Παραγοντικό: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε

Ενδογραμμικά

Έκδοση από την 13:22, 25 Νοεμβρίου 2021

$ν$	$ν!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	1.551121004×10²⁵
50	3.041409320×10⁶⁴
70	1.197857167×10¹⁰⁰
100	9.332621544×10¹⁵⁷
450	1.733368733×10¹⁰⁰⁰
1000	4.023872601×10²⁵⁶⁷
3249	6.412337688×10¹⁰⁰⁰⁰
10000	2.846259681×10³⁵⁶⁵⁹
25206	1.205703438×10¹⁰⁰⁰⁰⁰
100000	2.824229408×10⁴⁵⁶⁵⁷³
205023	2.503898932×10^1000004
1000000	8.263931688×10^5565708
10¹⁰⁰	10^{10^{101.9981097754820}}

Στα μαθηματικά τo παραγοντικό ενός φυσικού αριθμού ν συμβολίζεται με ν!, διαβάζεται νι παραγοντικό, και είναι το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων με ν: ν! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ ν

Για παράδειγμα,

2!=1·2= 2

3!=1·2·3= 6

4!=1·2·3·4= 24

5!=1·2·3·4·5= 120

8!=1·2·3·4·5·6·7·8= 40.320

10!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10= 3.628.800

12!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12= 479.001.600

Το παραγοντικό ενός αριθμού ν εκφράζει και το πλήθος των δυνατών μεταθέσεων των ν στοιχείων ενός συνόλου, δηλαδή το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να βάλουμε σε μια σειρά τα ν στοιχεία ενός συνόλου.

Συμβατικά: 0! = 1! = 1^[1]^[2]
Ισχύει η σχέση: ν! = (ν-1)! ∙ ν

Ένας άλλος τρόπος να προσεγγίσουμε το 0! είναι ακολουθόντας ένα μοτίβο το οποίο έχει ως εξής.

5!=120

4!=5!/5=24

3!=4!/4=6

2!=3!/3=2

1!=2!/2=1

0!=1!/1=1

Αντιπαραγοντικό

Το αντιπαραγοντικό ενός φυσικού αριθμού ν συμβολίζεται με !ν, διαβάζεται νι αντιπαραγοντικό, και είναι το πηλίκο όλων των θετικών ακέραιων μικρότερων ή ίσων με ν.

Ορίζεται ως 1/ν! δηλαδή είναι η πιθανότητα εντοπισμού ενός μοναδικού επιθυμητού στοιχείου από το σύνολο στοιχείων ν!. Στο !ν οι αριθμοί στοιχίζονται με αύξουσα σειρά, ξεκινώντας από το 1 και χρησιμοποιώντας μόνο θετικούς ακέραιους χωρίς να παραλειφθεί κανένας.

Για παράδειγμα,

το σύνολο 2!= 2, μας δίνει δύο στοιχεία: 1,2 και 2,1. Η πιθανότητα εύρεσης του επιθυμητού στοιχείου (1,2 ή 2,1), δίνεται από το αντιπαραγοντικό του 2 (!2) δηλαδή 1/2!= 1/2= 0.5, συνεπώς 50 %.

Ομοίως, για το 3!= 6, το αντιπαραγοντικό του (!3) είναι ίσο με 1/3!= 1/6, δηλαδή περίπου 16,6%.

Συμβατικά: !0 = 1

Παραπομπές

↑ «Γιατί το μηδέν παραγοντικό ισούται με ένα (0!=1);» από ma8imatikos.gr. Δημοσιεύθηκε 2018-07-24. Ανακτήθηκε 2020-07-22.
↑ Ph. D., Mathematics· M. S., Mathematics· B. A., Mathematics. «Why Does Zero Factorial Equal One?». ThoughtCo (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 25 Νοεμβρίου 2021.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

(Αγγλικά) Weisstein, Eric W., «Factorial», από MathWorld. Ανακτήθηκε 2020-07-22.

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα
Παραγοντικό

[1] «Γιατί το μηδέν παραγοντικό ισούται με ένα (0!=1);» από ma8imatikos.gr. Δημοσιεύθηκε 2018-07-24. Ανακτήθηκε 2020-07-22.

[2] Ph. D., Mathematics· M. S., Mathematics· B. A., Mathematics. «Why Does Zero Factorial Equal One?». ThoughtCo (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 25 Νοεμβρίου 2021.

[1]

[2]

@@ Γραμμή 1: / Γραμμή 1: @@
+{| class="wikitable" style="margin:0 0 0 1em; text-align:right; float:right;"
-{{πηγές|07|11|2015}}
+|-
-Στα [[μαθηματικά]] τo '''παραγοντικό''' ενός [[Φυσικός αριθμός|φυσικού αριθμού]] ν συμβολίζεται με ν!, διαβάζεται ''νι παραγοντικό'', και είναι το [[γινόμενο]] όλων των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων με ν.
+! {{math|''ν''}}
+! {{math|''ν''!}}
+|-
+| 0 || 1
+|-
+| 1 || 1
+|-
+| 2 || 2
+|-
+| 3 || 6
+|-
+| 4 || 24
+|-
+| 5 || 120
+|-
+| 6 || 720
+|-
+| 7 || {{val|5040|fmt=gaps}}
+|-
+| 8 || {{val|40320}}
+|-
+| 9 || {{val|362880}}
+|-
+| 10 || {{val|3628800}}
+|-
+| 11 || {{val|39916800}}
+|-
+| 12 || {{val|479001600}}
+|-
+| 13 || {{val|6227020800}}
+|-
+| 14 || {{val|87178291200}}
+|-
+| 15 || {{val|1307674368000}}
+|-
+| 16 || {{val|20922789888000}}
+|-
+| 17 || {{val|355687428096000}}
+|-
+| 18 || {{val|6402373705728000}}
+|-
+| 19 || {{val|121645100408832000}}
+|-
+| 20 || {{val|2432902008176640000}}
+|-
+| 25
+| style="text-align:left" | {{val|1.551121004|e=25}}
+|-
+| 50
+| style="text-align:left" | {{val|3.041409320|e=64}}
+|-
+| 70
+| style="text-align:left" | {{val|1.197857167|e=100}}
+|-
+| 100
+| style="text-align:left" | {{val|9.332621544|e=157}}
+|-
+| 450
+| style="text-align:left" | {{val|1.733368733|e=1000|fmt=gaps}}
+|-
+| {{val|1000|fmt=gaps}}
+| style="text-align:left" | {{val|4.023872601|e=2567|fmt=gaps}}
+|-
+| {{val|3249|fmt=gaps}}
+| style="text-align:left" | {{val|6.412337688|e=10000}}
+|-
+| {{val|10000|fmt=gaps}}
+| style="text-align:left" | {{val|2.846259681|e=35659}}
+|-
+| {{val|25206|fmt=gaps}}
+| style="text-align:left" | {{val|1.205703438|e=100000}}
+|-
+| {{val|100000|fmt=gaps}}
+| style="text-align:left" | {{val|2.824229408|e=456573}}
+|-
+| {{val|205023|fmt=gaps}}
+| style="text-align:left" | {{val|2.503898932|e=1000004}}
+|-
+| {{val|1000000|fmt=gaps}}
+| style="text-align:left" | {{val|8.263931688|e=5565708}}
+|-
+| [[Γκούγκολ|{{val|e=100}}]] ||10<sup>{{val|e=101.9981097754820}}</sup>
+|}
+Στα [[μαθηματικά]] τo '''παραγοντικό''' ενός [[Φυσικός αριθμός|φυσικού αριθμού]] ν συμβολίζεται με ν!, διαβάζεται ''νι παραγοντικό'', και είναι το [[γινόμενο]] όλων των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων με ν: ν! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ ν
-: ν! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ ν
 Για παράδειγμα,
@@ Γραμμή 22: / Γραμμή 105: @@
 Το παραγοντικό ενός αριθμού ν εκφράζει και το πλήθος των δυνατών μεταθέσεων των ν στοιχείων ενός συνόλου, δηλαδή το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να βάλουμε σε μια σειρά τα ν στοιχεία ενός συνόλου.
-* Συμβατικά: 0! = 1! = 1<ref>«[https://www.ma8imatikos.gr/%CE%B3%CE%B9%CE%B1%CF%84%CE%AF-%CF%84%CE%BF-%CE%BC%CE%B7%CE%B4%CE%AD%CE%BD-%CF%80%CE%B1%CF%81%CE%B1%CE%B3%CE%BF%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C-%CE%B9%CF%83%CE%BF%CF%8D%CF%84%CE%B1%CE%B9-%CE%BC%CE%B5/ Γιατί το μηδέν παραγοντικό ισούται με ένα (0!=1);]» από ma8imatikos.gr.  Δημοσιεύθηκε 2018-07-24. Ανακτήθηκε 2020-07-22.</ref>
+* Συμβατικά: 0! = 1! = 1<ref>«[https://www.ma8imatikos.gr/%CE%B3%CE%B9%CE%B1%CF%84%CE%AF-%CF%84%CE%BF-%CE%BC%CE%B7%CE%B4%CE%AD%CE%BD-%CF%80%CE%B1%CF%81%CE%B1%CE%B3%CE%BF%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C-%CE%B9%CF%83%CE%BF%CF%8D%CF%84%CE%B1%CE%B9-%CE%BC%CE%B5/ Γιατί το μηδέν παραγοντικό ισούται με ένα (0!=1);]» από ma8imatikos.gr.  Δημοσιεύθηκε 2018-07-24. Ανακτήθηκε 2020-07-22.</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.thoughtco.com/why-does-zero-factorial-equal-one-3126598|title=Why Does Zero Factorial Equal One?|last=Ph. D.|first=Mathematics|last2=M. S.|first2=Mathematics|website=ThoughtCo|language=en|accessdate=2021-11-25|last3=B. A.|first3=Mathematics}}</ref>
 * Ισχύει η σχέση: ν! = (ν-1)! ∙ ν
 Ένας άλλος τρόπος να προσεγγίσουμε το 0! είναι ακολουθόντας ένα μοτίβο το οποίο έχει ως εξής.