Ανισότητα Μινκόβσκι

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Μινκόβσκι (αναφέρεται και ως ανισότητα Minkowski) λέει ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n}$ και $p>1$, ισχύει ότι

$\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}.$

Η ανισότητα ισχύει και για οποιεσδήποτε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$,

$\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}.$

Η ανισότητα χρησιμοποιείται στην απόδειξη ότι οι L^p-χώροι είναι νορμικοί διανυσματικοί χώροι, και συγκεκριμένα επιβεβαιώνει την τριγωνική ανισότητα.

Απόδειξη

Θα κάνουμε χρήση της ανισότητας Χέλντερ, η οποία λέει ότι για κάθε $x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots y_{n}$ και $p,q>1$ με ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$, ισχύει ότι

$\sum _{i=1}^{n}|x_{i}y_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|^{q}\right)^{1/q}$.

Για την απόδειξη της ανισότητας Μινκόβσκι για $p>1$, ξεκινάμε γράφοντας

$\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}=\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p-1}\cdot |a_{i}+b_{i}|\leq \sum _{i=1}^{n}|a_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}+\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}$,

(1)

όπου χρησιμοποιήσαμε την τριγωνική ανισότητα $|a_{i}+b_{i}|\leq |a_{i}|+|b_{i}|$.

Εφαρμόζοντας την ανισότητα Χέλντερ δύο φορές, μία για $x_{i}=|a_{i}|$ και $y_{i}=|a_{i}+b_{i}|$ και μία για $x_{i}=|b_{i}|$ και $y_{i}=|a_{i}+b_{i}|$, λαμβάνουμε

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}+\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}&\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{(p-1)q}\right)^{1/q}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{(p-1)q}\right)^{1/q}\\&\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/q}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/q},\end{aligned}}$

όπου χρησιμοποιήσαμε ότι $p=(p-1)q$ (που προκύπτει από την συνθήκη ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$).

Συνδυάζοντας με την (1) έχουμε ότι,

$\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/q}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/q}$

η οποία, διαιρώντας και τα δύο μέλη με $\textstyle \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/q}$, είναι ισοδύναμη με

$\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1-1/q}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}.$

Τέλος, χρησιμοποιώντας ότι $1-{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{p}}$, λαμβάνουμε την ανισότητα Μινκόβσκι.

Ιστορία

Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Χέρμαν Μινκόβσκι, που δημοσίευσε την ανισότητα στο έργο του το 1910.

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Χέλντερ