Ανισότητα Μάρκοφ

Στη θεωρία πιθανοτήτων, η ανισότητα Μάρκοφ (αναφέρεται και ως ανισότητα Markov) δίνει ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα ότι μια μη-αρνητική συνάρτηση μιας τυχαίας μεταβλητής είναι μεγαλύτερη ή ίση με κάποια θετική σταθερά. Ονομάστηκε έτσι από το Ρώσο μαθηματικό Αντρέι Μάρκοφ, αν και εμφανίστηκε νωρίτερα στο έργο του Παφνούτι Λβόβιτς Τσέμπισσιοφ (δάσκαλος του Μάρκοφ). Σε διάφορες πηγές κυρίως στην μαθηματική ανάλυση, η ανισότητα αναφέρεται ως ανισότητα Τσέμπισσιοφ ή ανισότητα Bienaymé.

Η ανισότητα Μαρκόφ (και άλλες παρόμοιες ανισότητες) συσχετίζει πιθανότητες και ανεμενόμενες τιμές, και παρέχει (συχνά) χαλαρά αλλά παρ' όλα χρήσιμα φράγματα για την συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής.

Ένα παράδειγμα εφαρμογής της ανισότητας Μαρκόφ είναι το γεγονός ότι (με την προϋπόθεση ότι τα εισοδήματα είναι μη-αρνητικά) δεν υπερβαίνουν το 1 / 5 του πληθυσμού αυτοί που μπορούν να έχουν πάνω από 5 φορές το μέσο εισόδημα.

Δήλωση

Αν X είναι κάποια τυχαία μεταβλητή, τότε για κάθε $a>0$ ^[1]^[2]^[3]

\Pr(|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|)}{a}}.

Στη γλώσσα της θεωρίας μέτρου, η ανισότητα Μαρκόφ δηλώνει ότι αν $(X,\Sigma ,\mu )$ είναι ένας χώρος μέτρου, $f$ μία μετρήσιμη πραγματική συνάρτηση, τότε για κάθε $\epsilon >0$ ,

\mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \epsilon \})\leq {1 \over \epsilon }\int _{X}|f|\,d\mu .

Αποδείξεις

Θα ξεχωρίσουμε την απόδειξη για την περίπτωση που ο χώρος μέτρου είναι ένας χώρος πιθανοτήτων από τη γενικότερη περίπτωση, καθώς αυτή είναι είναι πιο προσιτή στον γενικό αναγνώστη.

Στη γλώσσα της θεωρίας των πιθανοτήτων

Για οποιοδήποτε γεγονός $E$ , έστω $I_{E}$ είναι η δεικνύουσα τυχαία μεταβλητή του $E$ , δηλαδή, $I_{E}=1$ εάν το $E$ συνέβει, διαφορετικά $I_{E}=0$ . Επομένως, για $E=\{|X|\geq a\}$ , ισχύει ότι $I_{(|X\geq a)}=1$ αν το γεγονός $|X|\geq a$ συνέβει, και $I_{(|X|\geq a)}=0$ αν $|X|<a$ . Επίσης, επειδή $a>0$ , ισχύει ότι

aI_{(|X|\geq a)}\leq |X|.

Αυτό προκύπτει θεωρώντας τα δύο πιθανά ενδεχόμενα:

Aν $|X|<a$ , τότε $I_{(|X|\geq a)}=0$ και επομένως $aI_{(|X|\geq a)}=0\leq |X|$ .
Αν $|X|\geq a$ , τότε $I_{(|X|\geq a)}=1$ και επομένως $aI_{(|X|\geq a)}=a\leq |X|$ .

Επίσης, από τις ιδιότητες της αναμενόμενης τιμής, προκύπτει ότι

$\operatorname {E} (aI_{(|X|\geq a)})\leq \operatorname {E} (|X|).\,$

(1)

Τώρα, χρησιμοποιώντας γραμμικότητα των αναμενόμενων τιμών, η αριστερή πλευρά αυτής της ανισότητας είναι ισούται με

$a\operatorname {E} (I_{(|X|\geq a)})=a\Pr(|X|\geq a).\,$

(2)

Έτσι συνδυάζοντας την (1) και (2) έχουμε ότι,

a\Pr(|X|\geq a)\leq \operatorname {E} (|X|)\,

και διαιρώντας με $a$ (αφού $a>0$ ), λαμβάνουμε την ανισότητα Μαρκόφ.

Στη γλώσσα της θεωρίας μέτρου

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η συνάρτηση $f$ είναι μη-αρνητική, καθώς στην ανισότητα χρησιμοποιείται μόνο η απόλυτη τιμή της. Θεωρούμε την πραγματική συνάρτηση $s$ στο σύνολο $X$ που ορίζεται ως εξής:

s(x)={\begin{cases}\epsilon ,&{\text{αν }}f(x)\geq \epsilon ,\\0,&{\text{αν }}f(x)<\epsilon .\end{cases}}

Τότε ισχύει ότι $0\leq s(x)\leq f(x)$ για κάθε $x\in X$ . Από τον ορισμό του Lebesgue ολοκληρώματος

\int _{X}f(x)\,d\mu \geq \int _{X}s(x)\,d\mu =\epsilon \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \epsilon \})

και διαιρώντας και τα δύο μέλη με $\epsilon$ (καθώς $\epsilon >0$ ), λαμβάνουμε ότι

\mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \epsilon \})\leq {1 \over \epsilon }\int _{X}f\,d\mu .

Πορίσματα

Ανισότητα Τσεμπισιόφ

Η ανισότητα Τσεμπισιόφ χρησιμοποιεί την διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $X$ ώστε να φράξει την πιθανότητα η $X$ να αποκλίνει από την αναμενόμενη τιμή $\operatorname {E} (X)$ . Πιο συγκεκριμένα, όταν $\operatorname {E} (X)$ , για κάθε $a>0$ ,