Σώμα (άλγεβρα)

Σώμα είναι ένα σύνολο F (απο το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο διμελής πράξεις + και * ορισμένες στο F οι οποιες απεικονίζουν σε 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F αλλα στοιχεία, a+b και a*b στο F. Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες

(1).(a+b)+c=a+(b+c) (2).Υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει F τέτοιο ώστε (i). a+0=a για κάθε a ανήκει F και (ii). Για κάθε a ανήκει στο F υπάρχει b ανήκει F τέτοιο ώστε a+b=0. (3).a+b=b+a Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική στο F (4).(a*b)*c=a*(b*c) (5).Υπάρχει αριθμός 1 ανήκει F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει για κάθε a διαφορο του μηδενός ενα b τέτοιο ώστε a*b=1. (6).a*b=b*a (7).a*(b+c)=a*b+a*c

Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές απο τα θεωρήματα του Σώματος είναι το Q και το R και το σώμα των μιγαδικών αριθμών C. Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αρα δε χρειάζονται περεταίρω διερέυνηση. Το στοιχείο 0 ειναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ωστε για κάθε a να υπάρχει -a τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλπλασιασμού συμβολίζεται με $a^{-1}$ τέτοιο ώστε για κάθε a που ανήκει στο F να υπάρχει $a^{-1}$ τετοιο ώστε a*$a^{-1}$ =0.

Εκτός απο τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b*${\sqrt {2}}$ και γενικα της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμες 2,3,...,ν.

Ένας δακτύλιος $(R,\circ ,+)$ καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής :

• Ο δακτύλιος είναι μεταθετικός.

• Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο$1_{R}\in R$ ώστε $r\circ 1_{R}=1_{R}\circ r=r$ για κάθε $r\in R$

• Για κάθε $r\in R$ υπάρχει στοιχείο του $R$ το οποίο συμβολίζουμε με $r^{-1}$ τέτοιο ώστε $r\circ r^{-1}=r^{-1}\circ r=1_{R}$

Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb {R}$, καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο. Όντως:

$\forall a\in \mathbb {R} \Rightarrow \exists b\neq 0:ab=1\Rightarrow a={\frac {1}{b}}$