Παραγοντικό: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
μ οπτικη βελτιωση |
μ Επεξεγήση |
||
Γραμμή 96: | Γραμμή 96: | ||
'''ν!/!ν=[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]•[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν] ή ν!/!ν=[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]^2 ή ν!/!ν=ν!^2''' |
'''ν!/!ν=[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]•[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν] ή ν!/!ν=[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]^2 ή ν!/!ν=ν!^2''' |
||
•Συμβατικά |
•Συμβατικά !1=1 και !0=αόριστο |
||
==Εξωτερικοί σύνδεσμοι== |
==Εξωτερικοί σύνδεσμοι== |
Έκδοση από την 16:11, 25 Ιουνίου 2020
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. |
Στα μαθηματικά τo παραγοντικό ενός φυσικού αριθμού ν συμβολίζεται με ν!, διαβάζεται νι παραγοντικό, και είναι το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων με ν.
- ν! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ ν
Για παράδειγμα,
2!=1·2= 2
3!=1·2·3= 6
4!=1·2·3·4= 24
5!=1·2·3·4·5= 120
8!=1·2·3·4·5·6·7·8= 40.320
10!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10= 3.628.800
12!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12= 479.001.600
Το παραγοντικό ενός αριθμού ν εκφράζει και το πλήθος των δυνατών μεταθέσεων των ν στοιχείων ενός συνόλου, δηλαδή το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να βάλουμε σε μια σειρά τα ν στοιχεία ενός συνόλου.
- Συμβατικά 0! = 1! = 1
- Ισχύει η σχέση ν! = (ν-1)! ∙ ν.
Από τους τετραγωνιστές του κύκλου Λ.Σ. και Χ.Τ.
Υπάρχει η σχέση : (απόδειξη ότι το 0!=1)
4!=5!/5=24
3!=4!/4=6
2!=3!/3=2
1!=2!/2=1
0!=1!/1=1
Επιπλέον θέσαμε ένα νέο παραγοντικό ενός αριθμού ν που εκφράζει το άθροισμα των αριθμών που πολλαπλασιάζονται για να υπάρξει το ν! Το συμβολίζουμε με το ανάποδο θαυμαστικό ¡
ν¡=ν+(ν-1)+(ν-2)+3+2+1
Έτσι έχουμε:
1¡=1
2¡=3
3¡=6
4¡=10
5¡=15
6¡=21
7¡=28
Διαπιστώνουμε ότι: 3!=1*2*3=6=1+2+3=3¡
Επίσης αποδεικνύεται ότι ν!= (ν+1)!/(ν+1)
Για παράδειγμα 5!=5*4*3*2*!=120 Βάσει της προηγούμενης σχέσης πράγματι αποδεικνύεται πως 5!=6!/6=6*5*4*3*2*!/6=6*120/6=120
Βάσει της παραπάνω σχέσης βλέπουμε πως πράγματι 0!=1 όπως είχαμε προαναφέρει καθώς 0!=1!/1=1/1=1
Υπάρχει στη συνέχεια ένας παρόμοιος όρος για έναν φυσικό αριθμό ο οποίος συμβολίζεται με !ν και διαβάζεται νι αντιπαραγοντικό.Αντιστοιχεί στο πηλίκο όλων των ακέραιων θετικών αριθμών μικρότερων ή ίσων με ν.
!ν=1/1•1/2•1/3...•1/ν
Για παράδειγμα,
!2=1•1/2=0.5
!3=1•1/2•1/3=0.166666667
!4=1•1/2•1/3•1/4=0.0416666668
Όπως παρατηρούμε οι αριθμοί αυτοί δεν ευννοούν στις πράξεις συνεπώς δεν χρησιμοποιούνται συχνά.
•Ισχύει ν!•!ν=1
αφού ν!•!ν=[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]•[1•(1/ν-χ)•...•(1/ν-2)•(1/ν-1)•(1/ν)] ή ν!•!ν=1•1 ή ν!•!ν=1
•Ισχύει ν!/!ν=ν!^2
αφού ν!/!ν=[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]÷[1•(1/ν-χ)•...•(1/ν-2)•(1/ν-1)•(1/ν)] ή ν!/!ν=[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]÷[1/[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]] μετατρέπουμε το σύνθετο κλάσμα σε απλό άρα θα έχουμε
ν!/!ν=[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]•[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν] ή ν!/!ν=[1•(ν-χ)•...•(ν-2)•(ν-1)•ν]^2 ή ν!/!ν=ν!^2
•Συμβατικά !1=1 και !0=αόριστο
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
- Παραγοντικό (N≤40000)
Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |