Αναλυτική θεωρία αριθμών

Στα μαθηματικά, η αναλυτική θεωρία αριθμών αποτελεί κλάδο της θεωρίας αριθμών που χρησιμοποιεί μεθόδους μαθηματικής ανάλυσης για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν ακέραιους αριθμούς^[1]. Θεωρείται ότι ξεκίνησε το 1837, όταν ο Πετέρ Γκούσταβ Λεζέν Ντίριχλετ εισήγαγε τις συναρτήσεις L για να δώσει την πρώτη απόδειξη του θεωρήματος αριθμητικής προόδου^[1],^[2]. Είναι γνωστή για τα αποτελέσματά της σχετικά με τους πρώτους αριθμούς (που αφορούν το θεώρημα των πρώτων αριθμών και τη συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν) και τη θεωρία προσθετικών αριθμών (όπως η εικασία του Γκόλντμπαχ και το πρόβλημα του Γουόρινγκ).

Κλάδοι της αναλυτικής θεωρίας αριθμών

Η αναλυτική θεωρία αριθμών μπορεί να χωριστεί σε δύο κύριους κλάδους, περισσότερο με βάση το είδος των προβλημάτων που προσπαθούν να επιλύσουν παρά με βάση τις θεμελιώδεις διαφορές στις τεχνικές τους.

Η Πολλαπλασιαστική θεωρία αριθμών ασχολείται με την κατανομή των πρώτων αριθμών, ή την εκτίμηση του αριθμού των πρώτων αριθμών σε ένα διάστημα, και περιλαμβάνει το θεώρημα των πρώτων αριθμών και το θεώρημα του Ντίριχλετ για τις αριθμητικές πρόοδοι.
Η προσθετική θεωρία αριθμών ασχολείται με την προσθετική δομή των ακεραίων αριθμών, για παράδειγμα η Εικασία του Γκόλντμπαχ ότι κάθε άρτιος ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 3 είναι το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Ένα από τα κύρια αποτελέσματα της προσθετικής θεωρίας είναι η λύση του προβλήματος του Γουόρινγκ.

Ιστορία

Προδρόμοι

Μεγάλο μέρος της αναλυτικής θεωρίας των αριθμών εμπνεύστηκε από το θεώρημα των πρώτων αριθμών. Έστω π(x) η συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων αριθμών που δίνει τον αριθμό των πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων του x, για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x. Για παράδειγμα, $π(10) = 4$ επειδή υπάρχουν τέσσερις πρώτοι αριθμοί (2, 3, 5 και 7) μικρότεροι ή ίσοι με το 10. Το θεώρημα των πρώτων αριθμών δείχνει τότε ότι η x / ln(x) είναι μια καλή προσέγγιση της π(x), με την έννοια ότι το όριο του πηλίκου των δύο συναρτήσεων π(x) και x / ln(x) όταν το x τείνει στο άπειρο είναι 1 :

\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1.

Ο Αντριεν Μαρί Λεζάντρ υπέθεσε το 1797 ότι η π(a) προσεγγίζεται από τη συνάρτηση π(a), όπου A και B είναι απροσδιόριστες σταθερές. Στη δεύτερη έκδοση του βιβλίου του για τη θεωρία αριθμών (1808), έκανε στη συνέχεια μια πιο ακριβή εικασία, με A = 1 και B = -1,08366. Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους είχε ήδη εξετάσει αυτό το ερώτημα: το 1792 ή το 1793, σύμφωνα με τη δική του ανάμνηση σχεδόν εξήντα χρόνια αργότερα σε μια επιστολή προς τον Ένκε (1849), έγραψε στον πίνακα των λογαρίθμων του (ήταν τότε 15 ή 16 ετών) τη σύντομη σημείωση « Primzahlen unter $a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}$ ». Αλλά ο Γκάους δεν δημοσίευσε ποτέ αυτή την εικασία. Το 1838, ο Πέτερ Γκούσταβ Λεζέν Ντίριχλετ πρότεινε τη δική του συνάρτηση προσέγγισης, τον ολοκληρωτικό λογάριθμο li(x). Τόσο ο τύπος του Λεζάντρ όσο και ο τύπος του Ντίριχλετ υποδηλώνουν την ίδια εικαζόμενη ασυμπτωτική ισοδυναμία των π(x) και x / ln(x) που αναφέρθηκε παραπάνω, αν και η προσέγγιση του Ντίριχλετ είναι σημαντικά καλύτερη αν θεωρήσουμε διαφορές, αντί για πηλίκα.

Ντίριχλετ

Στον Ντίριχλετ αποδίδεται γενικά η καθιέρωση της αναλυτικής θεωρίας των αριθμών^[3], ενός τομέα στον οποίο κατέδειξε πολλά βαθιά αποτελέσματα και εισήγαγε θεμελιώδη εργαλεία, πολλά από τα οποία αργότερα πήραν το όνομά του. Το 1837 δημοσίευσε το θεώρημα της αριθμητικής προόδου, χρησιμοποιώντας έννοιες από τη μαθηματική ανάλυση για την αντιμετώπιση ενός αλγεβρικού προβλήματος και δημιουργώντας έτσι τον κλάδο της αναλυτικής θεωρίας αριθμών. Κατά την απόδειξη αυτού του θεωρήματος, εισήγαγε τους χαρακτήρες και τις συναρτήσεις του L^[3],^[4]. Το 1841, γενίκευσε το θεώρημά του για την αριθμητική πρόοδο στον δακτύλιο $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ των ακέραιων αριθμών του Γκάους^[5].

Τσεμπίσεφ

Σε δύο άρθρα του 1848 και του 1850, ο Ρώσος μαθηματικός Παφνούτι Τσέμπιτσεφ προσπάθησε να αποδείξει το θεώρημα των πρώτων αριθμών. Η εργασία του είναι αξιοσημείωτη για τη χρήση της συνάρτησης ζ(s) (για πραγματικό s, όπως η εργασία του Λέοναρντ Όιλερ το 1737) που προηγήθηκε του διάσημου άρθρου του Ρίμαν το 1859, και κατάφερε να αποδείξει μια ελαφρώς ασθενέστερη μορφή του θεωρήματος, δηλαδή ότι αν το όριο του π(x)/(x/ln(x)) όταν το x τείνει στο άπειρο υπάρχει, τότε είναι αναγκαστικά ίσο με 1^[6], και να δώσει ένα ασυμπτωτικό πλαίσιο για αυτό το πηλίκο μεταξύ δύο σταθερών πολύ κοντά στο 1^[7]. Αν και η εργασία του Τσεμπίσεφ δεν αποδεικνύει το θεώρημα των πρώτων αριθμών, οι εκτιμήσεις του για το π(x) ήταν αρκετά ισχυρές για να αποδείξουν το αξίωμα του Μπέρτραντ ότι υπάρχει ένας πρώτος αριθμός μεταξύ n και 2n για κάθε ακέραιο n ≥ 2.

Ρίμαν


« …es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien. »	"...είναι πολύ πιθανό ότι όλες οι ρίζες είναι πραγματικές. Θα ήταν αναμφίβολα επιθυμητό να έχουμε μια αυστηρή απόδειξη αυτής της πρότασης- παρ' όλα αυτά έχω αφήσει αυτή την έρευνα στην άκρη προς το παρόν μετά από μερικές γρήγορες ανεπιτυχείς προσπάθειες, καθώς φαίνεται περιττή για τον άμεσο στόχο της μελέτης μου...".

Ο Μπέρνχαρντ Ρίμαν έκανε σημαντικές συνεισφορές στην αναλυτική θεωρία αριθμών. Στη μοναδική εργασία που δημοσίευσε για το θέμα της θεωρίας αριθμών, "Περί του αριθμού των πρώτων αριθμών κάτω από ένα δεδομένο μέγεθος", μελέτησε τη συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν και διαπίστωσε τη σημασία της για την κατανόηση της κατανομής των πρώτων αριθμών. Διατύπωσε μια σειρά εικασιών σχετικά με τις ιδιότητες της συνάρτησης ζήτα, μία από τις οποίες είναι η υπόθεση Ρίμαν.

Οι Ανταμάρ και Ντε λα Βαλέ-Πουσέν

Επεκτείνοντας τις ιδέες του Ρίμαν, οι Ζακ Ανταμάρ και Σαρλ Ζαν ντε Λα Βαλέ Πουσέν απέκτησαν ανεξάρτητα δύο αποδείξεις του θεωρήματος των πρώτων αριθμών και τις δημοσίευσαν την ίδια χρονιά (1896). Και οι δύο αποδείξεις χρησιμοποίησαν μεθόδους της μιγαδικής ανάλυσης, καθιερώνοντας ως κύριο λήμμα τους ότι η συνάρτηση ζ(s) του Ρίμαν είναι μη μηδενική για όλες τις μιγαδικές τιμές του πραγματικού μέρους 1 και του φανταστικού μέρους αυστηρά θετική^[8].

Πρόσφατες εξελίξεις

Η σημαντικότερη τεχνική εξέλιξη μετά το 1950 ήταν η ανάπτυξη της θεωρίας των κόσκινων^[9], ιδίως σε πολλαπλασιαστικά προβλήματα. Πρόκειται για συνδυαστική φύση και αρκετά ποικίλα. Ο κλάδος της συνδυαστικής θεωρίας έχει επηρεαστεί έντονα από την αναλυτική θεωρία αριθμών για τα άνω και κάτω όρια. Μια άλλη πρόσφατη εξέλιξη είναι η πιθανολογική θεωρία αριθμών10, η οποία χρησιμοποιεί μεθόδους από τη θεωρία πιθανοτήτων για την εκτίμηση της κατανομής αριθμοθεωρητικών συναρτήσεων, όπως ο αριθμός των διαιρετών ενός αριθμού.

Οι εξελίξεις στην αναλυτική θεωρία αριθμών αποτελούν συχνά βελτιώσεις παλαιότερων τεχνικών, οι οποίες μειώνουν τους όρους σφάλματος και διευρύνουν το εύρος εφαρμογής τους. Παραδείγματος χάριν, η µέθοδος του κύκλου των Χάρντι και Λίτλγουντ είχε αρχικά σχεδιαστεί ως εφαρµοστέα σε δυναµοσειρές κοντά στον µοναδιαίο κύκλο του µιγαδικού επιπέδου- σήµερα θεωρείται ως προς τα πεπερασµένα εκθετικά αθροίσµατα. Τα πεδία της διοφαντικής προσέγγισης και της θεωρίας σωμάτων έχουν επεκταθεί σε σημείο που οι τεχνικές τους να είναι εφαρμόσιμες στην εικασία του Μορντέλ.

Προβλήματα και αποτελέσματα

Τα θεωρήματα και τα αποτελέσματα της αναλυτικής θεωρίας αριθμών τείνουν να μην είναι ακριβή δομικά αποτελέσματα για τους ακέραιους αριθμούς. Αντίθετα, δίνουν όρια και εκτιμήσεις για διάφορες συναρτήσεις, όπως δείχνουν τα ακόλουθα παραδείγματα.

Πολλαπλασιαστική θεωρία αριθμών

Ο Ευκλείδης έδειξε ότι υπάρχει άπειρος αριθμός πρώτων αριθμών. Ένα σημαντικό ερώτημα είναι να προσδιοριστεί η κατανομή αυτών των αριθμών- με άλλα λόγια, μια κατά προσέγγιση περιγραφή του αριθμού των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από έναν δεδομένο αριθμό. Ο Γκάους, μεταξύ άλλων, αφού υπολόγισε έναν μεγάλο κατάλογο πρώτων αριθμών, υπέθεσε ότι ο αριθμός των πρώτων αριθμών που είναι μικρότερος ή ίσος με έναν μεγάλο αριθμό Ν ήταν κοντά στην τιμή του ολοκληρώματος

\int _{2}^{N}{\frac {1}{\ln t}}\,\mathrm {d} t

.

Το 1859, ο Μπέρνχαρντ Ρίμαν χρησιμοποίησε τη μιγαδική ανάλυση και μια συνάρτηση γνωστή ως συνάρτηση ζήτα Ρίμαν, για να εξάγει μια αναλυτική έκφραση για τον αριθμό των πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων με έναν πραγματικό αριθμό x. Ο κορυφαίος όρος στον τύπο του Ρίμαν ήταν ακριβώς το παραπάνω ολοκλήρωμα, δίνοντας βαρύτητα στην εικασία του Γκάους. Ο Ρίμαν διαπίστωσε ότι οι όροι σφάλματος σε αυτή την έκφραση, και επομένως ο τρόπος με τον οποίο κατανέμονται οι πρώτοι αριθμοί, συνδέονται στενά με τα μιγαδικά μηδενικά της συνάρτησης ζήτα. Χρησιμοποιώντας τις ιδέες του Ρίμαν, ο Ζακ Ανταμάρ και ο Σαρλ Ζαν ντε λα Βαλέ-Πουσέν απέδειξαν την εικασία του Γκάους. Ειδικότερα, απέδειξαν το θεώρημα των πρώτων αριθμών. Αυτό είναι ένα κεντρικό αποτέλεσμα στην αναλυτική θεωρία αριθμών. Με άλλα λόγια, δεδομένου ενός μεγάλου αριθμού Ν, ο αριθμός των πρώτων αριθμών που είναι μικρότερος ή ίσος με τον Ν είναι περίπου N/ln(N). Γενικότερα, το ίδιο ερώτημα μπορεί να τεθεί για τον αριθμό των πρώτων αριθμών σε οποιαδήποτε αριθμητική ακολουθία an + b για οποιοδήποτε ακέραιο n. Σε μια από τις πρώτες εφαρμογές των αναλυτικών τεχνικών της θεωρίας αριθμών, ο Ντίριχλετ απέδειξε ότι κάθε αριθμητική ακολουθία με a και b πρώτους μεταξύ τους περιέχει άπειρο αριθμό πρώτων αριθμών. Το θεώρημα των πρώτων αριθμών μπορεί να γενικευτεί σε αυτό το πρόβλημα,

έστω

π (x, b, a) = (αριθμοί πρώτων αριθμών p ≤ x έτσι ώστε το p να να εμφανίζεται στην πρόοδο $an+b,n\in \mathbb {Z} )$

τότε, αν τα a και b είναι αμοιβαία πρώτοι,

\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,b,a)}{x/\log x}}={\frac {1}{\varphi (a)}}

όπου $\varphi$ αποτελεί Συνάρτηση Όιλερ.

Υπάρχουν επίσης πολλές εικασίες στη θεωρία αριθμών των οποίων η απόδειξη φαίνεται πολύ δύσκολη για τις τρέχουσες τεχνικές, όπως η εικασία των δίδυμων πρώτων αριθμών, η οποία εικάζει ένα άπειρο από πρώτους αριθμούς p τέτοιους ώστε p + 2 να είναι επίσης πρώτοι. Υποθέτοντας ότι η εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ είναι αληθής, αποδείχθηκε πρόσφατα ότι υπάρχουν άπειροι πολλοί p πρώτοι αριθμοί τέτοιοι ώστε p + k να είναι πρώτος για τουλάχιστον ένα k ≤ 12.

Αναλυτικές μέθοδοι θεωρίας αριθμών

Σειρές Ντίριχλετ

Ένα από τα πιο χρήσιμα εργαλεία στη θεωρία των πολλαπλασιαστικών αριθμών είναι οι σειρές Ντίριχλετ, οι οποίες είναι συναρτήσεις με μιγαδική μεταβλητή που ορίζονται από μια σειρά της μορφής

f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}

.

Με βάση την επιλογή των συντελεστών $a_{n}$ , η σειρά αυτή μπορεί να συγκλίνει παντού, πουθενά ή σε ένα ημιεπίπεδο. Σε πολλές περιπτώσεις, ακόμη και όταν η σειρά δεν συγκλίνει παντού, η ολομορφική συνάρτηση που ορίζει μπορεί να επεκταθεί αναλυτικά σε μια μερομορφική συνάρτηση σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. Η χρησιμότητα τέτοιων συναρτήσεων σε πολλαπλασιαστικά προβλήματα φαίνεται στην τυπική ταυτότητα.

\left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s}

;

Οι συντελεστές του γινομένου δύο σειρών Ντίριχλετ είναι επομένως οι συνελίξεις των αρχικών συντελεστών. Επιπλέον, τεχνικές όπως η άθροιση κατά μέρη και τα θεωρήματα Τάουμπερ μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ληφθούν πληροφορίες σχετικά με τους συντελεστές από αναλυτικές πληροφορίες σχετικά με τις σειρές Ντίριχλετ. Έτσι, μια συνήθης μέθοδος για την εκτίμηση μιας πολλαπλασιαστικής συνάρτησης είναι να την εκφράσουμε ως σειρά Ντίριχλετ (ή ως γινόμενο απλούστερων σειρών Ντίριχλετ χρησιμοποιώντας ταυτότητες συνέλιξης) και να εξετάσουμε αυτή τη σειρά ως μιγαδική συνάρτηση.

Συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν

Ο Όιλερ έδειξε ότι το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής συνεπάγεται το γινόμενο του Όιλερ

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}{\text{ για }}s>1\,\,\ (p{\text{ πρώτος αριθμός)}}

.

Η απόδειξη του Όιλερ για το άπειρο των πρώτων αριθμών χρησιμοποιεί την απόκλιση του αριστερού όρου για s = 1 (η αρμονική σειρά), ένα καθαρά αναλυτικό αποτέλεσμα. Ο Όιλερ ήταν επίσης ο πρώτος που χρησιμοποίησε αναλυτικά επιχειρήματα για να μελετήσει τις ιδιότητες των ακεραίων αριθμών, ιδίως κατασκευάζοντας γενεσιουργές σειρές. Αυτή ήταν η αρχή της αναλυτικής θεωρίας των αριθμών^[10]. Αργότερα, ο Ρίμαν εξέτασε τη συνάρτηση αυτή για μιγαδικές τιμές του s και έδειξε ότι μπορεί να επεκταθεί σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο με πόλο στο s = 1. Η συνάρτηση αυτή είναι πλέον γνωστή ως συνάρτηση ζ(s) του Ρίμαν. Στην εργασία του το 1859, ο Ρίμαν υπέθεσε ότι όλα τα "μη τετριμμένα" μηδενικά της ζ βρίσκονται στην ευθεία $\Re (s)=1/2$ } αλλά ποτέ δεν έδωσε απόδειξη αυτής της δήλωσης. Αυτή η εικασία, που ονομάζεται υπόθεση Ρίμαν, έχει πολλές βαθιές επιπτώσεις στη θεωρία αριθμών- πολλά σημαντικά θεωρήματα έχουν αποδειχθεί με την παραδοχή ότι είναι αληθής. Για παράδειγμα, σύμφωνα με την υπόθεση Ρίμαν, ο όρος σφάλματος στο θεώρημα των πρώτων αριθμών είναι $O(x^{1/2+\varepsilon })$ .

Στις αρχές του 20ού αιώνα, ο G. H. Χάρντι και ο Λίτελγουντ απέδειξαν πολυάριθμα αποτελέσματα για τη συνάρτηση ζήτα προκειμένου να αποδείξουν την υπόθεση του Ρίμαν. Το 1914, ο Χάρντι απέδειξε ότι υπάρχουν άπειρα πολλά μηδενικά της συνάρτησης ζήτα στην κρίσιμη ζώνη $\Re (z)=1/2$ . Αυτό έχει οδηγήσει σε διάφορα θεωρήματα που περιγράφουν την πυκνότητα των μηδενικών στην κρίσιμη ζώνη.

Δημοσιεύσεις

Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan και άλλοι., επιμ.. (2008), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-72126-2, ISBN 978-0-387-72125-5
Davenport, Harold (2000), Multiplicative number theory, Graduate Texts in Mathematics, 74 (3rd revised έκδοση), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95097-6
Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0
Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge studies in advanced mathematics, 46, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41261-7

Παραπομπές

↑ ^1,0 ^1,1 Apostol, Tom M. (28 Μαΐου 1998). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90163-3.
↑ Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer, coll. « GTM » (no 74), 2000, 3e éd., p. 1.
↑ ^3,0 ^3,1 Gowers, Timothy· Barrow-Green, June (28 Σεπτεμβρίου 2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2.
↑ Shigeru Kanemitsu et Chaohua Jia, Number Theoretic Methods : Future Trends, Springer, 2002, 439 p. (ISBN 978-1-4020-1080-4), p. 271-274.
↑ «convert». archive.wikiwix.com. Ανακτήθηκε στις 17 Ιουλίου 2023.
↑ Pereira, N. Costa (1985). «A Short Proof of Chebyshev's Theorem». The American Mathematical Monthly 92 (7): 494–495. doi:10.2307/2322510. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2322510.
↑ Nair, M. (1982). «On Chebyshev-Type Inequalities for Primes». The American Mathematical Monthly 89 (2): 126–129. doi:10.2307/2320934. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2320934.
↑ A. E. Ingham, The Distribution of Prime Numbers, Cambridge, Cambridge University Press, 1990, 114 p. (ISBN 0-521-39789-8), p. 2-5.
↑ Gérald Tenenbaum, Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (no 46), 1995 (ISBN 0-521-41261-7), p. 56.
↑ Henryk Iwaniec et Emmanuel Kowalski, Analytic Number Theory, coll. « AMS Colloquium Pub. » (vol. 53), 2004.

[:1-1] 1,0 ^1,1 Apostol, Tom M. (28 Μαΐου 1998). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90163-3.

[2] Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer, coll. « GTM » (no 74), 2000, 3e éd., p. 1.

[:0-3] 3,0 ^3,1 Gowers, Timothy· Barrow-Green, June (28 Σεπτεμβρίου 2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2.

[4] Shigeru Kanemitsu et Chaohua Jia, Number Theoretic Methods : Future Trends, Springer, 2002, 439 p. (ISBN 978-1-4020-1080-4), p. 271-274.

[5] «convert». archive.wikiwix.com. Ανακτήθηκε στις 17 Ιουλίου 2023.

[6] Pereira, N. Costa (1985). «A Short Proof of Chebyshev's Theorem». The American Mathematical Monthly 92 (7): 494–495. doi:10.2307/2322510. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2322510.

[7] Nair, M. (1982). «On Chebyshev-Type Inequalities for Primes». The American Mathematical Monthly 89 (2): 126–129. doi:10.2307/2320934. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2320934.

[8] A. E. Ingham, The Distribution of Prime Numbers, Cambridge, Cambridge University Press, 1990, 114 p. (ISBN 0-521-39789-8), p. 2-5.

[9] Gérald Tenenbaum, Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (no 46), 1995 (ISBN 0-521-41261-7), p. 56.

[10] Henryk Iwaniec et Emmanuel Kowalski, Analytic Number Theory, coll. « AMS Colloquium Pub. » (vol. 53), 2004.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]