Γωνιακή επιτάχυνση

Γωνιακή επιτάχυνση ονομάζουμε τον ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας ενός σώματος. Μετράται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτα στο τετράγωνο (Για το S.I. η μονάδα $rad/s^{2}$ έχει τις ίδιες φυσικές διαστάσεις με την $ms^{-2}$). Συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα $\alpha$.

Μαθηματικός Ορισμός

Μαθηματικά, η γωνιακή επιτάχυνση ορίζεται ως:

${\alpha }={\frac {d{\omega }}{dt}}={\frac {d^{2}{\theta }}{dt^{2}}},$

όπου dθ η μεταβολή της γωνίας που αντιστοιχεί στο διαγραφόμενο τόξο και $d\omega$ η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας. Η γωνιακή επιτάχυνση έχει λοιπόν τη φυσική σημασία του ρυθμού μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας.

Εφαπτομενική και Κεντρομόλος επιτάχυνση

Συχνά γίνεται σύγχυση μεταξύ εφαπτομενικής και κεντρομόλου επιτάχυνσης. Περιγράφοντας ένα σύστημα σε δύο διαστάσεις όχι με καρτεσιανές αλλά με πολικές συντεταγμένες, η θέση ενός σημείου καθορίζεται από την απόσταση $r$ από την αρχή και την γωνία $\theta$ σε σχέση με την διεύθυνση αναφοράς. Έτσι, η ταχύτητα ενός κινητού περιγράφεται από δύο συνιστώσες, μία κατά την διεύθυνση αύξησης της ακτίνας και μία κατά την διεύθυνση αύξησης της γωνίας:

$\mathbf {v} (t)={\frac {d}{dt}}r(t,\theta )\mathbf {e} _{r}+r(t,\theta ){\frac {d}{dt}}\theta (t)\mathbf {e} _{\theta }$

όπου είναι: ${\frac {d}{dt}}\theta (t)=\omega (t)$

Η επιτάχυνση, ως χρονική παράγωγος της ταχύτητας γίνεται:

$\mathbf {a} (t)={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}r(t,\theta )\mathbf {e} _{r}+{\frac {d}{dt}}r(t,\theta ){\frac {d}{dt}}\theta (t)\mathbf {e} _{\theta }+r(t,\theta ){\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\theta (t)\mathbf {e} _{\theta }$

Για την κυκλική κίνηση, η ακτίνα $r$ είναι σταθερή οπότε η παραπάνω γίνεται:

$\alpha _{t}(t)=r(t,\theta ){\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\theta (t)\mathbf {e} _{\theta }\,\Rightarrow \,\alpha _{t}(t)=r(t,\theta ){\frac {d}{dt}}\omega (t)$

ενώ ο πρώτος όρος αναφέρεται στην επιτάχυνση που διατηρεί την ακτίνα σταθερή:

$\alpha _{k}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}r(t,\theta )$

η οποία είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση και δεν γράφεται ως διάνυσμα επειδή δεχόμαστε πως έχει πάντα κατεύθυνση προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. Για ομαλή κυκλική κίνηση είναι $d\theta /dt=\omega \,\Rightarrow \,\theta (t)=\omega {t}+\theta _{0}$, από την οποία προκύπτει η σχέση για την κεντομόλο επιτάχυνση:

$\alpha _{k}=r\omega ^{2}=v^{2}/r$

Πηγές

• Physics - Raymond A. Serway, τόμος Ι
• Φυσική θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Α΄ λυκείου, ΟΕΔΒ