Γεωμετρική πρόοδος

Γεωμετρική πρόοδος είναι η ακολουθία, στην οποία κανένας όρος δεν ισούται με το μηδέν και για δύο διαδοχικούς όρους της α_ν, α_ν+1 ισχύει ότι ${\frac {\alpha _{\nu +1}}{\alpha _{\nu }}}=\lambda$, όπου λ μία μη μηδενική σταθερή ποσότητα. Η ποσότητα λ ονομάζεται λόγος της αριθμητικής προόδου. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν το οποιοδήποτε ποιλήκο δύο διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας είναι συγκεκριμένο, τότε αυτή η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος. Έτσι, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο τύπους:

• Γενικός τύπος: α_ν=α₁·λ^ν-1
• Αναδρομικός τύπος: α_ν=α_ν-1·λ

Ιδιότητες της προόδου

• Η γραφική παράσταση της γεωμετρικής προόδου είναι διαδοχικά σημεία μιας ή δύο μετασχηματισμένων καμπυλών εκθετικής συνάρτησης.

• Ο γεωμετρικός μέσος όρος δύο αριθμών α,γ είναι ο β, αν και μόνο αν οι όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

• Αν λ δεν είναι ένα:
  • Το άθροισμα των κ πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου (α_ν) ( με πρώτον όρο τον α₁) ισούται με $\Sigma _{\nu }=\alpha _{1}{\frac {1-\lambda ^{\nu }}{1-\lambda }}$
    • Αν η πρόοδος είναι φθίνουσα (άρα και θετική), τότε η σειρά της γεωμετρική προόδου είναι ίση με ${\frac {\alpha _{1}}{1-\lambda }}$
• Αν λ=1 και τότε η γεωμετρική πρόοδος είναι άπειροι ίσοι μεταξύ τους όροι με τον α₁.