Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Στα μαθηματικά , η ανισότητα Χέλντερ είναι η ανισότητα ,[1] :28
∑
i
=
1
n
|
a
i
b
i
|
≤
(
∑
i
=
1
n
|
a
i
|
p
)
1
/
p
⋅
(
∑
i
=
1
n
|
b
i
|
q
)
1
/
q
,
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}b_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}\right)^{1/q},}
που ισχύει για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
και
b
1
,
…
,
b
n
{\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}
και για
p
,
q
>
1
{\displaystyle p,q>1}
έτσι ώστε
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
.
Η ανισότητα ισχύει και για οποιεσδήποτε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις
f
,
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f,g:[a,b]\to \mathbb {R} }
,[2] :21
∫
a
b
|
f
(
x
)
g
(
x
)
|
d
x
≤
(
∫
a
b
(
|
f
(
x
)
|
)
p
d
x
)
1
/
p
⋅
(
∫
a
b
(
|
f
(
x
)
|
)
q
d
x
)
1
/
q
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)g(x)|\,dx\leq \left(\int _{a}^{b}(|f(x)|)^{p}\,dx\right)^{1/p}\cdot \left(\int _{a}^{b}(|f(x)|)^{q}\,dx\right)^{1/q}.}
Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Όττο Χέλντερ για την εργασία του το 1889.[3]
Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα Γιανγκ . Η ανισότητα Γιανγκ δίνει ότι για κάθε πραγματικούς αριθμούς
a
,
b
{\displaystyle a,b}
και
p
,
q
>
1
{\displaystyle p,q>1}
με
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
,
|
a
|
p
p
+
|
b
|
q
q
≥
|
a
|
⋅
|
b
|
.
{\displaystyle {\frac {|a|^{p}}{p}}+{\frac {|b|^{q}}{q}}\geq |a|\cdot |b|.}
Για την ανισότητα Χέλντερ κάνουμε την παρατήρηση ότι είναι ομογενής, δηλαδή αν θεωρήσουμε τους αριθμούς
a
i
′
=
λ
1
a
i
{\displaystyle a_{i}'=\lambda _{1}a_{i}}
και
b
i
′
=
λ
2
b
i
{\displaystyle b_{i}'=\lambda _{2}b_{i}}
για οποιεσδήποτε σταθερές
λ
1
,
λ
2
>
0
{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}>0}
, λαμβάνουμε μία ανισότητα ισοδύναμη με την αρχική ανισότητα, καθώς
(
∑
i
=
1
n
|
a
i
′
|
p
)
1
/
p
⋅
(
∑
i
=
1
n
|
b
i
′
|
q
)
1
/
q
=
λ
1
λ
2
⋅
(
∑
i
=
1
n
|
a
i
|
p
)
1
/
p
⋅
(
∑
i
=
1
n
|
b
i
|
q
)
1
/
q
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}'|^{q}\right)^{1/q}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}\right)^{1/q}\quad }
και
∑
i
=
1
n
|
a
i
′
b
i
′
|
=
λ
1
λ
2
∑
i
=
1
n
|
a
i
b
i
|
{\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{n}|a_{i}'b_{i}'|=\lambda _{1}\lambda _{2}\sum _{i=1}^{n}|a_{i}b_{i}|}
.
Επομένως διαλέγοντας
λ
1
−
1
=
∑
i
=
1
n
|
a
i
|
p
{\displaystyle \lambda _{1}^{-1}=\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}}
και
λ
2
−
1
=
∑
i
=
1
n
|
b
i
|
q
{\displaystyle \lambda _{2}^{-1}=\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}}
, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε
a
i
′
{\displaystyle a_{i}'}
και
b
i
′
{\displaystyle b_{i}'}
με
∑
i
=
1
n
|
a
i
′
|
p
=
1
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}'|^{p}=1}
και
∑
i
=
1
n
|
b
i
′
|
q
=
1
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|b_{i}'|^{q}=1}
, ισχύει ότι
∑
i
=
1
n
|
a
i
′
b
i
′
|
≤
1.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}'b_{i}'|\leq 1.}
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Γιανγκ, έχουμε ότι
∑
i
=
1
n
|
a
i
′
b
i
′
|
=
∑
i
=
1
n
|
a
i
′
|
|
b
i
′
|
≤
∑
i
=
1
n
(
|
a
i
′
|
p
p
+
|
b
i
′
|
q
q
)
≤
∑
i
=
1
n
|
a
i
′
|
p
p
+
∑
i
=
1
n
|
b
i
′
|
q
q
=
1
p
+
1
q
=
1
,
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}'b_{i}'|=\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'||b_{i}'|\leq \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {|a_{i}'|^{p}}{p}}+{\frac {|b_{i}'|^{q}}{q}}\right)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'|^{p}}{p}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}|b_{i}'|^{q}}{q}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}
ολοκληρώνοντας την απόδειξη της ανισότητας Χέλντερ.