Στα μαθηματικά, η ανισότητα Χέλντερ (αναφέρεται και ως ανισότητα Hölder) είναι η ανισότητα,[1]:28
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}b_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}\right)^{1/q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9c74d524de259215f0a354d74747d273d44f5a)
που ισχύει για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς
και
και για
έτσι ώστε
.
Η ανισότητα ισχύει και για οποιεσδήποτε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις
,[2]:21
![{\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)g(x)|\,dx\leq \left(\int _{a}^{b}(|f(x)|)^{p}\,dx\right)^{1/p}\cdot \left(\int _{a}^{b}(|f(x)|)^{q}\,dx\right)^{1/q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723d6a22b9f1462bf12492408d7adff4a5e884f4)
Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Όττο Χέλντερ για την εργασία του το 1889.[3]
Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα Γιανγκ. Η ανισότητα Γιανγκ δίνει ότι για κάθε πραγματικούς αριθμούς
και
με
,
![{\displaystyle {\frac {|a|^{p}}{p}}+{\frac {|b|^{q}}{q}}\geq |a|\cdot |b|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43fc6828f55f197e269f6245a646c5d32eb488b0)
Για την ανισότητα Χέλντερ κάνουμε την παρατήρηση ότι είναι ομογενής, δηλαδή αν θεωρήσουμε τους αριθμούς
και
για οποιεσδήποτε σταθερές
, λαμβάνουμε μία ανισότητα ισοδύναμη με την αρχική ανισότητα, καθώς
και
.
Επομένως διαλέγοντας
και
, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε
και
με
και
, ισχύει ότι
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}'b_{i}'|\leq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0db65716a5fcccb4fbef40b0d69648d9400f913)
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Γιανγκ, έχουμε ότι
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}'b_{i}'|=\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'||b_{i}'|\leq \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {|a_{i}'|^{p}}{p}}+{\frac {|b_{i}'|^{q}}{q}}\right)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'|^{p}}{p}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}|b_{i}'|^{q}}{q}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6123f6baa31b78a120c136e5926d24a8fa62e6df)
ολοκληρώνοντας την απόδειξη της ανισότητας Χέλντερ.