Θεώρημα διχοτόμου

Εσωτερική διχοτόμος $\mathrm {A\Delta }$ της κορυφής $\mathrm {A}$ στο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$. Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου λέει ότι ${\tfrac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\tfrac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα διχοτόμου (ή αλλιώς θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου ή πρώτο θεώρημα διχοτόμου) λέει ότι σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ η διχοτόμος $\mathrm {A\Delta }$ ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά $\mathrm {B\Gamma }$ σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών. Δηλαδή,

${\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.$

Εξωτερική διχοτόμος $\mathrm {A\Delta '}$ της κορυφής $\mathrm {A}$ στο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$. Το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι ${\tfrac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\tfrac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}$.

Το δεύτερο θεώρημα διχοτόμου (ή θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου) λέει ότι η εξωτερική διχοτόμος $\mathrm {A\Delta '}$ ενός τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {AB} <\mathrm {A\Gamma }$ ικανοποιεί

${\frac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.$

Αποδείξεις

Απόδειξη (με θεώρημα Θαλή)  

Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή $\mathrm {B}$ στην $\mathrm {A\Delta }$, που τέμνει την προέκταση της $\mathrm {A\Gamma }$ στο σημείο $\mathrm {E}$.

Από την παραλληλία, προκύπτει ότι ${\widehat {\rm {BEA}}}={\widehat {\rm {\Delta A\Gamma }}}$ (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και ${\widehat {\rm {ABE}}}={\widehat {\rm {BA\Delta }}}$ (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως,

${\widehat {\rm {BEA}}}={\widehat {\rm {ABE}}}={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {A} }},$

και άρα το τρίγωνο $\mathrm {ABE}$ είναι ισοσκελές με $\mathrm {AE} =\mathrm {AB}$.

Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες $\mathrm {A\Delta }$ και $\mathrm {BE}$, έχουμε ότι:

${\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AE} }{\mathrm {A\Gamma } }}\Rightarrow {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}$.

$\square$

Απόδειξη (με τύπο για τα εμβαδά)  

θα χρησιμοποιήσουμε τους εξής δύο τύπους για το εμβαδόν τριγώνου:

$\mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}})={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{πρώτη πλευρά }})\cdot ({\text{δεύτερη πλευρά}})\cdot \sin({\text{μεταξύ τους γωνία}}).$

Παρατηρήστε ότι τα τρίγωνα $\mathrm {A\Delta B}$ και $\mathrm {A\Delta \Gamma }$ έχουν κοινό ύψος το $\mathrm {AH}$. Επομένως τα εμβαδά τους δίνονται από

$(\mathrm {A\Delta B} )=\mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {AB} \cdot \sin {\tfrac {\hat {\mathrm {A} }}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \mathrm {AH} ,$

και

$(\mathrm {A\Delta \Gamma } )=\mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {A\Gamma } \cdot \sin {\tfrac {\hat {\mathrm {A} }}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {AH} .$

Διαιρώντας κατά μέλη αυτές τις δύο ισότητες λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση:

${\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}={\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}.$

$\square$

Εφαρμογές

Διχοτόμοι τριγώνου συντρέχουν

Έστω $\mathrm {A\Delta _{A}}$, $\mathrm {B\Delta _{B}}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}$ οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου. Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα έχουμε ότι οι διχοτόμοι συντρέχουν, καθώς

${\frac {\mathrm {B\Delta _{A}} }{\mathrm {\Gamma \Delta _{A}} }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma \Delta _{B}} }{\mathrm {A\Delta _{B}} }}\cdot {\frac {\mathrm {A\Delta _{\Gamma }} }{\mathrm {B\Delta _{\Gamma }} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\mathrm {AB} }}\cdot {\frac {\mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {B\Gamma } }}=1.$

Το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι διχοτόμοι λέγεται το έγκεντρο του τριγώνου.

Υπολογισμός ΒΔ και ΓΔ

Έστω $\alpha =\mathrm {B\Gamma }$, $\beta =\mathrm {B\Gamma }$ και $\gamma =\mathrm {AB}$, τότε

$\mathrm {B\Delta } ={\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta } ={\frac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}$.

Απόδειξη  

Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου έχουμε ότι

${\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\gamma }{\beta }},$

και επίσης ισχύει ότι $\mathrm {B\Delta } +\mathrm {\Gamma \Delta } =\alpha$. Επομένως,

$\mathrm {B\Delta } +\mathrm {B\Delta } \cdot {\frac {\beta }{\gamma }}=\alpha \Rightarrow \mathrm {B\Delta } ={\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}.$

Αντίστοιχα και για την $\mathrm {\Gamma \Delta }$.

$\square$

Συντεταγμένες για το έγκεντρο

Έστω ${\vec {\mathrm {A} }},{\vec {\mathrm {B} }},{\vec {\Gamma }}$ τα διανύσματα των τριών κορθφών των τριγώνων. Τότε, από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου και την σχέση των $\mathrm {B\Delta _{A}}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta _{A}}$, το σημείο $\Delta _{A}$ της διχοτόμου δίνεται από

${\vec {\mathrm {\Delta _{A}} }}={\frac {\alpha }{\beta +\gamma }}\cdot \left({\vec {\mathrm {B} }}+{\vec {\Gamma }}\right)$.

Επομένως, η εξίσωση της διχοτόμου $\mathrm {A\Delta _{A}}$ δίνεται από

$t\cdot {\vec {\mathrm {A} }}+(1-t)\cdot {\frac {\alpha }{\beta +\gamma }}\cdot \left({\vec {\mathrm {B} }}+{\vec {\Gamma }}\right)$,

για $t\in [0,1]$. Αντίστοιχα, και για τις άλλες διχοτόμους. Το μοναδικό σημείο που ικανοποιεί και τις τρεις εξισώσεις ταυτόχρονα είναι το

${\vec {\mathrm {I} }}={\frac {1}{\alpha +\beta +\gamma }}\cdot \left(\alpha \cdot {\vec {\mathrm {A} }}+\beta \cdot {\vec {\mathrm {B} }}+\gamma \cdot {\vec {\mathrm {\Gamma } }}\right)$.

Επομένως, αυτό είναι το έγκεντρο του τριγώνου.

Απολλώνιος κύκλος

Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του γεωμετρικού τόπου των σημείων $\mathrm {P}$ των οποίων οι αποστάσεις από δοσμένα σημεία $\mathrm {A}$ και $\mathrm {B}$, έχουν σταθερό λόγο $k$. Δηλαδή,

$k={\frac {\mathrm {PA} }{\mathrm {PB} }}.$

Ο γεωμετρικός τόπος αυτών των σημείων είναι ο Απολλώνιος κύκλος.

Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

Απόδειξη

Η απόδειξη είναι η ίδια με αυτή της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιώντας το θεώρημα τομής του Θαλή, αλλά το σχήμα είναι διαφορετικό. Για πληρότητα, παραθέτουμε την απόδειξη παρακάτω:

Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή $\mathrm {B}$ στην $\mathrm {A\Delta }$, που τέμνει την προέκταση της $\mathrm {A\Gamma }$ στο σημείο $\mathrm {E}$.

Από την παραλληλία, προκύπτει ότι ${\widehat {\rm {BEA}}}={\widehat {\rm {\Delta A\Gamma }}}$ (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και ${\widehat {\rm {ABE}}}={\widehat {\rm {BA\Delta }}}$ (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως,

${\widehat {\rm {BEA}}}={\widehat {\rm {ABE}}}={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {A} }},$

και άρα το τρίγωνο $\mathrm {ABE}$ είναι ισοσκελές με $\mathrm {AE} =\mathrm {AB}$.

Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες $\mathrm {A\Delta }$ και $\mathrm {BE}$, έχουμε ότι:

${\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AE} }{\mathrm {A\Gamma } }}\Rightarrow {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}$.

$\square$

Υπολογισμός των ΒΔ' και ΓΔ'

Από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου και χρησιμοποιώντας ότι $\gamma =\mathrm {B\Delta '} -\mathrm {\Gamma \Delta '}$, προκύπτει ότι

$\mathrm {B\Delta '} ={\frac {\alpha \gamma }{\beta -\gamma }}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta '} ={\frac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}$.

Δείτε επίσης

• Διχοτόμος γωνίας
• Έγκεντρο τριγώνου
• Απολλώνιος κύκλος