύπου του Cauchy, στην πραγματική ανάλυση, είναι ο ολοκληρωτικός τύπος Poisson για αρμονικές συναρτήσεις και πολλά από τα αποτελέσματα αυτά για τις ολόμορφες συναρτήσεις μεταφέρονται με αυτήν την αναλογία. Κανένα τέτοιο αποτελέσματα, ωστόσο, δεν είναι έγκυρο για τις περισσότερες γενικές τάξεις των διαφορίσιμων ή πραγματικών αναλυτικών συναρτήσεων. Για παράδειγμα, η ύπαρξη της πρώτης παραγώγου μιας πραγματικής συνάρτησης δεν συνεπάγεται την ύπαρξη μεγαλύτερης τάξης παραγώγων, αλλά ειδικότερα ούτε και την  αναλυτικότητα της συνάρτησης. Ομοίως, το ομοιόμορφο όριο σύγκλισης μιας ακολουθίας (πραγματικής) διαφορίσιμων συναρτήσεων ενδέχεται να μην είναι διαφορίσιμο, ή μπορεί να είναι διαφορίσιμο, αλλά με παράγωγο, η οποία δεν είναι το όριο των παραγώγων των στοιχείων της ακολουθίας.

Μια άλλη συνέπεια είναι ότι, αν f(z) = ∑ a_n zⁿ είναι ολόμορφη στο |z| < R και 0 < r < R , τότε οι συντελεστές a_n ικανοποιούν την ανισότητα του Cauchy.

$\displaystyle {|a_{n}|\leq r^{-n}\sup _{|z|=r}|f(z)|.}$

Γενικεύσεις

Λείες συναρτήσεις

Μια εκδοχή του ολοκληρωτικού τύπου του Κωσύ είναι ο τύπος Cauchy-Pompeiu, που ισχύει επίσης και για λείες συναρτήσεις, καθώς βασίζεται στο Θεώρημα του Stokes. Έστω D ένας δίσκος στο C και ας υποθέσουμε ότι η f είναι μία μιγαδική συνάρτηση C¹ στο κλειστό του D. Στη συνέχεια(Hörmander 1966, Theorem 1.2.1)

$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)dz}{z-\zeta }}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-\zeta }}.$

Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει αυτόν τον τύπο για να λύσει τις ανομοιογενείς εξισώσεις Cauchy-Riemann στο D. Πράγματι, αν η φ είναι μια συνάρτηση στο D, τότε μια συγκεκριμένη λύση f της εξίσωσης είναι ολόμορφη συνάρτηση εξωτερικά από τον φορέα μ. Επιπλέον, αν σε ένα ανοιχτό σύνολο D,

$d\mu ={\frac {1}{2\pi i}}\phi \,dz\wedge d{\bar {z}}$

για κάποιο φ ∈ C^k(D) (k ≥ 1), τότε $f(\zeta ,{\bar {\zeta }})$ είναι επίσης C^k(D) και ικανοποιεί την εξίσωση

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\phi (z,{\bar {z}}).$

Το πρώτο συμπέρασμα είναι, επιγραμματικά, ότι η συνέλιξη μ∗k(z) ενός  συμπαγους μέτρου που υποστηρίζεται από τον πυρήνα Cauchy.

$k(z)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{z}}$

είναι μία ολόμορφη συνάρτηση υπό την υποστήριξη του μ. Εδώ σ.v. δηλώνεται η πρωτεύουσα τιμή. Το δεύτερο συμπέρασμα ισχυρίζεται ότι ο πυρήνας Cauchy είναι μια θεμελιώδης λύση των εξισώσεων Cauchy-Riemann. Σημειώστε ότι για  λείες μιγαδικές συναρτήσεις  f του συμπαγού φορέα στο C, ο γενικευμένος ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy απλοποιείται σε

$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\iint {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }},$

και είναι μια επιβεβαίωση του γεγονότος ότι, θεωρώντας τον ως κατανομή, $(\pi z)^{-1}$ είναι μια θεμελιώδης λύση του τελεστή Cauchy-Riemann $\partial /\partial {\overline {z}}$. Ο γενικευμένος ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy μπορεί να συναχθεί για οποιοδήποτε φραγμένη ανοικτή περιοχή του X με C¹ σύνορο ∂X και  από αυτό το αποτέλεσμα και τον τύπο της κατανομής παράγωγου της  χαρακτηριστικής συνάρτηση χ_X του X:

${\partial \chi _{X} \over \partial {\overline {z}}}={i \over 2}\oint _{\partial X}dz,$

όπου η κατανομή στη δεξιά πλευρά δηλώνει την κλειστή καμπύλη ολοκλήρωσης κατά μήκος ∂X.

Πολλαπλές  μεταβλητές

Στις πολλαπλές μιγαδικές μεταβλητές, ο ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy μπορεί να γενικευθεί για πολυδίσκους.(Hörmander 1966, Theorem 2.2.1) Έστω D ένας πολυδίσκος που δίνεται ως το καρτεσιανό γινόμενο των n ανοιχτών  δίσκών D₁, ..., D_n:

$D=\prod _{i=1}^{n}D_{i}.$

Ας υποθέσουμε ότι η f είναι μία ολόμορφη συνάρτηση συνεχής στο κλειστό του D. Tότε

$f(\zeta )={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int \cdots \iint _{\partial D_{1}\times \dots \times \partial D_{n}}{\frac {f(z_{1},\dots ,z_{n})}{(z_{1}-\zeta _{1})\dots (z_{n}-\zeta _{n})}}\,dz_{1}\cdots dz_{n}$

όπου ζ = (d₁,...,z_n) ∈ D.

Στην άλγεβρα των πραγματικών

Ο ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy γενικεύεται σε πραγματικούς διανυσματικούς χώρους δύο ή περισσότερων διαστάσεων. Η επίγνωση αυτής της ιδιότητας προέρχεται από τη γεωμετρική άλγεβρα, όπου τα αντικείμενα πέρα από μονόμετρα και διανυσματικά (όπως τα δισδιάστατα επίπεδα και τα τρισδιάστατα ογκομετρικά) θεωρούνται, και μια κατάλληλη  γενίκευση του θεωρήματος του Στόουκς.

Ο γεωμετρικός λογισμός προσδιορίζει ένα διαφορικό τελεστή $\nabla ={\hat {e}}_{i}\partial _{i}$ υπό το γεωμετρικό γινόμενο—που είναι, για ένα $k$-διανυσματικό πεδίο $\psi ({\vec {r}})$, η παράγωγος $\nabla \psi$ γενικά περιέχει όρους βαθμού $k+1$ και $k-1$. Για παράδειγμα, ένα διανυσματικό πεδίο ($k=1$) γενικά έχει στην παράγωγο ένα μονόμετρο μέρος, την απόκλιση ($k=0$), και ένα διανυσματικό μέρος, το στροβιλισμό ($k=2$). Αυτόν τον συγκεκριμένο διαφορικό τελεστή έχει η συνάρτηση του Green:

$G({\vec {r}},{\vec {r}}')={\frac {1}{S_{n}}}{\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{n}}}$

όπου $S_{n}$ είναι η επιφάνεια της μοναδιαίας σφαίρας στο χώρο (δηλαδή $S_{2}=2\pi$, η περιφέρεια ενός κύκλου με ακτίνα 1 και $S_{3}=4\pi$, η επιφάνεια μιας σφαίρας με ακτίνα 1). Από τον ορισμό της συνάρτησης του Green έχουμε $\nabla G({\vec {r}},{\vec {r}}')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')$. Αυτή είναι μια  χρήσιμη ιδιότητα που μπορεί να εφαρμοστεί, σε συνδυασμό με το γενικευμένο θεώρημα Stokes:

$\oint _{\partial V}d{\vec {S}}\;f({\vec {r}})=\int _{V}d{\vec {V}}\;\nabla f({\vec {r}})$

όπου, για ένα $n$-διάστατο διανυσματικό χώρο, $d{\vec {S}}$ είναι ένα (n-1)-διάνυσμα και $d{\vec {V}}$ είναι ένα n-διάνυσμα. Η συνάρτηση $f({\vec {r}})$ μπορεί, καταρχήν, να αποτελείται από οποιοδήποτε συνδυασμό των πολυδιανυσμάτων. Η απόδειξη του ολοκληρωτικού τύπου του Cauchy για χώρους μεγαλύτερων διαστάσεων βασίζεται στη χρήση του γενικευμένου θεωρήματος του Stokes για την ποσότητα $G({\vec {r}},{\vec {r}}')f({\vec {r}}')$ και τη χρήση του κανόνα του γινομένου:

$\oint _{\partial V'}G({\vec {r}},{\vec {r}}')\;d{\vec {S}}'\;f({\vec {r}}')=\int _{V}\left([\nabla 'G({\vec {r}},{\vec {r}}')]f({\vec {r}}')+G({\vec {r}},{\vec {r}}')\nabla 'f({\vec {r}}')\right)\;d{\vec {V}}$

όταν $\nabla {\vec {f}}=0$, $f({\vec {r}})$ ονομάζεται η μονογενής συνάρτηση, η γενίκευση της ολόμορφης συνάρτησης για  χώρους μεγαλύτερων διαστάσεων—πράγματι, μπορεί να αποδειχθεί ότι η συνθήκη Cauchy-Riemann είναι η έκφραση της μονογενούς συνθήκης σε δύο διαστάσεις. Όταν πληρούται η συνθήκη αυτή, ο δεύτερος όρος στο δεξί μέρος του ολοκληρώματος εξαφανίζεται, αφήνοντας μόνο

$\oint _{\partial V'}G({\vec {r}},{\vec {r}}')\;d{\vec {S}}'\;f({\vec {r}}')=\int _{V}[\nabla 'G({\vec {r}},{\vec {r}}')]f({\vec {r}}')=-\int _{V}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')f({\vec {r}}')\;d{\vec {V}}=-i_{n}f({\vec {r}})$

όπου $i_{n}$ είναι το μοναδιαίο n-διάνυσμα της άλγεβρας, το ψευδοαριθμητικό. Το αποτέλεσμα είναι

$f({\vec {r}})=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}G({\vec {r}},{\vec {r}}')\;d{\vec {S}}\;f({\vec {r}}')=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}{\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{S_{n}|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{n}}}\;d{\vec {S}}\;f({\vec {r}}')$

Έτσι, όπως και στην περίπτωση της δισδιάστατης (μιγαδικής ανάλυσης), η τιμή μιας αναλυτικής (μονογενούς) συνάρτησης σε ένα σημείο μπορεί να βρεθεί με ένα ολοκλήρωμα πάνω στην επιφάνεια γύρω από το σημείο, και αυτό δεν ισχύει μόνο για μονόμετρες συναρτήσεις, αλλά καθώς και για διανυσματικές και γενικά πολυδιανυσματικές συναρτήσεις.

Βιβλιογραφία

Ελληνική

• Χατζηαφράτης, Τηλέμαχος· Μερκουράκης, Σοφοκλής (2005). Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. Αθήνα: Εκδόσεις Συμμετρία. ISBN 978-960-266-148-2. 

Ξενόγλωσση

• Ahlfors, Lars (1979), Complex analysis (3rd έκδοση), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-000657-7 .
• [1] [2] D. Pompeiu, Sur la continuité des fonctions de variables complexes, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Sér. 2, 7 no. 3 (1905), p. 265–315
• Titchmarsh, E.C. (1939), Theory of functions (2nd έκδοση), Oxford University Press 
• Hörmander, Lars (1966), An introduction to complex analysis in several variables, Van Nostrand 
• Hörmander, Lars (1983), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer, ISBN 3-540-12104-8 
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003), Geometric Algebra for Physicists, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-71595-9 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Cauchy integral», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/c020890 
• Weisstein, Eric W., "Cauchy Integral Formula" από το MathWorld.