Χρήστης:Re.pavleR/Πρόχειρο

Παραδείγματα

Τα βακτήρια παρουσιάζουν εκθετική αύξηση κάτω από ιδανικές συνθήκες.

• Biology
  • The number of microorganisms in a culture will increase exponentially until an essential nutrient is exhausted. Typically the first organism splits into two daughter organisms, who then each split to form four, who split to form eight, and so on. Because exponential growth indicates constant growth rate, it is frequently assumed that exponentially growing cells are at a steady-state. However, cells can grow exponentially at a constant rate while remodelling their metabolism and gene expression.
  • A virus (for example SARS, or smallpox) typically will spread exponentially at first, if no artificial immunization is available. Each infected person can infect multiple new people.
  • Human population, if the number of births and deaths per person per year were to remain at current levels (but also see logistic growth). For example, according to the United States Census Bureau, over the last 100 years (1910 to 2010), the population of the United States of America is exponentially increasing at an average rate of one and a half percent a year (1.5%). This means that the doubling time of the American population (depending on the yearly growth in population) is approximately 50 years.
• Physics
  • Avalanche breakdown within a dielectric material. A free electron becomes sufficiently accelerated by an externally applied electrical field that it frees up additional electrons as it collides with atoms or molecules of the dielectric media. These secondary electrons also are accelerated, creating larger numbers of free electrons. The resulting exponential growth of electrons and ions may rapidly lead to complete dielectric breakdown of the material.
  • Nuclear chain reaction (the concept behind nuclear reactors and nuclear weapons). Each uranium nucleus that undergoes fission produces multiple neutrons, each of which can be absorbed by adjacent uranium atoms, causing them to fission in turn. If the probability of neutron absorption exceeds the probability of neutron escape (a function of the shape and mass of the uranium), k > 0 and so the production rate of neutrons and induced uranium fissions increases exponentially, in an uncontrolled reaction. "Due to the exponential rate of increase, at any point in the chain reaction 99% of the energy will have been released in the last 4.6 generations. It is a reasonable approximation to think of the first 53 generations as a latency period leading up to the actual explosion, which only takes 3–4 generations."
  • Positive feedback within the linear range of electrical or electroacoustic amplification can result in the exponential growth of the amplified signal, although resonance effects may favor some component frequencies of the signal over others.
• Οικονομικά
  •  Η οικονομική ανάπτυξη εκφράζεται σε ποσοστιαίες μονάδες, γεγονός που συνεπάγεται εκθετική αύξηση. Για παράδειγμα, το κατά κεφαλήν ΑΕΠ των ΗΠΑ έχει αυξηθεί σε εκθετικό ρυθμό περίπου δύο τοις εκατό μετά τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο.
• Χρηματοοικονομικά
  • Οι τόκοι ανατοκισμού σε σταθερό επιτόκιο παρέχουν εκθετική αύξηση του κεφαλαίου. Βλέπε επίσης άρθρο 72.
    
  •  Τα συστήματα πυραμίδων ή τα συστήματα Ponzi δείχνουν επίσης αυτό το είδος της ανάπτυξης και έχουν ως αποτέλεσμα υψηλά κέρδη για λίγους αρχικούς επενδυτές και απώλειες μεταξύ μεγάλων αριθμών των επενδυτών.
    
• Τεχνολογία υπολογιστών
  • Επεξεργαστική ισχύς των υπολογιστών. Δείτε επίσης το νόμο του Moore και την τεχνολογική μοναδικότητα. (Σύμφωνα με εκθετική αύξηση, δεν υπάρχουν ιδιομορφίες. Η ιδιομορφία εδώ είναι μια αλληγορία που προορίζεται για να μεταφέρει ένα αφάνταστο μέλλον. Η σύνδεση αυτής της υποθετικής ιδέας με την εκθετική αύξηση δημιουργήθηκε κυρίως από το μετανθρωπιστή Ray Kurzweil.)
    
  • Στη θεωρία πολυπλοκότητας, οι αλγόριθμοι υπολογιστών της εκθετικής πολυπλοκότητας απαιτούν εκθετικά αυξανόμενη ποσότητα πόρων (π.χ. χρόνος, μνήμη του υπολογιστή) για μόνο μια σταθερή αύξηση του μεγέθους του προβλήματος. Έτσι, για έναν αλγόριθμο της χρονικής πολυπλοκότητας 2^x, εάν ένα πρόβλημα του μεγέθους x = 10 απαιτεί 10 δευτερόλεπτα για να ολοκληρωθεί, και ένα πρόβλημα του μεγέθους x = 11 απαιτεί 20 δευτερόλεπτα, τότε το πρόβλημα του μεγέθους x = 12 θα απαιτήσει 40 δευτερόλεπτα. Αυτό το είδος του αλγορίθμου συνήθως γίνεται ακατάλληλο προς χρήση σε πολύ μικρά μεγέθη στα προβλήματα, συχνά μεταξύ 30 και 100 αντικείμενα (οι περισσότεροι αλγόριθμοι υπολογιστή πρέπει να είναι σε θέση να λύσουν πολύ μεγαλύτερα προβλήματα, μέχρι και δεκάδες χιλιάδες ή ακόμα και εκατομμύρια αντικείμενα σε εύλογο χρόνο, κάτι που θα είναι φυσικά αδύνατο με εκθετικό αλγόριθμο). Επίσης, τα αποτελέσματα του νόμου του Moore δεν βοηθούν την κατάσταση πολύ γιατί διπλασιάζοντας την ταχύτητα του επεξεργαστή απλά επιτρέπεται η αύξηση του μεγέθους του προβλήματος κατά μια σταθερά. Π.χ. αν ένας αργός επεξεργαστής μπορεί να λύσει τα προβλήματα του μεγέθους x στο χρόνο t, τότε ένας επεξεργαστής δύο φορές πιο γρήγορος θα μπορούσε απλά να λύσει τα προβλήματα του μεγέθους x + σταθερά στον ίδιο χρόνο t. Έτσι οι εκθετικά πολύπλοκοι αλγόριθμοι συνήθως δεν είναι πρακτικοί, και η αναζήτηση πιο αποδοτικών αλγορίθμων είναι ένας από τους κεντρικούς στόχους της επιστήμης των υπολογιστών σήμερα.
    
  • Αύξηση της κυκλοφορίας στο διαδίκτυο.

Αναδιατύπωση ως log-γραμμική ανάπτυξη

Εάν μια μεταβλητή x παρουσιάζει εκθετική αύξηση, σύμφωνα με τον τύπο  $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$, τότε ο λογάριθμος (ως προς οποιαδήποτε βάση) του x αυξάνεται γραμμικά με την πάροδο του χρόνου, όπως μπορεί να δει κανείς παίρνοντας τους λογαρίθμους και των δύο πλευρών της εξίσωσης της εκθετικής αύξησης:

$\log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).$

Αυτό επιτρέπει σε μια εκθετικά αυξανόμενη μεταβλητή να διαμορφωθεί με το log-γραμμικό μοντέλο. Για παράδειγμα, αν κάποιος επιθυμεί να εκτιμήσει εμπειρικά το ρυθμό ανάπτυξης από δεδομένα διαφορετικών χρονικών διαστημάτων στο x, μπορεί να πάρει τη γραμμική παλινδρόμηση log x σε t.

Διαφορική εξίσωση

Η εκθετική συνάρτηση $\scriptstyle x(t)=x(0)e^{kt}$ ικανοποιεί η γραμμική διαφορική εξίσωση:

$\!\,{\frac {dx}{dt}}=kx$

λέγοντας ότι ο ρυθμός αύξησης των x στο χρόνο t είναι ανάλογος με την τιμή της x(t), και έχει την αρχική τιμή

$x(0).\,$

Η διαφορική εξίσωση λύνεται με ολοκλήρωση:

${\frac {dx}{dt}}=kx$

$\Rightarrow {\frac {dx}{x}}=k\,dt$

$\Rightarrow \int _{x(0)}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}=k\int _{0}^{t}\,dt$

$\Rightarrow \ln {\frac {x(t)}{x(0)}}=kt.$

έτσι ώστε

$\Rightarrow x(t)=x(0)e^{kt}\,$

Για μια μη γραμμική παραλλαγή αυτού του μοντέλου ανάπτυξης βλέπε τη λογιστική λειτουργία.

Αναδρομική εξίσωση

Η αναδρομική εξίσωση

$x_{t}=a\cdot x_{t-1}$

έχει τη λύση

$x_{t}=x_{0}\cdot a^{t},$

δείχνοντας ότι το x εμφανίζει εκθετική αύξηση.

Άλλοι ρυθμοί ανάπτυξης

Μακροπρόθεσμα, η εκθετική ανάπτυξη κάθε είδους, προσπερνάει τη γραμμική ανάπτυξη κάθε είδους (με βάση την Μαλθουσιανή καταστροφή) καθώς και κάθε πολυωνυμική ανάπτυξη, δηλαδή, για όλα τα α:

$\lim _{t\rightarrow \infty }{t^{\alpha } \over ae^{t}}=0.$

Υπάρχει μια ολόκληρη ιεραρχία από νοητούς ρυθμούς ανάπτυξης που είναι πιο αργοί από την εκθετική και πιο γρήγοροι από τη γραμμική (μακροπρόθεσμα). Δείτε Βαθμό ενός πολυωνύμου#Ο βαθμός υπολογίζεται από την συνάρτηση αξιών.

Οι ρυθμοί ανάπτυξης μπορεί επίσης να είναι ταχύτεροι από την εκθετική.

Στην παραπάνω διαφορική εξίσωση, αν k < 0, τότε η ποσότητα εμφανίζει εκθετική αποσύνθεση.

Περιορισμοί των μοντέλων

Τα μοντέλα εκθετικής αύξησης των φυσικών φαινομένων εφαρμόζεται μόνο σε περιορισμένες περιοχές, καθώς η απεριόριστη ανάπτυξη δεν είναι φυσιολογικά ρεαλιστική. Παρόλο που η ανάπτυξη μπορεί αρχικά να είναι εκθετική, το φαινόμενο που εξετάζουμε θα εισαχθεί τελικά σε μια περιοχή στην οποία οι προηγουμένως ασήμαντοι αρνητικοί παράγοντες γίνονται σημαντικοί (που οδηγεί σε ένα μοντέλο logistic growth) ή άλλες παραδοχές στις οποίες βασίστηκε η εκθετική ανάπτυξη του μοντέλου, όπως η συνέχεια ή η στιγμιαία ανατροφοδότηση, παύουν να ισχύουν.

Εκθετική ιστορίες

Ρύζι σε σκακιέρα

Σύμφωνα με ένα παλιό μύθο, o βεζίρης Sissa Ben Dahir παρουσιάστηκε στον Ινδό βασιλιά Βασιλιά Sharim με μια όμορφη, χειροποίητη σκακιέρα. Ο βασιλιάς ρώτησε τι θα ήθελε ως αντάλλαγμα για το δώρο του και ο αυλικός εξέπληξε το βασιλιά, ζητώντας έναν κόκκο ρυζιού στο πρώτο τετράγωνο, δύο κόκκους στο δεύτερο, τέσσερις κόκκους στο τρίτο κ.λ.π. Ο βασιλιάς συμφώνησε αμέσως και ζήτησε να του φέρουν το ρύζι. Όλα πήγαν καλά στην αρχή, αλλά η απαίτηση για 2 ^{n − 1} κόκκους στο n-οστό τετράγωνο απαιτούσε πάνω από ένα εκατομμύριο κόκκους στο 21ο τετράγωνο, πάνω από ένα εκατομμύριο του εκατομμυρίου (ή αλλιώς τρισεκατομμύρια) για το 41ο και απλά δεν υπήρχε αρκετό ρύζι σε όλο τον κόσμο για τα τελευταία τετράγωνα. (Από Swirski, 2006)

Το δεύτερο μισό της σκακιέρας είναι το διάστημα κατά το οποίο η επιρροή της εκθετικής αύξησης έχει σημαντικές οικονομικές επιπτώσεις στη συνολική επιχειρηματική στρατηγική σε μια οργάνωση.

Νούφαρο

Τα παιδιά στη Γαλλία μαθαίνουν μια ιστορία στην οποία φαντάζονται ότι έχουν μια λιμνούλα με φύλλα από νούφαρα να επιπλέουν στην επιφάνεια. Τα νούφαρα διπλασιάζονται σε μέγεθος κάθε μέρα και, αν αφεθεί ανεξέλεγκτη, θα πνίξουν τη λίμνη σε 30 ημέρες, σκοτώνοντας όλα τα άλλα έμβια όντα μέσα στο νερό. Μέρα με τη μέρα τα φυτά φαίνονται μικρά και έτσι αποφασίζουν να τα αφήσουν να μεγαλώσουν μέχρι να καλύπτουν τη μισή λίμνη πριν να τα κόψουν. Στη συνέχεια τα ρωτάν για το ποιά μέρα θα συμβεί η λίμνη να είναι μισή καλυμμένη με νούφαρα. Αυτό αποκαλύπτεται ότι είναι η 29η ημέρα, και στη συνέχεια θα υπάρχει μόνο μια μέρα για να σωθεί η λίμνη. (Από το Meadows et al. 1972)