Σώμα (άλγεβρα): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Corps |
||
Γραμμή 1: | Γραμμή 1: | ||
'''Σώμα''' είναι ένα [[σύνολο]] F (απο το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο [[δυαδική πράξη|δυαδικές πράξεις]] + και * ορισμένες στο F, οι οποίες απεικονίζουν σε 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F, άλλα στοιχεία, a+b και a*b, πάλι στο F. |
'''Σώμα''' (από το [[γαλλική γλώσσα|γαλλικό]] ''Corps'') είναι ένα [[σύνολο]] F (απο το [[αγγλική γλώσσα|αγγλικό]] ''Field'') αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο [[δυαδική πράξη|δυαδικές πράξεις]] + και * ορισμένες στο F, οι οποίες απεικονίζουν σε 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F, άλλα στοιχεία, a+b και a*b, πάλι στο F. |
||
Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες: |
Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες: |
||
Γραμμή 19: | Γραμμή 19: | ||
Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b*<math>\sqrt{2}</math> και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν. |
Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b*<math>\sqrt{2}</math> και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν. |
||
Ένας [[δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιος]] <math>(R,\circ,+)</math> καλείται |
Ένας [[δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιος]] <math>(R,\circ,+)</math> καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής : |
||
*Ο δακτύλιος είναι [[Αντιμεταθετική ιδιότητα|μεταθετικός]]. |
*Ο δακτύλιος είναι [[Αντιμεταθετική ιδιότητα|μεταθετικός]]. |
||
*Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο<math>1_R \in R</math> ώστε <math>r\circ 1_R=1_R \circ r=r </math> για κάθε <math>r \in R</math> |
*Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο<math>1_R \in R</math> ώστε <math>r\circ 1_R=1_R \circ r=r </math> για κάθε <math>r \in R</math> |
||
*Για κάθε <math>r \in R</math> υπάρχει στοιχείο του <math> R </math> το οποίο συμβολίζουμε με <math>r^{-1}</math> τέτοιο ώστε <math>r \circ r^{-1}=r^{-1} \circ r =1_R</math> |
*Για κάθε <math>r \in R</math> υπάρχει στοιχείο του <math> R </math> το οποίο συμβολίζουμε με <math>r^{-1}</math> τέτοιο ώστε <math>r \circ r^{-1}=r^{-1} \circ r =1_R</math> |
||
Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]] <math>\mathbb{R}</math>, καθώς είναι μοναδιαίος [[αντιμεταθετικός δακτύλιος]] και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο. |
Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]] <math>\mathbb{R}</math>, καθώς είναι μοναδιαίος [[αντιμεταθετικός δακτύλιος]] και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο. |
||
{{Μαθηματικά-επέκταση}} |
{{Μαθηματικά-επέκταση}} |
Έκδοση από την 09:49, 18 Απριλίου 2010
Σώμα (από το γαλλικό Corps) είναι ένα σύνολο F (απο το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο δυαδικές πράξεις + και * ορισμένες στο F, οι οποίες απεικονίζουν σε 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F, άλλα στοιχεία, a+b και a*b, πάλι στο F. Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
- (a+b)+c=a+(b+c)
- Υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει στο F τέτοιο ώστε
- a+0=a για κάθε a που ανήκει στο F, και
- Για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0.
- a+b=b+a Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο F
- (a*b)*c=a*(b*c)
- Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1.
- a*b=b*a
- a*(b+c)=a*b+a*c
Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το και το και το σώμα των μιγαδικών αριθμών . Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση. Το στοιχείο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ώστε για κάθε a να υπάρχει -a, τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού συμβολίζεται με , τέτοιο ώστε, για κάθε a που ανήκει στο F, να υπάρχει τέτοιο ώστε a* =1.
Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b* και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν.
Ένας δακτύλιος καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής :
- Ο δακτύλιος είναι μεταθετικός.
- Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο ώστε για κάθε
- Για κάθε υπάρχει στοιχείο του το οποίο συμβολίζουμε με τέτοιο ώστε
Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών , καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο.
Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |