Ανισότητα Χέλντερ

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Χέλντερ είναι η ανισότητα,

$\sum _{i=1}^{n}|a_{i}b_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}\right)^{1/q},$

που ισχύει για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $a_{1},\ldots ,a_{n}$ και $b_{1},\ldots ,b_{n}$ και για $p,q>1$ έτσι ώστε ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$.

Η ανισότητα ισχύει και για οποιεσδήποτε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$,

$\int _{a}^{b}|f(x)g(x)|\,dx\leq \left(\int _{a}^{b}(|f(x)|)^{p}\,dx\right)^{1/p}\cdot \left(\int _{a}^{b}(|f(x)|)^{q}\,dx\right)^{1/q}.$

Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Όττο Χέλντερ για την εργασία του το 1889.

Απόδειξη

Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα Γιανγκ. Η ανισότητα Γιανγκ δίνει ότι για κάθε πραγματικούς αριθμούς $a,b$ και $p,q>1$ με ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$,

${\frac {|a|^{p}}{p}}+{\frac {|b|^{q}}{q}}\geq |a|\cdot |b|.$

Για την ανισότητα Χέλντερ κάνουμε την παρατήρηση ότι είναι ομογενής, δηλαδή αν θεωρήσουμε τους αριθμούς $a_{i}'=\lambda _{1}a_{i}$ και $b_{i}'=\lambda _{2}b_{i}$ για οποιεσδήποτε σταθερές $\lambda _{1},\lambda _{2}>0$, λαμβάνουμε μία ανισότητα ισοδύναμη με την αρχική ανισότητα, καθώς

$\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}'|^{q}\right)^{1/q}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}\right)^{1/q}\quad$ και $\quad \sum _{i=1}^{n}|a_{i}'b_{i}'|=\lambda _{1}\lambda _{2}\sum _{i=1}^{n}|a_{i}b_{i}|$.

Επομένως διαλέγοντας $\lambda _{1}^{-1}=\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}$ και $\lambda _{2}^{-1}=\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}$, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε $a_{i}'$ και $b_{i}'$ με $\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'|^{p}=1$ και $\sum _{i=1}^{n}|b_{i}'|^{q}=1$, ισχύει ότι

$\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'b_{i}'|\leq 1.$

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Γιανγκ, έχουμε ότι

$\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'b_{i}'|=\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'||b_{i}'|\leq \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {|a_{i}'|^{p}}{p}}+{\frac {|b_{i}'|^{q}}{q}}\right)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'|^{p}}{p}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}|b_{i}'|^{q}}{q}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,$

ολοκληρώνοντας την απόδειξη της ανισότητας Χέλντερ.

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Γιανγκ για το Γινόμενο