Θεωρία σφαλμάτων

Θεωρία σφαλμάτων ονομάζεται η θεωρία που ασχολείται με το σφάλμα στις μετρήσεις. Κάθε φορά που γίνεται μία μέτρηση με κάποιο όργανο στο εργαστήριο υπάρχει μια κάποια αναπόφευκτη και ποσοτικά εκφρασμένη έλλειψη ακρίβειας. Η θεωρία σφαλμάτων μελετά τρόπους για τον ακριβή προσδιορισμό της ακρίβειας μέτρησης η ισοδύναμα τον ακριβή προσδιορισμό του σφάλματος.

Ο όρος σφάλμα χρησιμοποιείται εδώ με την στατιστική έννοια του σφάλματος, δηλαδή με την έννοια της στατιστικής απόκλισης, και όχι με την έννοια του "μη-ορθού" ή του "λάθους". Το σφάλμα ορίζεται ως η έλλειψη ακρίβειας που υπάρχει αναγκαστικά στις μετρήσεις και στα όργανα και μεθόδους μέτρησης. Αν υπάρχουν πολλοί παράγοντες σφάλματος, τότε ως σφάλμα μέτρησης ορίζεται το μεγαλύτερο σφάλμα.

Η απόκλιση του σφάλματος από την πραγματική τιμή που θέλουμε να μετρήσουμε περιορίζει την ακρίβεια της μέτρησης. Η ακρίβεια της μέτρησης είναι μέτρο της ποιότητάς της. Γενικά, χρειάζεται προσοχή κατά τη μέτρηση και κατανόηση του πειράματος και της θεωρίας στην οποία στηρίζεται. Κατά την καταγραφή της εκτιμώμενης πραγματικής τιμής χρειάζεται να αναφέρεται και η ακρίβειά της. Αυτό γίνεται με τον προσδιορισμό της ακρίβειας σε μονάδες της τιμής και με την αναγραφή του δεξιά της τιμής συνοδευόμενο με το διπλό πρόσημο ±. Για παράδειγμα η τιμή (14±1) m σημαίνει πως εκτιμώμενη πραγματική τιμή είναι τα 14 μέτρα με ακρίβεια 1 μέτρου. Η ακρίβεια μπορεί να γίνει εμφανής και στις γραφικές παραστάσεις.

Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η αρχή της απροσδιοριστίας αναφέρεται σε χαρακτηριστικές περιπτώσεις σφαλμάτων, αφού συσχετίζει τις ακρίβειες δύο μεγεθών. Η σημασία του σφάλματος είναι τέτοια που μπορεί να κρίνει το αποτέλεσμα του πειράματος. Χαρακτηριστική είναι η περίπτωση όπου στην έκλειψη ηλίου παρατηρήθηκε το φαινόμενο της κάμψης του φωτός, αλλά αργότερα το αποτέλεσμα αμφισβητήθηκε, γιατί το σφάλμα ήταν αρκετά μεγάλο για να εξαχθεί το συμπέρασμα. Υπάρχουν 2 είδη σφαλμάτων Αντικειμενικά και Υποκειμενικά.

Είδη σφαλμάτων

Τα σφάλματα χωρίζονται σε κατηγορίες, ώστε όταν εντοπιστούν να μπορούμε με βάση την εμπειρία να τα παρακάμψουμε. Επιπλέον, είναι χρήσιμο να προβλέπονται τα σφάλματα και να ερμηνεύεται η προέλευσή τους. Μερικά είδη σφαλμάτων είναι:

• Τυχαία σφάλματα καταγράφονται, όταν προκύπτουν διαφορετικές τιμές από επαναλαμβανόμενες μετρήσεις ενός μεγέθους, που οφείλονται σε ένα συνδυασμό τυχαίων παραγόντων, που εμπλέκονται στη διαδικασία των μετρήσεων. Η λήψη πολλαπλών μετρήσεων είναι ο πιο αξιόπιστος τρόπος απαλοιφής σφαλμάτων από μεμονωμένες μετρήσεις, εξάγοντας έτσι ασφαλέστερα συμπεράσματα, με την προϋπόθεση, ότι διατηρούνται οι ίδιες ακριβώς πειραματικές συνθήκες σε κάθε επανάληψη μέτρησης του αυτού μεγέθους. Τα τυχαία σφάλματα εκτιμώνται μέσω στατιστικής ανάλυσης, από τις οποίες προκύπτει η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση (σφάλμα μέσης τιμής) γύρω από την μέση τιμή. Σε αντίθεση με τα συστηματικά, τα τυχαία σφάλματα είναι αναπόφευκτα.
• Συστηματικά σφάλματα καταγράφονται, όταν κατά την πειραματική διαδικασία ενυπάρχουν παράγοντες, που μετατοπίζουν σταθερά την μετρούμενη τιμή σε σχέση την πραγματική τιμή, όπως στην περίπτωση μετάθεσης του μηδενός, εσφαλμένης βαθμονόμησης ή άλλων κατασκευαστικών ατελειών. Δεν μπορούν να προσδιοριστούν με στατιστικές μεθόδους. Μεταξύ αυτών περιλαμβάνονται τα:
  • Υποκειμενικά σφάλματα, τα οποία εμπεριέχουν τον ανθρώπινο παράγοντα και μπορούν να περιοριστούν αρκετά από έμπειρους πειραματιστές. Αυτά περιλαμβάνουν τα:
    • Σφάλματα ανάγνωσης: Περιλαμβάνουν τη λανθασμένη ανάγνωση της ένδειξης μιας κλίμακας, όπως ενός χάρακα ή ενός βολτομέτρου. Τέτοιου είδους λάθη, προερχόμενα από αναλογικά όργανα μέτρησης, μπορούν να περιοριστούν με τη χρήση αντίστοιχων ψηφιακών οργάνων, χωρίς αυτό να σημαίνει, ότι τα τελευταία είναι ελεύθερα σφαλμάτων ανάγνωσης. Επομένως, δεν υπάρχει μέτρηση χωρίς σφάλμα.
    • Σφάλματα διακριτικής ικανότητας: Αυτά υπεισέρχονται στις μετρήσεις, όταν ο δείκτης του οργάνου βρίσκεται μεταξύ δύο υποδιαιρέσεων της κλίμακας, οπότε είναι αδύνατη η εκτίμηση της μέτρησης με ακρίβεια μεγαλύτερη, από τη διακριτική ικανότητα, που παρέχει το όργανο. Επίσης, το πάχος της γραμμής, που αντιστοιχεί στην υποδιαίρεση της κλίμακας μπορεί να αποτελέσει πηγή εσφαλμένης εκτίμησης, γι' αυτό προτιμούνται λεπτές γραμμές διαμέρισης της κλίμακας. Προκειμένου για ψηφιακή ένδειξη, η διακριτική ικανότητα εξαντλείται στο τελευταίο ψηφίο, το οποίο μπορεί να ταλαντεύεται μεταξύ διαφορετικών τιμών. Γενικά, ως σφάλμα διακριτικής ικανότητας, θεωρείται το μισό της μικρότερης υποδιαίρεσης που φέρουν τα αναλογικά όργανα μέτρησης, ή η τάξη μεγέθους του τελευταίου ψηφίου των ψηφιακών οργάνων μέτρησης.
    • Σφάλματα παράλλαξης: Εάν η ένδειξη γίνεται με τη βοήθεια βελόνας, χρειάζεται σωστή οπτική γωνία για τη σωστή ανάγνωση, αλλιώς η μέτρηση θα είναι λάθος. Για την αποφυγή αυτού του σφάλματος, τα όργανα αυτά διαθέτουν κάτοπτρο. Η οπτική γωνία είναι σωστή, όταν δε φαίνεται το κατοπτρικό της είδωλο.
    • Σφάλματα μελετητών: Αυτά εισάγονται κατά την καταγραφή, εκτίμηση ή ερμηνεία των μετρήσεων και περιλαμβάνουν τις παρανοήσεις ψηφίων ή συμβόλων, όπως η ανάγνωση ενός κακογραμμένου 0 ως 6 ή η ανάγνωση λ.χ. του ε (της διηλεκτρικής σταθεράς), σαν e (τη σταθερά του Όιλερ).
  • Σφάλματα των οργάνων, που οφείλονται αντικειμενικά σε περιορισμούς μετρήσεων, δυσλειτουργία από λάθος της κατασκευής, ή υπολειτουργία λόγω φθοράς από το χρόνο ή τη συχνή χρήση. Σε αυτά περιλαμβάνονται:
    • Σφάλματα βαθμονόμησης: Αυτά εισάγονται όταν οι ενδείξεις της κλίμακας δεν αντιστοιχούν στις πραγματικές τιμές του μετρούμενου μεγέθους, όπως π.χ. ένας μεταλλικός χάρακας, που βρίσκεται σε πολύ υψηλές ή πολύ χαμηλές θερμοκρασίες. Τέτοια σφάλματα διορθώνονται με τη συχνή σύγκριση των οργάνων με πρότυπα ομοειδή όργανα.
    • Σφάλματα μετάθεσης του μηδενός: Αυτά σημειώνονται, όταν η αρχή της μέτρησης δεν συμπίπτει με την ένδειξη "μηδέν" του οργάνου, με αποτέλεσμα η τελική μέτρηση να υπολείπεται ή να υπερτερεί της πραγματικής τιμής, όπως λ.χ. ο μη μηδενισμός του ζυγού πριν τη ζύγιση ή η μη σύμπτωση των αρχών των κλιμάκων ενός βερνιέρου, όταν οι σιαγόνες του εφάπτονται. Εφόσον πρόκειται για συστηματικό σφάλμα, η μετάθεση του μηδενός πρέπει να λαμβάνεται υπ’όψη κατά τις μετρήσεις και να γίνεται προσθετική ή αφαιρετική διόρθωση, ανάλογα.
    • Σφάλματα ορίων μέτρησης οργάνου: Κάθε όργανο έχει μία ελάχιστη και μία μέγιστη τιμή, ενώ δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση μικρότερων ή μεγαλύτερων τιμών. Η ελάχιστη τιμή που μπορεί να μετρηθεί με το όργανο είναι το ελάχιστο δυνατό σφάλμα της μέτρησης.
    • Σφάλματα του κατασκευαστή: Κάθε όργανο μέτρησης αναγράφει, συνήθως, την ακρίβεια, που δίνει ο κατασκευαστής. Ιδανικά, το σφάλμα που οφείλεται στην ακρίβεια του οργάνου πρέπει να είναι μικρότερο από το σφάλμα ανάγνωσης, ώστε το πρώτο να θεωρείται αμελητέο. Εάν, όμως, το σφάλμα ακρίβειας του κατασκευαστή είναι της ίδιας ή μεγαλύτερης τάξης του σφάλματος ανάγνωσης, τότε πρέπει να κρατηθεί το πρώτο και να αγνοηθεί το δεύτερο.
  • Σφάλματα χρησιμοποιούμενης μεθόδου, όπως τα:
    • Σφάλματα λόγω στρογγυλοποίησης: Εισάγονται ύστερα από υπολογισμούς κατά την επεξεργασία μετρήσεων, όταν ορισμένες τιμές πρέπει να στρογγυλοποιηθούν ανάλογα με το αντίστοιχο σφάλμα τους στο πρώτο σημαντικό ψηφίο. Προκειμένου να αποφευχθούν τέτοιους είδους σφάλματα, διατηρούνται δύο σημαντικά ψηφία, κατά τους υπολογισμούς τους.

Πολλαπλά σφάλματα

Επειδή στη διαδικασία μιας μέτρησης δεν υπεισέρχεται ποτέ μόνο ένα σφάλμα, αλλά περισσότερα (κυρίως τρία είδη σφαλμάτων: μέσης τιμής, ανάγνωσης και κατασκευαστή), γενικά λαμβάνεται υπ' όψιν πάντα το μεγαλύτερο από αυτά.

Κριτήρια εκτίμησης σφάλματος

Σχετικό σφάλμα

Το απόλυτο σφάλμα μιας μέτρησης συχνά δεν δίνει την αίσθηση του πόσο μικρό ή μεγάλο είναι. Για το λόγο αυτό, χρησιμοποιείται το σχετικό σφάλμα , η, που εκφράζει το λόγο του απόλυτου σφάλματος, δx, προς την τιμή του μετρούμενου μεγέθους, x:
η=δx/x.

Εφόσον τα σφάλματα μέτρησης είναι εντός της επιθυμητής ακρίβειας, τα απόλυτα σφάλματα θεωρούνται:
α) μικρά, εάν τα αντίστοιχα σχετικά σφάλματα είναι μικρότερα ή περίπου ίσα με 5% και
β) μεγάλα, εάν τα αντίστοιχα σχετικά σφάλματα είναι μεγαλύτερο από 10%, οπότε χρειάζεται περισσότερη προσπάθεια βελτίωση των συσκευών και διαδικασιών μέτρησης, ώστε να μειωθούν οι πηγές των σφαλμάτων.

Σχετική απόκλιση

Παρόμοια με τα παραπάνω, η απόλυτη απόκλιση μιας μέτρησης, x, από μια δεδομένη ή αναμενόμενη τιμή, x_α, δεν δίνει την αίσθηση του πόσο μικρή ή μεγάλη είναι. Έτσι, εφαρμόζεται η σχετική απόκλιση, θ, ως η απόλυτη τιμή της διαφοράς της αναμενόμενης τιμής από την ευρεθείσα ως προς την αναμενόμενη τιμή:
θ=|x_α-x|/x_α.

Προσδιορισμός τιμής

Η διαπίστωση και εκτίμηση της ακρίβειας μέτρησης μπορεί να γίνει με την επανάληψη της μέτρησης. Όσο λιγότερο αποκλίνουν οι μετρούμενες τιμές, τόσο ακριβέστερο είναι το αποτέλεσμα που θα καταγράψουμε ως τιμή της μέτρησης. Ταυτόχρονα, όσο περισσότερο επαναλαμβάνεται μια τιμή, τόσο πιο πιθανό είναι η συγκεκριμένη τιμή να είναι η πραγματική τιμή.

Το φαινόμενο της επαναλαμβανόμενης μέτρησης της ίδιας τιμής ονομάζεται επαναληψιμότητα της τιμής. Έτσι, η τιμή με τη μεγαλύτερη επαναληψιμότητα μάλλον είναι η πραγματική τιμή. Πριν όμως καταλήξουμε σε αυτό το συμπέρασμα πρέπει να ελέγξουμε αν κάποιο σφάλμα επαναλαμβάνεται συστηματικά (συστηματικό σφάλμα), για παράδειγμα σε μια μέτρηση μήκους δεν βλέπουμε ότι το μέτρο που χρησιμοποιούμε δεν είναι εκατοστά αλλά ίντσες.

Με βάση τα παραπάνω, αν γίνουν πολλές μετρήσεις και δείχνουν την ίδια τιμή, τότε σχεδόν σίγουρα η πραγματική τιμή του μεγέθους είναι αυτή η τιμή.

Αντίθετα, αν σε πολλές επαναλήψεις μετρηθούν πολλές τιμές και μερικές από αυτές αποκλίνουν αρκετά, τότε χρησιμοποιούμε ορισμένες μεθόδους, για την απαλοιφή των ακραίων τιμών και τον υπολογισμό της κεντρικής τιμής των μετρήσεων. Ως κεντρική τιμή των εγκεκριμένων μετρήσεων συνήθως λαμβάνουμε τη μέση τιμή τους (τον αριθμητικό μέσον όρο). Θεωρούμε ότι αυτή η κεντρική τιμή είναι η πραγματική, γιατί σύμφωνα με τη θεωρία των πιθανοτήτων αυτή η τιμή είναι πιο πιθανό να είναι η πραγματική τιμή.

Κριτήριο απόρριψης ακραίας τιμής

Συχνά, τυχαίνει μια τιμή μέτρησης να διαφέρει σημαντικά σε σχέση με τις υπόλοιπες, εγείροντας το ερώτημα, εάν αυτή πρέπει τελικά να ληφθεί υπόψη μαζί με τις άλλες ή να απορριφθεί. Επειδή η εξαίρεση μιας ή περισσότερων τιμών μπορεί να αλλοιώσει σοβαρά το τελικό αποτέλεσμα (ειδικά, όταν ο αριθμός των μετρήσεων είναι περιορισμένος), υπάρχουν στατιστικά κριτήρια, τα οποία κάποιος μπορεί να εφαρμόσει, ώστε να αποφασίσει εάν η υπό εξέταση τιμή, πρέπει να εξαιρεθεί από το σύνολο των μετρήσεων.

Ειδικότερα, το κριτήριο Chauvenet προβλέπει, ότι σε ένα σύνολο Ν μετρήσεων x, μια εξ αυτών ακραία τιμή, x_k, πρέπει να απορριφθεί, εφόσον η παράμετρος u=Ν*[1-P(<|x_μ-x_k|)] δεν υπερβαίνει τον αριθμό 0.5, όπου P είναι η πιθανότητα να βρεθεί μια μέτρηση, που να απέχει από τη μέση τιμή όλων των τιμών του συνόλου, x_μ, λιγότερο από την υπό εξέταση, x_k και η οποία προκύπτει από το ολοκλήρωμα της κανονικής κατανομής ως προς dx με μέση τιμή 0 και διασπορά όλων των τιμών του συνόλου, σ_x², μεταξύ των ορίων -|x_μ-x_k| και +|x_μ-x_k|. Η λύση του προηγούμενου ολοκληρώματος γίνεται μόνο αριθμητικά και παρέχεται μέσω πινάκων (βλ. αναλυτικά σ.σ. 25-26 και 36 του φυλλαδίου ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΚΠΑ). Πρακτικά, η παράμετρος u φανερώνει πόσες ακραίες τιμές δικαιολογούνται στατιστικά εντός του συνόλου των τιμών. Εάν δικαιολογείται έστω και μισή ακραία τιμή, τότε αυτή δεν πρέπει να εξαιρεθεί από το σύνολο τιμών, διαφορετικά πρέπει να απορριφθεί ως απαράδεκτη!

Υπολογισμοί

Εκτός από τη μέτρηση το σφάλμα θα εξακολουθεί να υπάρχει και στους υπολογισμούς με τη συγκεκριμένη τιμή, ακόμα και αν θεωρήσουμε ότι όλες οι πράξεις γίνονται σωστά. Η εμπειρία έχει δείξει ότι η πιθανότητα να υπάρξει υπολογιστικό σφάλμα αυξάνεται σημαντικά μαζί με το πλήθος και την πολυπλοκότητα των πράξεων, για αυτό αναζητούνται συνεχώς αποδοτικές και ελέγξιμες υπολογιστικές μέθοδοι. Υπάρχουν και κανόνες που αναφέρονται στην ακρίβεια του αποτελέσματος των υπολογισμών, όπως είναι η έννοια των σημαντικών ψηφίων και της στρογγυλοποίησης.

Πηγές

• Εισαγωγή στη Θεωρία Σφαλμάτων, Εργαστήριο Φυσικής, Τμήμα Φυσική Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών
• Μπεθάνης Κ., Καρπούζας Μ. & Τζαμαλής Π., "ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ", Φυλλάδιο Θεωρίας Εργαστηρίου Φυσικής, Τμήματος Βιοτεχνολογίας, Γεωπονικού Πανεπιστημίου Αθηνών, ΑΘΗΝΑ 2013-14.