Στα μαθηματικά, η ανισότητα Μινκόβσκι (αναφέρεται και ως ανισότητα Minkowski) λέει ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς
και
, ισχύει ότι[1]:115[2]:10-11[3]:20
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3f09359265e81eeb81470232794d8937e4f410)
Η ανισότητα ισχύει και για οποιεσδήποτε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις
,[2]: 14 [4]:120
![{\displaystyle \left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/740e140c927f84c27ad6b75c876b5c431b1cd516)
Η ανισότητα χρησιμοποιείται στην απόδειξη ότι οι Lp-χώροι είναι νορμικοί διανυσματικοί χώροι, και συγκεκριμένα επιβεβαιώνει την τριγωνική ανισότητα.
Θα κάνουμε χρήση της ανισότητας Χέλντερ, η οποία λέει ότι για κάθε
και
με
, ισχύει ότι
.
Για την απόδειξη της ανισότητας Μινκόβσκι για
, ξεκινάμε γράφοντας
,
|
|
(1)
|
όπου χρησιμοποιήσαμε την τριγωνική ανισότητα
.
Εφαρμόζοντας την ανισότητα Χέλντερ δύο φορές, μία για
και
και μία για
και
, λαμβάνουμε
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}+\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}&\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{(p-1)q}\right)^{1/q}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{(p-1)q}\right)^{1/q}\\&\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/q}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/q},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfe98fa868759b20f5f1779199b72cc6dfeb583)
όπου χρησιμοποιήσαμε ότι
(που προκύπτει από την συνθήκη
).
Συνδυάζοντας με την (1) έχουμε ότι,
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/q}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaae406a193bbbe6f48baece16fd0bb84692ce1f)
η οποία, διαιρώντας και τα δύο μέλη με
, είναι ισοδύναμη με
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1-1/q}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f19ecaed2aff65e7d15482a78f1f81da2654a6f)
Τέλος, χρησιμοποιώντας ότι
, λαμβάνουμε την ανισότητα Μινκόβσκι.
Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Χέρμαν Μινκόβσκι, που δημοσίευσε την ανισότητα στο έργο του το 1910.[1]: 115
- ↑ 1,0 1,1 Minkowski, Hermann (1910). Geometrie der Zahlen. Leipzig: Teubner.
- ↑ 2,0 2,1 Βαλέττας, Πέτρος (2015). «Κεφάλαιο 1: Μετρικοί χώροι» (PDF). Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 22 Οκτωβρίου 2022.
- ↑ Κολουντζάκης, Μιχαήλ· Παπαχριστόδουλος, Χρήστος (2015). Ανάλυση Fourier. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. ISBN 978-960-603-360-5.
- ↑ Γιαννόπουλος, Απόστολος (2015). «Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωμα Lebesgue» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 22 Οκτωβρίου 2022.